План-конспект уроку з геометрії на тему: "Скалярний добуток векторів. Кут між векторами"

МІНІСТЕРСТВО ОСВІТИ НАУКИ УКРАЇНИ

РЕГІОНАЛЬНИЙ ЦЕНТР ПРОФЕСІЙНО-ТЕХНІЧНОЇ ОСВІТИ МІСТА ЗІНЬКІВ

План- конспект уроку з геометрії

«СКАЛЯРНИЙ ДОБУТОК ВЕКТОРІВ. КУТ МІЖ ВЕКТОРАМИ»

Викладач: 

Гончарова Світлана Павлівна

2023

Скалярний добуток векторів. Кут між векторами.

Мета: вивчити поняття скалярного добутка, кута між векторами, вивчити теорему про скалярний добуток, навчити  учнів розв´язувати задачі з використанням скалярного добутка. Навчити учнів розв’язувати задачі з використанням  векторів, розвивати логічне мислення, математичну мову, просторове уявлення.

Обладнання: підручник, проектор, дошка, ноутбук, креслярські прилади.

Тип уроку: комбінований.

Структура уроку.

1. Організаційний момент.
2. Активізація опорних знань.
3. Пояснення нового матеріалу.
4. Закріплення вивченого матеріалу.
5. Підсумок уроку. Домашнє завдання.

Епіграф уроку: « Як приємно дізнатися, що ти чогось навчився.»

 Ж. Мольєр

Опитування учнів  у вигляді «Мозкового штурму»

1. Дати означення вектора.
2. Як знайти координати вектора?
3. Які вектори називаються рівними?
4. Які вектори є однаково направлені?
5. Які вектори є протилежно направлені?
6. Що таке модуль вектора?
7. За якою формулою  обчислюється модуль вектора?
8. Які вектори називають колінеарними?
9. Яка умова колінеарності векторів?
10. Які вектори називають компланарними?
11. Які дії можуть виконуватися над векторами у просторі?

Пояснення нового матеріалу.

Означення:

Скалярним добутком векторів називається дійсне число, що дорівнює сумі добутків відповідних координат цих векторів:

Приклад. Дано вектори =(1;5;3) і =(-5;4;7)  Скалярний добуток векторів дорівнює ·=1· (-5) +5·4+3·7=-5+20+21=36

Властивості скалярного  добутку векторів:

1) – переставна властивість

2) – сполучна властивість

3) – розподільна властивість

4) – скалярний квадрат

Теорема (про скалярний добуток векторів)

Наслідок 1. Якщо вектори перпендикулярні, то їх скалярний добуток           дорівнює нулю.

Наслідок 2. Якщо скалярний добуток векторів дорівнює нулю, то вектори перпендикулярні.

Кутом між векторами і називають кут ВАС.

Кутом між двома ненульовими векторами, називають кут між векторами, що дорівнюють даним і мають спільний початок.

 Виразимо з теореми про скалярний добуток векторів

Приклад 1. Дано =9 =5 кут між векторами (=. Знайти скалярний добуток цих векторів.

Розв´язання:=9·5·=45.

Приклад 2. Дано вектори = (0;2;2) і    = (3;03). Знайти кут між векторами.

Розв´язання: ·=0·3+2·0+2·3=6, ==  ==3,

=.

Якщо кут між векторами  гострий, то скалярний добуток векторів додатній.

Якщо кут між векторами тупий, то скалярний добуток векторів від´ємний.

Якщо кут між векторами прямий, то скалярний добуток векторів дорівнює нулю.

          Розв’язування вправ на закріплення вивченого. 

Робота з підручником.

Приклад №1356.

 Знайдіть скалярний добуток векторів:

Розв´язання:

( Самостійно в зошиті виконують учні)

Розв´язання: 

Приклад №1361.

При яких значеннях x вектори перпендикулярні:

Розв´язання:

( Самостійно в зошиті виконують учні)

 Розв´язання:

Приклад №1359.

Знайдіть кут між векторами:

Розв´язання: ·=-2·0+0·0+2·4=8; =, ===4,

;)==,  ∠(;)=.

( Самостійно в зошиті виконують учні)

Розв´язання: · = 1·0+1·(-1)+0·1 = -1,=, =,

) = , ∠(x;y) = -.

Приклад підвищеного рівня складності № 1369.Лісникові під дією сили в 20 Н, прикладеної під кутом до напряму переміщення потрібно перемістити колоду на 3 м. для завантаження на машину. Знайдіть виконану лісником роботу.Робота біля дошки. Приклад 1. Визначити кут АВС трикутника АВС, якщо А(3;-1;1), В(1;-1;3),С(3;1;-1).Приклад 2. Точки А(1;4;8) і В(-4;0;3). Знайти під яким кутом видно відрізок АВ з початку координат?Приклад 3. Знайдіть скалярний добуток векторів, якщо  

Розв’язування тестів.

Завдання 1.

Розв’яжіть завдання і оберіть правильну відповідь.

Вектори і утворюють кут ;

.

Чому дорівнює

Відповіді:  20 -20 -10 10

1.               Завдання для перевірки.

Оберіть правильну відповідь.

Кут між векторами і дорівнює . Знайдіть кут між векторами -2 і -3.

Відповіді:

2.               Завдання для перевірки.

Оберіть правильну відповідь.

Обчисліть скалярний добуток векторів і, якщо (1;2;-3) і (-8;2;4)

Відповіді:   3   12   2  -16

4.  Завдання для перевірки.

Оберіть правильну відповідь.

Який кут утворюють вектори (-5;0;4) і (0;3;0)

Відповіді:   .

Рефлексія

Сьогодні я дізнався …

Було цікаво …

Було важко …

Мої відчуття …

Більш за все сподобалося …

Підведення підсумків уроку.

Домашнє завдання вивчити параграф 37. Виконати завдання №1354; 1358, 1362.

*Розв´яжіть задачу.

Згадайте Байку Л. Глібова « Лебідь, щука і рак» малюнок     

Змоделюйте ситуацію, що розглядається в ній, за допомогою векторів. Які можливі варіанти розташування цих векторів і співвідношень між ними. Зробіть висновки.

Урок завершено! Дякую за увагу!