Презентація на тему: "Задачі з кривими другого порядку"

задачі з кривими другого порядку. Еліпс та його канонічне рівняння. Коло, як частинний випадок еліпса. Гіпербола та її канонічне рівняння. Ексцентриситет гіперболи. Асимптоти гіперболи. Парабола та її канонічне рівняння.

Типові задачі Як побудувати еліпс? Як знайти фокуси еліпса? Як знайти ексцентриситет та директриси еліпса? Чи може ексцентриситет еліпса дорівнювати нулю? Як виконати паралельне перенесення еліпса чи кола? Як побудувати гіперболу? Як знайти фокуси та ексцентриситет гіперболи? Як виконати паралельне перенесення гіперболи? Як побудувати параболу?Як виконати поворот та паралельне перенесення параболи?

Як побудувати еліпс?Приклад 1. Побудувати еліпс, який заданий рівнянням 𝑥216+ 𝑦27=1. Розв'язання. Спочатку приведемо рівняння до канонічного виду: 𝑥242+𝑥272=1. Знайдемо вершини еліпса: А14;0,А2−4;0, В10;7, В20;−7. Знайдемо додаткові точки еліпса з абсцисами 𝑥=1,  𝑥=2,  𝑥=3,  а потім враховуючи симетрію еліпса виконаємо побудову. 

Як знайти фокуси еліпса? Приклад 2. Знайти фокуси еліпса, який заданий рівнянням 𝑥216+ 𝑦27=1. Розв'язання. Враховуючи канонічне рівняння еліпса, робимо висновок, що 𝑎2=16, 𝑏2=7. Знайдемо половину фокусної відстані еліпса:𝑐=16−7=3. Запишемо фокуси еліпса:𝐹13;0,𝐹2−3;0. Відповідь: 𝐹13;0,𝐹2−3;0. 

Як знайти ексцентриситет та директриси еліпса? Приклад 3. Знайти ексцентриситет та директриси еліпса, який заданий рівнянням 𝑥216+ 𝑦27=1. Розв'язання. Знайдемо половину фокусної відстані еліпса:𝑐=16−7=3. Знайдемо ексцентриситет еліпса: 𝜀=𝑐𝑎 = 34 = 0,75. Запишемо директриси еліпса:𝑑1:𝑥=𝑎𝜀=40,75=163=513,𝑑1:𝑥=−𝑎𝜀=−513. Відповідь: ε=0,75,  𝑥= ±513. 

Чи може ексцентриситет еліпса дорівнювати нулю? Приклад 4. Побудувати еліпс, який заданий рівнянням 𝑥216+ 𝑦216=1 та знайти його ексцентриситет. Розв'язання. Знайдемо половину фокусної відстані еліпса:𝑐=16−16=0. Знайдемо ексцентриситет еліпса: 𝜀=𝑐𝑎 = 04 = 0. Побудувати коло з центром в початку координат радіуса 4. Відповідь: ε=0. 

Як виконати паралельне перенесення еліпса чи кола? Приклад 5. Побудувати еліпс, який заданий рівнянням  (𝑥+2)216 + (𝑦−1) 27 =1.  Розв'язання. Знайдемо центр симетрії еліпса: О(-2;1). За допомогою паралельного перенесення вихідної системи координат перейдемо до нової прямокутної системи координат з початком в точці О(-2;1) і побудуємо в ній еліпс, у якого 𝑎=4, 𝑏=7.  

Як виконати паралельне перенесення еліпса чи кола? Приклад 6. Побудувати коло, яке задане рівнянням 𝑥−32+ 𝑦+22 =1.  Розв'язання. Знайдемо центр симетрії кола: О(3;-2). За допомогою паралельного перенесення вихідної системи координат перейдемо до нової прямокутної системи координат з початком в точці О(3;-2) і побудуємо в ній коло, радіуса r=1.  

Як побудувати гіперболу? Приклад 7. Побудувати гіперболу, яка задана рівнянням 5𝑥2−4𝑦2 = 20. Розв'язання. Спочатку приведемо рівняння до канонічного виду: 𝑥222−𝑦252=1. Знайдемо вершини гіперболи: А12;0,А2−2;0. Знайдемо асимптоти гіперболи: 𝑦=±52𝑥. Знайдемо допоміжні точки з абсцисами 𝑥=3, 𝑥=4. Побудувати вершини, асимптоти, допоміжні точки та симетричні їм точки в інших координатних чвертях, охайно з'єднати та отримати гіперболу.  

Як знайти фокуси та ексцентриситет гіперболи?Приклад 8. Знайти фокуси та ексцентриситет гіперболи, яка задана рівнянням : 𝑥24−𝑥25 = 1. Розв'язання. Знайдемо половину фокусної відстані гіперболи:𝑐=4+5=3. Знайдемо фокуси гіперболи: 𝐹13;0,𝐹2−3;0. Знайдемо ексцентриситет гіперболи: 𝜀=𝑐𝑎 = 32 = 1,5. Відповідь: 𝐹13;0,𝐹2−3;0,  ε=1,5. 

Як виконати паралельне перенесення гіперболи?Приклад 9. Побудувати гіперболу  (𝑥−1)222−(𝑦+1)252 =1. Знайти фокуси та асимптоти гіперболи. Розв'язання. Знайдемо центр симетрії гіперболи: О(1;-1). Знайдемо асимптоти гіперболи: 𝑦−𝑦0=±𝑏𝑎𝑥−𝑥0𝑦−𝑦0=±52𝑥−𝑥0𝑦=52𝑥−52−1,𝑦=−52𝑥+52−1. Знайдемо фокуси гіперболи:𝐹1𝑐+𝑥0;𝑦0, 𝐹1−𝑐+𝑥0;𝑦0𝐹13+1;−1 , 𝐹1−3+1;−1 𝐹14;−1 , 𝐹1−2;−1 . Виконаємо побудову гіперболи в прямокутній системі координат з початком в точці О(1;-1), у якої 𝑎=2, 𝑏=5.  

Як побудувати параболу? Приклад 10. Побудувати параболу 𝑦2 = 4𝑥. Знайти фокус і директрису параболи. Розв'язання. Спочатку приведемо рівняння до канонічного виду: 𝑦2 = 2∙2𝑥  𝑝=2. Знайдемо фокус параболи: F (𝑝2;0)  F 1;0. Знайдемо директрису параболи: 𝑥+𝑝2 = 0  𝑑:𝑥+1=0 Знайдемо допоміжні точки з абсцисами 𝑥=0,5,  𝑥=1,  𝑥=2,  𝑥=4. Побудувати вершину, допоміжні точки та симетричні їм точки в інших координатних чвертях, охайно з'єднати та отримати параболу.  

Як виконати поворот параболи? Якщо в рівнянні присутній знак «мінус»: 𝑦2=−2𝑝𝑥,  то це означає поворот параболи на 180° відносно свого канонічного положення. Якщо в рівнянні 𝑦2=2𝑝𝑥 змінні помінялися місцями: 𝑥2=2𝑝𝑦, то це означає поворот канонічної параболина 90° проти годинникової стрілки.    

Як виконати паралельне перенесення параболи? Приклад 11. Побудувати параболу 𝑦2 = −2𝑥+3. Знайти фокус і директрису параболи. Розв'язання. Спочатку перетворимо рівняння : 𝑦2 = −2𝑥−32  вершина параболи знаходиться в точці О 32; 0, вітки направлені вліво, 𝑝=1. Знайдемо фокус параболи: F (𝑝2;0)  F 12;0. Знайдемо директрису параболи: 𝑥+𝑝2 = 0  𝑑:𝑥+12=0 Знайдемо допоміжні точки з абсцисами 𝑥=−3,  𝑥=−1,  𝑥=0,  𝑥=1. Побудувати вершину, допоміжні точки та симетричні їм точки в інших координатних чвертях, охайно з'єднати та отримати параболу.  

Домашнє завдання. Знайти канонічне рівняння кривої, зобразити її схематично: 𝑥2−2𝑥+2𝑦2+6𝑦+1=0. Скласти канонічне рівняння гіперболи, фокуси якої лежать на вісі абсцис, симетрично відносно початку координат, якщо гіпербола проходить через точки A−6;1 і B8;−22. Скласти рівняння параболи, симетричної відносно вісі Ох, і яка проходить через точки M−2;1 і O0;0. 

Дякую за співпрацю