Презентація на тему: "Числові функції, їх властивості та графіки"

Числові функціїта їх властивостіАлгебра • 10 клас. Від поняття функції до основних графіків і їх перетвореньy = f(x)Вчитель математики: Вацлавів Світлана Володимирівна110

Мета уроку. Що будемо вміти після теми1повторити, що таке функціяі що означає запис y = f(x)2повторити знаходження D(f) та E(f)область визначення і область значень3пригадати основні графіки функційпряму, параболу, гіперболу, √x4пригадати перетворення графіків числових функційзсуви, відображення та модуль. Головна ідея: формула, таблиця і графік описують одну й ту саму залежність.‹#›

1. Що таке числова функція?Кожному x відповідає тільки одне y. Числова функція — це правило, за яким кожному допустимому значенню x відповідає тільки одне значення y. Запис: y = f(x)x — аргументнезалежна зміннаy — значення функціїзалежить від x. Приклад: f(x) = x² + 1xy-2501310 Наприклад: f(3)=10, бо 3²+1=10‹#›

2. Область визначення і область значень. Область визначення D(f)усі значення x, які можна підставити у функцію. Область значень E(f)усі значення y, які може набувати функція. Порада: спочатку запитай «які x можна брати?», а потім «які y отримаємо?»Приклад: y = x²D(f) = ℝE(f) = [0; +∞)‹#›110

3. Способи задання функціїОдну залежність можна показати по-різному. Формулоюf(x) = 2x + 3зручно обчислювати. Таблицеюx: −1 0 1y: 1 3 5видно готові пари (x; y)Графікомвидно форму і зміну. Словесно«помножити x на 2і додати 3»правило записане словами. Усі чотири способи можуть описувати одну і ту саму функцію.‹#›110

4. Графік функціїГрафік показує, як змінюється y. Графік — це не просто малюнок: кожна його точка відповідає парі чисел (x; y).‹#›110

5. Парні функціїСиметрія відносно осі Oy(−2; 2)(2; 2)y = x²вісь Oy. Означення. Функція називається парною, якщо для кожного допустимого x виконується рівність:f(−x) = f(x)Що це означає на графіку?Ліва і права частини графіка однакові, як дзеркальне відображення відносно осі Oy. Прикладиy = x², y = |x|, y = x⁴Перед перевіркою парності область визначення має бути симетричною: якщо x можна брати, то −x теж можна брати.7110xy

6. Непарні функціїСиметрія відносно початку координат(−x; −y)(x; y)y = x³центр симетрії OОзначення. Функція називається непарною, якщо для кожного допустимого x виконується рівність:f(−x) = −f(x)Що це означає на графіку?Якщо повернути графік на 180° навколо точки O, він збігається сам із собою. Прикладиy = x, y = x³, y = 1/x. Як перевірити: 1) підставити −x замість x; 2) спростити; 3) порівняти з f(x) і −f(x).8110xy

7. Основні види числових функцій. Спочатку впізнаємо форму графіка. Лінійнаy = kx + b. Квадратичнаy = ax² + bx + c. Обернена пропорційністьy = k / x. Квадратний коріньy = √x‹#›110110110110

8. Лінійна функція y = kx + b. Графік — пряма. Число k показує напрям прямої.k > 0пряма піднімаєтьсяk < 0пряма опускаєтьсяk = 0горизонтальна прямаbпоказує, де пряма перетинає вісь Oy. Якщо b = 0, маємо y = kx — пряму пропорційність.‹#›D(f)=ℝ E(f)=ℝ, якщо k≠0. Якщо k=0, то E(f)={b}.110110110

9. Квадратична функціяy = ax² + bx + c, a ≠ 0 Графік квадратичної функції називається параболою.a > 0гілки напрямлені вгоруa < 0гілки напрямлені вниз. Найпростіший приклад: y = x²‹#›D(f)=ℝ. E(f): якщо a>0 → [y₀; +∞), якщо a<0 → (−∞; y₀]. Для y=x²: E(f)=[0; +∞).110110

10. Обернена пропорційністьy = k / x, k ≠ 0 Графік — гіпербола з двома гілками.k > 0k < 0 D(f) = ℝ / {0}x = 0 брати не можна. E(f) = ℝ / {0}‹#›110110

11. Функція квадратного кореняy = √x. D(f) = [0; +∞)x не може бути від’ємним. E(f) = [0; +∞)значення y також невід’ємніГрафік починається в точці (0;0) і поступово зростає.‹#›110

12. Перетворення графіків. Новий графік будуємо з уже відомогоy = f(x) + nвгору / внизy = f(x + m)вліво / вправоy = −f(x)симетрія відносно Oxy = f(−x)симетрія відносно Oyy = |f(x)|частину нижче Ox симетрично відбити вгоруy = f(|x|)праву частину симетрично відбити вліво. Далі — три прості правила з малюнками.‹#›

13. Зсуви графіка. Зовні — по y, усередині — по xy = f(x) + nn > 0 → графік рухається вгоруn < 0 → графік рухається внизy=x²y=x²+2y = f(x + m)m > 0 → графік рухається влівоm < 0 → графік рухається вправоy=x²y=(x+2)²Важливо: знак всередині дужок працює «навпаки».‹#›110110

14. Відображення графіка. Знак «мінус» змінює напрямy = −f(x)Відображаємо графік відносно осі Ox.y=√xy=−√xy = f(−x)Відображаємо графік відносно осі Oy.y=√xy=√(−x)‹#›110110

15. Перетворення з модулем. Що змінюється у |f(x)| та f(|x|)y = |f(x)|Частину графіка нижче осі Ox відображаємо вгору.f(x)=x−1|f(x)|=|x−1|y = f(|x|)Беремо праву частину графіка і дзеркально копіюємо її вліво.f(x)=x−1f(|x|)=|x|−1‹#›110110

Перевір себе. Коротка практика за планом уроку. Завдання1. У функції y=f(x) назвіть аргумент і значення функції.2. Для y=x² запишіть D(f) та E(f).3. Як виглядає графік лінійної функції?4. Який графік має функція y=k/x?5. Куди зміститься y=f(x)+3?6. Що робить перетворення y=f(−x)?Запам’ятай. Функціякожному x → одне y. D(f)допустимі x. E(f)можливі y. Графікипряма • парабола • гіпербола • √x. Перетвореннязсув • відображення • модуль. Головне — бачити зв’язок між формулою і графіком.‹#›