Прикладні задачі з математики

Прикладні задачі з математики за темами. Квадратні рівняння. Формула коренів квадратного рівняння. Теорема Вієта та обернена до неї теорема. Квадратне рівняння як математична модель текстових і прикладних задач. Квадратний тричлен. Розкладання квадратного тричлена на лінійні множники. Розв*язування рівнянь, які зводяться до квадратних. Розв*язування задач за допомогою дробових раціональних рівнянь

Задача: Площа квадратного городу становить 144 м². Знайдіть довжину сторони цього городу. Розв'язок: Позначимо довжину сторони городу як x (у метрах). Складемо рівняння. Оскільки площа квадрата дорівнює квадрату його сторони, маємо: x² = 144 Це неповне квадратне рівняння виду ax² + c = 0, де a = 1, b = 0, c = -144. Розв'яжемо рівняння: x² = 144 x = ±√144 x = ±12 Оскільки довжина сторони не може бути від'ємною, беремо тільки додатний корінь: x = 12 Відповідь: Довжина сторони городу становить 12 метрів.

Задача-2: Морська ферма для розведення риби. Морська компанія планує створити прямокутний басейн для розведення риби в прибережних водах. Площа басейну повинна становити 240 квадратних метрів. Якщо ширина басейну на 4 метри менша за його довжину, знайдіть розміри басейну. Розв'язок: Позначимо невідоміНехай x (м) - ширина басейну. Тоді (x + 4) м - довжина басейну Складаємо рівняння Площа прямокутника = довжина × ширина x(x + 4) = 240 Приводимо до стандартного вигляду квадратного рівняння x² + 4x = 240 x² + 4x - 240 = 0 Застосовуємо формулу коренів квадратного рівняння Для рівняння ax² + bx + c = 0: x = (-b ± √(b² - 4ac)) / 2a. У нашому випадку: a = 1, b = 4, c = -240 Обчислюємо дискримінант D = b² - 4ac = 4² - 4(1)(-240) = 16 + 960 = 976 Крок 6: Знаходимо корені x = (-4 ± √976) / 2 √976 ≈ 31,24 x₁ = (-4 + 31,24) / 2 = 27,24 / 2 = 13,62 x₂ = (-4 - 31,24) / 2 = -35,24 / 2 = -17,62 Вибираємо правильний корінь Оскільки ширина не може бути від'ємною, x = 13,62 м ≈ 14 м Довжина = x + 4 = 14 + 4 = 18 м. Відповідь: Ширина басейну 14 м, довжина 18 м.

Задача-3: "Футбольне поле та його розміри"На футбольному полі потрібно встановити два прямокутні сектори для тренувань. Відомо, що сума довжин цих секторів становить 50 метрів, а їх добуток дорівнює 600 квадратних метрів. Знайдіть довжини обох секторів. Розв'язок: Позначимо довжини секторів як x₁ та x₂. Складемо систему рівнянь за умовою:x₁ + x₂ = 50 (сума довжин)x₁ · x₂ = 600 (добуток довжин)Крок 3. Застосуємо обернену теорему Віета. Якщо x₁ та x₂ є коренями квадратного рівняння, то це рівняння має вигляд: t² - (x₁ + x₂)t + x₁·x₂ = 0 Підставимо відомі значення: t² - 50t + 600 = 0 Розв'яжемо квадратне рівняння за допомогою дискримінанта: D = b² - 4ac = (-50)² - 4·1·600 = 2500 - 2400 = 100 Знайдемо корені: t₁ = (50 + √100)/2 = (50 + 10)/2 = 30 t₂ = (50 - √100)/2 = (50 - 10)/2 = 20 Перевіримо за теоремою Віета:x₁ + x₂ = 30 + 20 = 50 ✓x₁ · x₂ = 30 · 20 = 600 ✓Відповідь: Довжини секторів становлять 30 метрів та 20 метрів.

Задача-4 : Планування території заповідника в Харківській областіУ Харківській області планують створити новий природний заповідник прямокутної форми. Відомо, що довжина заповідника на 8 км більша за його ширину, а загальна площа заповідника повинна становити 240 км². Знайдіть розміри майбутнього заповідника. Розв'язок: Позначимо невідоміНехай x (км) – ширина заповідника. Тоді (x + 8) км – довжина заповідника Складаємо рівняння Площа прямокутника = довжина × ширина x(x + 8) = 240 Розкриваємо дужки та приводимо до стандартного вигляду x² + 8x = 240 x² + 8x - 240 = 0 Розв'язуємо квадратне рівняння за формулою Для рівняння ax² + bx + c = 0, де a = 1, b = 8, c = -240 Дискримінант: D = b² - 4ac = 8² - 4(1)(-240) = 64 + 960 = 1024x = (-b ± √D)/(2a) = (-8 ± √1024)/(2·1) = (-8 ± 32)/2x₁ = (-8 + 32)/2 = 24/2 = 12 x₂ = (-8 - 32)/2 = -40/2 = -20 Аналізуємо отримані розв'язки Оскільки ширина не може бути від'ємною, x = 12 км. Знаходимо довжину Довжина = x + 8 = 12 + 8 = 20 км. Відповідь: Розміри заповідника: ширина 12 км, довжина 20 км.

Задача-5: Інженер проектує параболічну антену для прийому супутникового сигналу. Форма поперечного перерізу антени описується квадратним тричленом f(x) = x² - 5x + 6, де x - це відстань від центру антени в метрах, а f(x) - висота поверхні антени в метрах.Інженеру потрібно знайти точки, де поверхня антени перетинає горизонтальну площину (тобто де f(x) = 0), щоб правильно встановити опорні стійки. Розв'язок: Записуємо рівняння x² - 5x + 6 = 0 Розкладаємо квадратний тричлен на множники шукаємо два числа, які в добутку дають 6, а в сумі дають -5. Це числа -2 і -3, оскільки: (-2) × (-3) = 6 та (-2) + (-3) = -5 Записуємо розкладання x² - 5x + 6 = (x - 2)(x - 3) Розв'язуємо рівняння (x - 2)(x - 3) = 0 За властивістю добутку, який дорівнює нулю: x - 2 = 0 або x - 3 = 0 x = 2 або x = 3 Відповідь: Опорні стійки потрібно встановити на відстані 2 метри та 3 метри від центру антени.

Задача-6: Під час війни школа в місті Харкові організувала навчання в підвальному приміщенні. Учителька математики Марія Іванівна та її колега Олег Петрович разом ведуть онлайн-уроки для дітей з різних міст України. Марія Іванівна може підготувати план уроку за x годин, а Олег Петрович - за (x + 2) години. Працюючи разом, вони підготували план уроку за 2,4 години. За скільки годин кожен з учителів може самостійно підготувати план уроку?Розв'язання: Нехай швидкість роботи Марії Іванівни становить 1/x частину роботи за годину, а швидкість роботи Олега Петровича - 1/(x+2) частину роботи за годину. Разом за 2,4 години вони виконали всю роботу, тому: 2,4 × (1/x + 1/(x+2)) = 12,4 × (x+2+x)/(x(x+2)) = 12,4 × (2x+2)/(x(x+2)) = 12,4(2x+2) = x(x+2)4,8x + 4,8 = x² + 2xx² + 2x - 4,8x - 4,8 = 0x² - 2,8x - 4,8 = 0 Розв'язуючи квадратне рівняння: x = 4 Відповідь: Отже, Марія Іванівна може підготувати план уроку за 4 години, а Олег Петрович - за 6 годин.