Презентація до відкритого уроку на тему "Похідна та її застосування"

ТЕМА«Похідна та її застосування»

Лише диференціальне числення дає можливість природознавству зображати математично не тільки стан, але і процес руху Фрідріх Енгельс. Архімед (287 – 212 до н. е.) - великий вчений. Першовідкривач багатьох фактів і методів математики і механіки, блискучий інженер. Архімед побудував дотичну до спіралі, що носить його ім'я.

Більш загальним і важливим для розвитку диференціального числення був метод побудови дотичних Ферма. П'єр Ферма (1601 – 1665 рр.) – французький математик і юрист. У 1638 році П'єр Ферма, використовуючи алгебраїчні методи, сформулював необхідну умову існування в точці екстремуму. На сучасній мові вона звучить так: якщо похідна в точці дорівнює нулю або не існує, то в цій точці функція має екстремум.

Ісаак Ньютон (1643-1727) – один з творців диференціального обчислення. Ньютон ввів поняття похідної, вивчаючи закони механіки, тим самим розкрив її механічний зміст. Лейбніц Готфрід Фрідріх (1646 – 1716) – великий німецький учений, філософ, математик, фізик, юрист, мовознавець, Лейбніц прийшов до поняття похідної, вирішуючи задачу проведення дотичної до довільної лінії, пояснивши цим її геометричний зміст

Лагранж, Жозеф (1736-1813), французький математик і механік. Термін «похідна» вперше зустрічається у француза Луї Арбогаста. Цим терміном став користуватися Лагранж, який і ввів позначення у' і f '(x). Поняття похідної зустрічається також у Р. Декарта (1596-1650), французького математика Ж. Роберваля (1602-1675), англійського вченого Д. Грегорі (1638-1675), в роботах В. Барроу (1630-1677). Великий внесок у вивчення диференціального числення внесли Лопиталь (1661-1704), Бернуллі (1744-1807), Гаусс (1777-1855), Коші (1789-1857).

Фізика:ω(t) = ϕ′(t) — кутова швидкість — похідна від кута повороту;a(t) = ω′(t) — кутове прискорення — похідна від кутової швидкості;I(t) = q′(t) — сила струму — похідна від кількості електрики;N(t) = A′(t) — потужність — похідна від роботи;C(t) = Q′(t) — теплоємність — похідна від кількості теплоти;P(t) = V′(t) — продуктивність праці — похідна від обсягу продукції. Хімія та біологія швидкість хімічної реакції в даний момент часу v(t) = p'(t); y ′= P(t) = x ′ (t) - продуктивність життєдіяльності популяції в момент часу t, де у = x(t) – залежність між кількістю мікроорганізмів у і часом t її розмноження. Довжина кола – це похідна від площі круга за радіусом lкола =S′ (R). Успіхи в навчанні? Похідна зростання знань. Похідна у житті та науках

Вправа «Контейнер»Необхідно вказати номера правильно записаних формул і серед них вибрати ті, що виражають правила диференціювання.

Вправа «Знайди пару»

Готуємося до НМТ1. Обчисліть значення похідної функції.𝑓𝑥=2𝑥3−5 у точціx0 = − 1 Розв’язання:𝑓′ (𝑥) =6𝑥2 𝑓′ (-1) = 6 х (−1)2 = 6 

2. Матеріальна точка рухається прямолінійно за законом x(t) = 𝟔𝒕𝟐, де 𝐭 - координати точки, t-час. За якою формулою визначають швидкість v(t) матеріальної точки в будь-який момент часу t? Розв’язання:x' (t) =12t. V(t) = 12t

3. Укажіть похідну функції f(𝑥)=2𝑥−3𝑥  Розв’язання: f ' (x) = 2𝑥−3′× 𝑥 −2𝑥−3 × 𝑥′𝑥2=𝟐𝒙−𝟐𝒙+𝟑𝒙𝟐=𝟑𝒙𝟐 

4. Знайдіть значення похідної функції fx=4 𝑐𝑜𝑠𝑥+5 у точці 𝑥0=𝜋2   Розв’язання:f ′(𝑥)=−4 𝑠𝑖𝑛𝑥 + 0 = −4 𝑠𝑖𝑛𝑥f ′(𝜋2) =− 4 sin 𝜋2 = −4  

Розв’язання: y'(x) = 2 + (−sinx)=2−sinx 5. Знайдіть похідну функції y = 2x + cosx

6. Знайдіть похідну функціїf (𝑥)=sin(2x−1)  Розв’язання:f ′(𝑥)=cos(2x −1)×(2𝑥−1)′=cos2𝑥−1×2=2cos⁡(2𝑥−1) 

Приклади задач:{5 C22544 A-7 EE6-4342-B048-85 BDC9 FD1 C3 A} (0; 100)100(100; +∞)f (x)+0–f (x)39000  max Задача1. Підприємство виробляє х одиниць деякої однорідної продукції в місяць. Встановлено, що залежність фінансового накопичення підприємства від обсягу випуску виражається формулою f(x) = – 0,02x3 + 600x – 1000. Дослідити потенціал підприємства. Розв’язання: Функція досліджується за допомогою похідної. f ′(x) = (– 0,02x3 + 600x – 1000)′ = -0,02∙3х2 + 600=-0,06х2 + 6000;-0,06х2 + 600 = 0 х2 = 600: 0,06  х2 =10000  х= 100, але -100 не підходить, тому: Задача1. Підприємство виробляє х одиниць деякої однорідної продукції в місяць. Встановлено, що залежність фінансового накопичення підприємства від обсягу випуску виражається формулою f(x) = – 0,02x3 + 600x – 1000. Дослідити потенціал підприємства. Висновок: Фінансові накопичення підприємства зростають зі збільшенням обсягу виробництва до 100 одиниць, при х =100 вони досягають максимуму і обсяг накопичення дорівнює 39000 грошових одиниць. Подальше зростання виробництва призводить до скорочення фінансових накопичень. Отримуємо, що при х =100 функція досягає максимум. Похідна у майбутній професії

Задача 2. Автомобіль наближається до мосту з початковою швидкістю 72 км/год (20 м/с). Біля мосту висить дорожній знак «36 км/год». За 7 сек до в'їзду на міст водій натиснув на гальмівну педаль. Чи з дозволеною швидкістю автомобіль в'їхав на міст, якщо гальмівний шлях визначається формулою s = (20t - t2)м/с?Розв’язання: v = s'(t) = (20t - t2)′ = 20 – 2t  s'(7) = 20 - 2∙7 = 6 (м/c)  v = 6 (м/с). Швидкість дозволена, так як менше 10(м/с). У нас тепер немає сумнівів про корисність похідної. Висновок: підготовленими матеріалами ми показали на прикладах застосування похідної.

Задача 1. Обсяг продукції u, вироблений бригадою робітників, може бути описаний рівнянням u = -5/6t3 + 15/2t2 + 100t + 50 (од.) , 1< t <8, де t — робочий час у годинах. Обчислити продуктивність праці та швидкість її зміни через дві години після початку роботи.

Задача 2. На рисунку наведено графік функції, що описує процес роботи деякого виробництва. Використовуючи рисунок, визначте:а) критичні точки цієї функції;б) проміжки зростання і спадання;в) точки максимуму і мінімуму.

Підведення підсумків заняття. Закінчить одну з фраз:1. Сьогодні я дізнався…2. Було цікаво…3. Було важко…4. Я виконував завдання…5. Тепер я можу…6. Я навчився…7. Я зміг…8. Мені захотілося…

Домашнє завдання. О. С. Істер. Математика. Рівень стандарту. Видавництво Генеза, 2018 р., § 22, №22.10; §23 №23.4; §24 №24.18 Завдання для високого рівня. Задача. Витрати на виробництво продукції обсягу х задаються функцією u = -5/6t3 + 15/2t2 + 100t + 50 (од.). Виробник реалізує продукцію за ціною 25 ум.од. Знайдіть максимальний прибуток R і відповідний обсяг продукції х.