Посібник-співбесідник 6
Розглянемо два вирази 
і 
.
Знайдіть значення цих виразів, якщо:
1) 
, 
;
2) 
, 
;
3) 
, 
;
4) 
, 
;
5) 
, 
.
1)
;
2)
;
3)
;
4)
;
5)
.
1)
;
2)
;
3)
;
4)
5)
.
Якими є значення цих виразів при одних і тих же значеннях змінних?
Рівними.
Але за розподільною властивістю множення відносно додавання дані вирази будуть рівними при будь-яких значеннях змінних.
Я також придумав вирази, які рівні при будь-яких значеннях змінних:
і 
.
Вірно. Вирази, які рівні при будь-яких значеннях змінних, мають спеціальну назву, їх називають тотожно рівними, або тотожними.
Два вирази називають тотожно рівними, або тотожними, якщо для будь-яких значень змінних відповідні значення цих виразів дорівнюють одне одному.
Розглянемо тепер вирази 
і 
.
Знайдіть значення цих виразів, якщо:
1) 
, 
;
2) , 
;
3) 
, 
.
1) 
;
2) 
;
3) 
.
1) 
;
2) 
;
3) 
.
Вірно. Чи рівні відповідні значення цих виразів при будь-яких значеннях змінних, що входять до них?
Ні, не рівні.
Вірно. Чи є тотожно рівними дані вирази?
Ні. Якби дані вирази були тотожно рівними, то ми б отримали суперечність означенню.
Вірно. Отже, якщо значення виразів для одних значень змінних дорівнюють одне одному, а для інших — ні, то такі вирази не є тотожно рівними.
Якщо два тотожно рівні вирази сполучити знаком “=”, то дістанемо рівність, яку називають тотожністю.
Наведіть приклади тотожностей.
;
.
Вірно.
Я знаю ще такі тотожності:
;
;
.
Хіба це тотожності?
Так, тотожності. Софійка пізніше нам пояснить, чому це тотожності.
А зараз сформулюємо означення тотожності.
Тотожність — це рівність, яка є правильною для всіх значень змінних.
Також тотожностями є рівності, що виражають основні властивості додавання і множення чисел. Наведіть приклади таких тотожностей.
Переставна властивість
додавання
множення
;
;
Сполучна властивість
;
;
Розподільна властивість
.
Вірно. Наведіть приклади тотожностей, які виражають правила розкриття дужок.
.
Вірно, але це не всі тотожності, які виражають правила розкриття дужок.
Я знаю ще такі тотожності:
;
.
Вірно. Тотожностями є й такі рівності:
;
;
;
;
;
;
.
Тепер розглянемо рівності:
;
;
.
Софійко, поясни, чому ти вважаєш, що дані рівності є тотожностями.
Все дуже просто. Вираз у лівій частині першої рівності 
я замінила тотожно рівним йому виразом 
на основі розподільної і переставної властивостей:
.
Вираз 
я замінила тотожно рівним йому виразом 
на основі розподільної властивості і зведення подібних доданків:
.
Вираз 
я замінила тотожно рівним йому виразом 
на основі правила розкриття дужок, зведення подібних доданків і винесення спільного множника за дужки:
.
Тому дані вирази є тотожностями.
Вірно.
Тепер я все зрозумів.
Отже, правильним буде наступне означення:
Заміну одного виразу тотожно рівним йому виразом називають тотожним перетворенням виразу.
Тотожні перетворення виразів доводиться виконувати під час спрощення виразів, тобто заміни деякого виразу на тотожно рівний йому вираз, який має коротший запис.
Спростіть вираз 
.
.
Ти допустив помилки при розкритті дужок. Правильно:
.
Вірно. Тотожні перетворення використовують і для доведення тотожностей.
Доведіть тотожність 
.
Я знаю. Потрібно спростити ліву частину рівності, тобто в результаті спрощень ми повинні отримати вираз 
.
;
.
Тотожність доведено.
Вірно. Отже, шляхом тотожних перетворень ліву частину рівності звели до правої частини. Тому дана рівність є тотожністю. В даному випадку краще було перетворювати ліву частину, тому що вираз в правій частині мав коротший запис.
Доведіть тотожність 
.
При доведенні даної тотожності зручніше праву частину звести до лівої, тому що вираз в правій частині має коротший запис.
.
.
Тотожність доведено.
Вірно. Доведіть тотожність 
.
Яку частину рівності потрібно перетворювати?
Необхідно обидві частини звести до одного й того ж виразу.
Я буду спрощувати вираз в лівій частині рівності:
.
Вірно.
Отже, я маю звести вираз в правій частині рівності до виразу 
.
.
.
Тотожність доведено.
Вірно. Покажемо ще один спосіб доведення тотожностей. Доведемо тотожність 
.
Утворимо різницю лівої та правої частин і покажемо, що вона дорівнює нулю.
.
Різниця лівої і правої частин рівності дорівнює нулю, тому дана рівність є тотожністю.
Отже, щоб довести тотожність, можна використати один з таких способів:
1) ліву частину тотожності шляхом тотожних перетворень звести до правої частини;
2) праву частину звести до лівої частини;
3) обидві частини звести до одного й того ж виразу;
4) утворити різницю лівої та правої частин і довести, що вона дорівнює нулю.
Додаткові відомості
Кажучи, що якийсь вираз тотожний, обов'язково слід зазначити, якому саме виразу він тотожний. Ідеться про відношення тотожності двох виразів (як про відношення перпендикулярності прямих, відношення рівності кутів тощо).
Відношення тотожності виразів має такі властивості
1) кожний вираз тотожний самому собі;
2) якщо вираз А тотожний виразу В, то й вираз В тотожний виразу А;
3) якщо вираз А тотожний виразу В, а вираз В тотожний виразу С, то і вираз А тотожний виразу С.
Подібні властивості мають також відношення рівності чисел або фігур, паралельності прямих тощо.
Якщо в тотожності замість змінної скрізь написати один і той самий вираз, дістанемо нову тотожність. Наприклад, якщо в тотожності 
змінну 
замінити виразом 
, то дістанемо рівність 
, яка також є тотожністю.
Перевірте себе
Виконаємо разом
Спростити вираз: а) 2(3х– 4) + 3(– 4х + 7); б) 2 + 5а – (а–2b)+(3b–a).
a) 2(3х – 4) + 3(– 4х + 7) = 6х –8 – 12х + 21 = – 6х + 13;
б) 2 + 5a – (a – 2b) + (3b – a) = 2 + 5a – a + 2b + 3b – a = 3a + 5b + 2.
Довести тотожність:
а) 2х – (х + 5) – 11 = х – 16;
б) 20b – 4a = 5(2a – 3b) – 7(2a – 5b);
в) 2(3х – 8) + 4(5х – 7) = 13(2х – 5) + 21.
Хмм!!! І як це робити?
а) 2x – (x+5) – 11 = 2x – x – 5 –11 = x – 16, та що тут є робити, ми тотожними перетвореннями ліву частину рівності звели до правої частини і тим самим довели, що дана рівність є тотожністю.
б) 20b – 4a = 5(2a – 3b) – 7(2a – 5b);
Спробуємо перетворити праву частину цієї рівності:
5(2a – 3b) – 7(2a – 5b) = 10a – 15b – 14a + 35b = 20b – 4a.
Тотожними перетвореннями ліву частину рівності звели до правої частини і тим самим довели, що дана рівність є тотожністю.
Та це не є важко. Попробую сам довести тотожність.
в) 2(3x – 8) + 4(5x – 7) = 13(2x – 5) + 21. У цьому випадку зручно спростити ліву і праву частини рівності та порівняти результати:
2(3x – 8) + 4(5x – 7) = 6x – 16 + 20x – 28 = 26x – 44;
13(2x – 5) + 21 = 26x – 65 + 21 = 26x – 44.
Ми тотожними перетвореннями ліву і праву частини рівності звели до одного й того самого виразу 26x – 44. Тому вихідна рівність є тотожністю.
Усно
126. Чи є тотожно рівними вирази:
а) 2а + а і 3а; б) 7х + b і b + 7х; в) x + x + х і х3?
Відповідь обґрунтуйте.
127. Чи є тотожністю рівність:
а) 2а + 10b = 12ab; б) 7p – 1 = – 1 + 7p; в) 3(x – y) = 3x – 5y?
128. Назвіть кілька виразів, які тотожно рівні виразу z + 7z.
129. Розкрийте дужки:
а) 2(а – 1); б) 7(3b + 2); в) – (b – 3); г) – (– 5 + 4у).
130. Спростіть вирази:
а) – 2p + 3p∙3,5; б) 7a∙(– 1,2); в) 0,2x∙(– 3y).
Рівень А
Зведіть подібні доданки:
1313. а) 2х – х; б) – 3m + 5m; в) – 2y – 3y; г) p – 7p.
132. а) 5b – 8a + 4b – a; б) 17 – 2p + 3p + 19; в) 1,8a + 1,9b + 2,8a – 2,9b;
г) 5 – 7c + 1,9p + 6,9c – 1,7p.
Розкрийте дужки і зведіть подібні доданки:
133. а) 4(5х – 7) + 3х + 13; б) 2(7 – 9а) – (4 – 18а); в) 3(2p – 7) – 2(p – 3);
г) – (3m – 5) + 2(3m –7).
134. a) 3(4x – 2z) – (5z + 10x); б) – 2(2а + 1) – 6(а – 6b).
Спростіть вираз і знайдіть його значення:
135. а) 0,6х + 0,4(х–20), якщо х=2,4; б) 1,3(2а – 1) – 16,4, якщо а = 10;
в) 1,2(m – 5) – 1,8(10 – m), якщо m = 3,7;
г) 2х – 3(х + у) + 4у, якщо х = –1, у = 1.
136. а) 4 + 3(2x – 4) – 8x, якщо x = –1;
б) 4(z + 6) – (z – 3d) – 4d, якщо z = 4, d = – 2.
Довести тотожність:
15 = (27 – 5а) – (12 – 3а – 2а);
Перетворимо праву частину рівності:
(27 – 5а) –(12 – 3а – 2а) = 27 – 5а –12 + 3а + 2а = 15.
Шляхом тотожних перетворень праву частину рівності звели до лівої частини. Тому ця рівність є тотожністю.
Доведіть тотожність:
137. а) 10х – (–(5х + 20)) = 5(3х + 4); б) –(– 3р) – (– 8 – 5р)) = 2(4 – р);
в) 3(а – b – c) + 5(a – b) + 3c = 8(a – b).
138. а) 12а – (– (8а – 16)) = – 4(4 – 5а); б) 4(x + y – t) + 5(x – t) – 4y = 9(x – t).
139. Ширина прямокутника дорівнює c см, а довжина на 5 см більша від ширини. Запишіть у вигляді виразу периметр прямокутника і спростіть його.
140. Сторони трикутника дорівнюють a см і b см, 9см. Запишіть у вигляді виразу периметр трикутника.
141. На одному складі стоїть n ящиків цукерок, а на іншому — у 3 ящиків більше. Скільки ящиків цукерок на обох складах?
142. На одній полиці стоїть n книжок, а на іншій — на 9 книжок менше. Скільки книжок на обох полицях?
143. Сплав містить15% міді. Маса сплаву 1600г. Скільки в сплаві міді?
Рівень Б
Запишіть у вигляді тотожності твердження:
144. а) Сума числа і протилежного йому числа дорівнює нулю;
б) сума числа m й числа, протилежного числу n, дорівнює різниці чисел m та n;
в) квадрат числа дорівнює квадрату модуля цього числа.
145. а) добуток довільного числа і нуля дорівнює нулю;
б) добуток двох членів дорівнює добутку протилежних їм чисел;
в) квадрат числа дорівнює квадрату протилежного йому числа.
Спростіть вираз:
146. а) 3(4с + 6) + 5(4 + 6с) + 5 + 3с; б) 0,4(х – 1) – 0,8(5 – 2х) – 2,4;
в) –(12х + у + 6z) + 6у – 4(х – 3z); г) 1
(2а – 7b) – 
(3b + а) + 2а;
д) 8(4(х + 4) – 8х) + 4(х +4 ); е) 10(m + 6(n – 1) – 1) – 10m.
147. а) –(6а – 12) + 6(4 – 4а) + 30а; б) 1,8(a – 6b) – 0,4(10b – 6a)3,4b;
в) 8(10n – 4(n – 2)) + 20; г) 
+(2(х – у) – 4х)+х.
Доведіть тотожність:
148. a) 5(a + b + c) –(a + b – c) – (a – b + c) = 5(b + c);
б) 28 + 2(2(2(b – 2) – 2) = 8b.
149. a) 12a – (– (8a – 16)) = – 4(4 – 5a); б) 4(x + y –t) + 5(x– t) – 4y=9(x – t).
Розв’яжіть рівняння:
150. а) 6(9х – 3) – 9(6 – х) = 3; б) 0,2(у – 2(у – 1) + 5) – 2у + 3 = 0;
151. Скільки відсотків число 20 становить від свого:
а) квадрата; б) куба.
152. Турист 2 год йшов пішки і 3 год їхав на велосипеді. Всього турист подолав 56 км. Знайдіть, з якою швидкістю турист їхав на велосипеді, якщо вона на 12 км/год більша за швидкість, з якою він йшов пішки.
153. Перший лижник пробіг k м, другий — на f м менше, ніж перший, а третій — 1200м. На стільки метрів менше пробіг другий лижник, ніж перший і третій разом? Запишіть результат у вигляді виразу.
Рівень В
154. Нехай z і k — деякі натуральні числа. Доведіть, що:
а) різниця чисел 11z + 3k і 7z + 7k ділиться на 4;
б) сума чисел 10z + 3k + 2 і 2z – 7k + 6 ділиться на 4.
155. Доведіть, що сума трьох послідовних чисел ділиться на 9.
156. Доведіть, що сума чисел, які закінчуються на нуль та одиничку діляться на 5.
157. Доведіть, що сума трьох послідовних парних чисел ділиться на 6.
158. Доведіть, що різниця числа kxy і суми його цифр діляться на 9.
159. Доведіть, що коли два цілі числа при діленні на 4 дають в остачі 2, то сума і різниця цих чисел ділиться на 4.
Завдання для самоперевірки № 2
Варіант 1
І. •
1. Який з виразів є цілим ?
А) 
; Б) 
; В) 
; Г) 
;
2. Якщо х = – 3, то значенням виразу 5х – 10 є число:
А) 25; Б) – 25; В) 5; Г) – 5;
3. Розкрийте дужки у виразі: – (– 6 а + 4в – 5):
А) – 6 а – 4в + 5 ; Б) 6 а – 4в – 5 ;
В) 6 а + 4в – 5 ; Г) 6 а – 4в + 5 ;
ІІ. ••
4. Спростіть вираз і знайдіть його значення:
5,4 + а + 1,5(2а –3) – 16,9 при а = 6,5;
5. Доведіть тотожність:
ІІІ.•••
6. Периметр трикутника дорівнює 5а. Одна із сторін рівна а + в, друга сторона менша на 2а. Знайдіть третю сторону трикутника.
7. При яких значеннях в значення виразу 
а) більше 0? б) менше 0? в) рівне 0?
________________________________________________________
8.* Доведіть, що сума п’яти послідовних парних чисел ділиться на 10.
Варіант 2
І. •
1. Який з виразів є цілим ?
А) 
; Б) 
; В) 
; Г) 
;
2. Якщо х = – 4, то значенням виразу 6х + 10 є число:
А) 14; Б) – 24; В) 34; Г) – 14;
3. Розкрийте дужки у виразі: – (– 7 с – 2х + 5):
А) – 7с – 2х + 5; Б) 7с + 2х – 5 ;
В) 7с + 2х + 5; Г) – 7 с + 2х – 5 ;
ІІ. ••
4. Спростіть вираз і знайдіть його значення:
3,5(2в +4) – 6,4 + в –13,6 при в = 4,5;
5. Доведіть тотожність:
ІІІ.•••
6. Периметр трикутника дорівнює 8а – в. Одна сторона рівна 3а, друга сторона більша на в – а. Знайдіть довжину третьої сторони.
7. При яких значеннях d значення виразу 
а) більше 0? б) менше 0? в) рівне 0?
__________________________________________________________
8.* Доведіть, що сума п’яти послідовних непарних чисел ділиться на 5.
про публікацію авторської розробки
Додати розробку