Презентація "Деякі типи завдань, пов'язаних з функцією"

Робота вчителя математики ОЗОШ №28Іванової І. В. Деякі типи завдань, пов’язаних з функцією

Зміст презентації1) Знаходження значень функції за відомими значеннями аргументу, знаходження значень аргументу за відомим значенням функції 4) Знаходження точок перетину з осями координат без побудови 2) Нулі функціїЗнаходження області визначення функції5) належність точок графікам функції без побудови6) Знаходження точок перетину графіків функцій без побудови

Приклад №1 Функцію задано формулою у=х2+6. Знайдіть значення:а) функції, якщо значення аргументу дорівнює -1; 2;б) аргументу, при якому значення функції дорівнює 87; 6. Розв’язання:а) якщо аргумент х=-1, тоді значення функції𝑦−1=(−1)2+6=7;якщо аргумент х=2, тоді значення функції𝑦2=(2)2+6=10; {5 C22544 A-7 EE6-4342-B048-85 BDC9 FD1 C3 A}б) якщо значення функції у=87,87=х2+6;х2=81;х=9 або х=-9.б) якщо значення функції у=6,6=х2+6;х2=0;х=0.

Приклад №2 Функцію задано формулою𝒚(х)=𝒙𝟐,  якщо  𝒙≤−𝟏;𝒙+𝟓,        якщо    −𝟏<𝒙<𝟒,𝟑,           якщо   𝒙≥𝟒.  Знайдіть 𝒚−𝟐;  𝒚−𝟏;  𝒚𝟏,𝟓;  𝒚𝟒;  𝒚𝟔,𝟕. Розв’язання:а) якщо аргумент задовольняє умові х≤-1, тоді значення функції знаходимо за першою формулою𝑦−2=(−2)2=4;     𝑦−1=(−1)2=1; якщо аргумент задовольняє умові -1<х<4, тоді значення функції знаходимо за другою формулою𝑦1,5=1,5+5=6,5; якщо аргумент задовольняє умові х≥4, тоді значення функції знаходимо за третьою формулою𝑦4=3;     𝑦6,7=3.  

Нулями функції називають такі значення аргументу х при яких функція набуває значення нуль. Щоб знайти нулі функції, заданої графіком, досить вказати координату x точок, в яких цей графік перетинає вісь Ox. Щоб знайти алгебраїчно нулі функції, заданої формулою, потрібно праву частину прирівняти до нуля і розв'язати отримане рівняння, тобто f(x)=0. Нулі функції

Приклад №3 Функцію задано формулою у=3х-5. Знайдіть нулі функції алгебраїчно. Розв’язання: Записуємо 3x−5=0 і розв'язуємо це рівняння.3x=5, x= 123 нуль функції. Приклад №4 Функцію задано формулою у=4х2-36. Знайдіть нулі функції алгебраїчно. Розв’язання: Записуємо 4x2−36=0 і розв'язуємо це рівняння.(2x-6)(2х+6)=0,2х-6=0, або 2х+6=0; інший спосіб запису 𝟐𝒙−𝟔=𝟎;𝟐𝒙+𝟔=𝟎; x= 3 або x= −3    нулі функції. 

Приклад №5 Знайти нулі функції y=x3−9x за її графіком. Графік функції перетинає вісь абсцис Ох у точках з координатами x, що дорівнюють −3, 0, 3. Ці числа і є нулями даної функції. Відповідь: нулі функції −3; 0; 3. Розв’язання:

Якщо графік функції вісь абсцис Ох не перетинає, говорять, що у функції немає нулів. У цьому випадку рівняння у=0 немає розв’язку на області визначення данної функції. Нулі функціїПриклад №6 Знайти нулі функції y=x2+9. Рівняння немає розв’язку на області визначення данної функції. Висновок – нулів функції немає.х2+9=0;х2=−9 Розв’язання:

Областю визначення функції називають сукупність усіх допустимих значень аргументу функції. Область визначення функції позначають D(y). Область визначення функціїЯк знаходити область визначення З'ясувати, чи існують такі значення аргументу (як правило, змінної x), при яких неможливо виконати дію у виразі, що задає функцію.2) Знайти ці особливі значення x.3) Виключити їх з проміжку (−∞;+∞).

Якщо вираз містить суму, різницю, добуток або ділення на число: область визначення функції - всі дійсні числа. Якщо вираз у вигляді дробу, де знаменник містить модуль змінної + число або парну степінь змінної + число: область визначення функції - всі дійсні числа: х- будь яке, тобто D(y)=R; х(-;+).f(a)=4a3+18а - будь яке, тобтовсі дійсні числа. D(f)=R; a(-;+)D(y)=R, всі дійсні числа, m(-;+) 𝑦𝑚=𝑚2−212+3𝑚 y(m)=𝑚6−643 𝑦𝑚=5𝑚2+4 

•3) Якщо вираз у вигляді дробу, де знаменник містить змінну, але правило попереднє не підходить: треба знаменник прирівняти до нуля та розв’язати рівняння. Область визначення функції - всі дійсні числа крім тих х=а, при яких знаменник дорівнює нулю: D(y)=R, ха; тобто х  (-;а)(а;+)𝑦𝑚=𝑚2−212−3𝑚 𝑦𝑚=5𝑚2−16 12−3𝑚=0 3𝑚=12 𝑚=4 𝑚=4;𝑚=−4. 𝑚2−16=0(𝑚−4)(𝑚+4)=0 𝑚=4;𝑚=−4. 𝑦𝑚=5𝑚2−4+9−6𝑚2−3𝑚 𝑚2−4=02−3𝑚=0 𝑚=±2𝑚=23 D(y)=R, m4;D(y)=R, m2; 𝑚≠23  m  (-;-4)(-4;4)(4;+)

Якщо вираз у вигляді парного кореня: треба розв’язати нерівність, де підкореневий вираз невід’ємний f(x)≥0. Відповідь D(y) обов’язково у вигляді проміжку. Якщо вираз у вигляді парного кореня у знаменнику: треба розв’язати нерівність, де підкореневий вираз додатній f(x)>0. Відповідь D(y) обов’язково у вигляді проміжку.𝑦𝑥=36−𝑥242−7𝑥 𝑦𝑥=𝑥2+3 𝑦𝑥=49−36𝑥 Якщо вираз містить декілька умов – розв’язуємо систему та знаходимо спільне рішення системи.𝑥2+3≥0, при будь якомуxR 49−36𝑥≥0,𝑥≤4936 36−𝑥2≥0,42−7𝑥>0; 𝑥∈[−6;6],𝑥<6; x  [-6; 6)𝑥∈(−∞; 4936] 

Знаходження точок перетину графіка функції з осями координат без побудови. Якщо графік перетинає вісь ординат ОY, тоді аргумент дорівнює нулю, тобто х=0. Треба замість аргументу х підставити число нуль у формулу та порахувати. Отримаємо точку перетину (0;у). Якщо вираз немає сенсу, тобто не існує (такого значення функції немає) - графік функції вісь ординат ОY не перетинає.

Точки перетину графіка функції з осями координат без побудови. Якщо графік перетинає вісь абсцис ОХ, тоді функція дорівнює нулю, тобто у(х)=0. Треба розв’язати рівняння у(х)=0. Отримаємо точки перетину (х1;0); (х2;0). Отриманий корінь рівняння буде крім того нулем функції. Якщо такого значення аргументу немає - функція немає нулів, тобто графік функції вісь абсцис ОХ не перетинає.

Якщо ОY, тоді х=0 у(0)=20-6=-6 точка перетину (0;-6)Приклад №7 Функцію задано формулою у=2х-6. Знайдіть точки перетину з осями координат. Розв’язання: Якщо ОХ, тоді у=0 0=2х-66=2xx=3точка перетину (3;0)Приклад №8 Функцію задано формулою g(a)=a2+1. Знайдіть точки перетину з осями координат. Розв’язання: Якщо ОХ, тоді g=у=0, a2+1=0, розв’язків немає, тобто немає точок перетину з ОХ. Якщо ОY, тоді х=a=0 g(0)=02+1=1 точка перетину (0;1)

Належність точок графікам функції без побудови. Треба замість значення аргументу та значення функції підставити у формулу координати точок та порахувати, перевіряючи істинність умови. При подстанові враховувати, що значення аргументу відповідає абсцисі точки, а значення функції відповідає ордитнаті точки. Якщо точка належить графіку функції або говорять що графік проходить через дану точку, тоді її координати задовольняють формулі функції. Приклад №9 Функцію задано формулою g(a)=a2+1. Чи належать задані точки графіку функції A(0;1); B(-1;1).1=02+11=1, вірно, належить1=(-1)2+11=2, невірно, не належить. Розв’язання:

Знаходження точок перетину графіків функцій без побудови1 спосіб: скласти систему з двох рівнянь та розв’язати її алгебраїчно способом підстановки або додавання. Рішення системи будуть спільними точками.2 спосіб: якщо це потрібно, виразити значення функції у через значення аргументу х. Прирівняти праві частини двох функцій та розв’язати отримане рівняння y1(x)=y2(x). Знайдені корені рівняння підставити в будь яку з двох функцій та знайти значення y(x).

Приклад №10 Не виконуючи побудови, знайдіть координати точок перетину графіків функційy=16x-8 і y=6x+7. Розв’язання:1 спосібy=16x−8,y=6x+7; y=16x−8,16x−8=6x+7; y=16x−8,10x=15; y=16,x=1,5; y=16∙1,5−8,y=16; точка перетину (1,5; 16)2 спосібy1=16x-8 =y2=6x+7.16x−8=6x+7; y=6∙1,5+7,y=16; 16x−8=6x+7; 16x−6х=8+7; 10х=15; х=1,5; 16x−6х=8+7; 10х=15; х=1,5; 

Джерела інформаціїhttps://learn.logoptimus.nethttps://uk.wikipedia.org/wiki/https://www.youtube.com/https://naurok.com.ua/urok. Підручник за 7 клас Алгебра Автор: Істер, Нова програма 7 клас. Підручник за 7 клас Алгебра Автор: Мерзляк, Полонський, Якір, Нова програма 7 клас