Презентація "Аркфункції та найпростіші тригонометричні рівняння"

Аркфункції та найпростіші тригонометричні рівняння

Пригадаємо: Які тригонометричні функції ви знаєте?Що є графіком функції синус?Графік якої тригонометричної функції проходить через початок координат?Графік якої тригонометричної функції симетричний відносно осі ординат?

Продовжимо: Якщо функція на деякому проміжку неперервна і монотонна (зростає або спадає), то вона на цьому проміжку має обернену функцію.

Функція y=sinx неперервна і зростає на проміжку −𝝅𝟐;𝝅𝟐, отже на цьому проміжку вона має обернену функцію, яка називається арксинусом. Арксинусом числа а (arcsina) називається такий кут із проміжку −𝝅𝟐;𝝅𝟐, синус якого дорівнює а. Наприклад, 𝒂𝒓𝒄𝒔𝒊𝒏𝟑𝟐=𝝅𝟑 

Функція y=cosx неперервна і спадає на проміжку 𝟎;𝝅, отже на цьому проміжку вона має обернену функцію, яка називається арккосинусом. Арккосинусом числа а (arccosa) називається такий кут із проміжку 𝟎;𝝅, косинус якого дорівнює а. Наприклад, 𝒂𝒓𝒄𝒄𝒐𝒔𝟑𝟐=𝝅𝟔 

Функція y=tgx неперервна і зростає на проміжку −𝝅𝟐;𝝅𝟐, отже на цьому проміжку вона має обернену функцію, яка називається арктангенсом. Арктангенсом числа а (arctga) називається такий кут із проміжку −𝝅𝟐;𝝅𝟐, тангенс якого дорівнює а. Наприклад, 𝒂𝒓𝒄𝒕𝒈𝟑𝟑=𝝅𝟔 

Функція y=ctgx неперервна і спадає на проміжку𝟎;𝝅, отже на цьому проміжку вона має обернену функцію, яка називається арккотангенсом. Арккотангенсом числа а (arcctga) називається такий кут із проміжку 𝟎;𝝅, котангенс якого дорівнює а. Наприклад, 𝒂𝒓𝒄𝒄𝒕𝒈𝟑𝟑=𝝅𝟑 

arcsin(-a) = -arcsina arctg(-a) = -arctga arcсtg(-a) = π-arcсtga arccos(-a) = π-arcсosa Аркфункції від'ємних кутів знаходимо за формулами:

Обчисліть швидко і запишіть в зошит тільки результати:1.arcsin 2. arccos 3. arctg 5.arcsin (– ) 4. arctg ( - ) 6. arccos (-1)Звірте відповіді:7. arcсоs(- ) 𝝅𝟑;𝝅𝟒;𝝅𝟑;−𝝅𝟔;−𝝅𝟔;𝝅;𝟓𝝅𝟔. 

Найпростіші тригонометричні рівняння

𝜋2 −𝜋2 𝜋 -𝜋 -11arccos a-arccos ayxcos x = ay = cos xy = a

aarccos a-arccos acos x = a x = ±arccos a+2𝝅𝒏,𝒏𝝐𝒁 cos x = 0 x = 𝝅𝟐+𝝅𝒏,𝒏𝝐𝒁 cos x = 1 x = 𝟐𝝅𝒏,𝒏𝝐𝒁 cos x = -1 x = 𝝅+𝟐𝝅𝒏,𝒏𝝐𝒁 Окремі випадки:

sin x = ay = sin xy = aarcsin a𝜋−arcsin a 

arcsin a𝜋−arcsin a asin x = a x = arcsina+2𝝅𝒏,𝒏𝝐𝒁  x = 𝝅−arcsina+2𝝅𝒏,𝒏𝝐𝒁  x = (−𝟏)𝒌arcsina+𝝅𝒌,𝒌𝝐𝒁  x =−arcsina+ 𝝅+2𝝅𝒏,𝒏𝝐𝒁  x = +arcsina+2𝒏𝝅,𝒏𝝐𝒁  x =−arcsina+ (𝟏+2𝒏)𝝅,𝒏𝝐𝒁 𝒌 

sinx = 0 x = 𝝅𝒏,𝒏𝝐𝒁 sin x = 1 x = 𝝅𝟐+𝟐𝝅𝒏,𝒏𝝐𝒁 sin x = -1 Окремі випадки: x = −𝝅𝟐+𝟐𝝅𝒏,𝒏𝝐𝒁 

tg x = ax = arctga + 𝝅𝒏, 𝒏𝝐 𝒁  ctg x = ax = arcctga + 𝝅𝒏, 𝒏𝝐 𝒁  

Успіхів!