Теорема Вієта

Лабораторна робота №4

Рівняння і нерівності та їх системи в курсі алгебри основної школи

Умань – 2016

Тема: Теорема Вієта

Дата:                                                                                              Клас: 8

Мета:

навчальна: формування вмінь учнів розв'язувати завдання з застосування теореми Вієта; ознайомити учнів із теоремою Вієта для зведеного квадратного рівняння та для квадратного рівняння загального виду;

розвиваюча: логічне мислення, пам’ять, зосередженість, уважність, допитливість;

виховна:  самостійність, наполегливість, інтерес до математики.

Тип уроку: формування вмінь та  навичок

Обладнання: Аглебра 8 кл.: Підруч. для загальноосвіт. навч. закл./ О.С.Істер. – Києв : Генеза, 2016. – 272 с.

Хід уроку:

1. Організаційний момент

Привітання, перевірка присутності учнів на уроці.

2. Перевірка домашнього завдання

Перевірити наявність та правильність виконаного домашнього завдання.

3. Актуалізація опорних знань

Фронтальне опитування

1. Перетворіть на зведене рівняння квадратне рівняння:

а) ;    б) ;    в) .

2. Назвіть коефіцієнти a, b, c у квадратному рівнянні:

а) ;      б) ;      в) .

(а)3,6,-1; б)3, -7; в)2,5)

3. Розв’яжіть квадратне рівняння:

а) ;      б) ;      в) ;      г) .

(а)0,4; б)0,10; в)0,-7; г)-1/4,1/4)

4.    Повідомлення теми і мети уроку

Сьогодні на уроці ми сформуємо вмінь учнів розв'язувати завдання з застосування теореми Вієта. Ознайомимося із теоремою Вієта для зведеного квадратного рівняння та для квадратного рівняння загального виду.

5.        Мотивація навчальної діяльності (2-4)

Вієт Франсуа (1540—1603) — французький математик і юрист народився в м. Фонтеней. Здобувши юридичну освіту, спочатку був ад¬вокатом, а згодом став радником французького короля Генріха IV. Незважаючи на велику службову завантаженість, Вієт з великим інтересом вивчав математику, присвячуючи цьому свій вільний час. Вієта по праву називають «батьком алгебри», бо завдяки його роботам вона стала наукою про алгебраїчні рівняння, в основу якої покладено символічні позначення. 

Заслугою Вієта було те, що він першим почав позначати буквами не лише невідомі, а й дані величини, тобто коефіцієнти рівнянь. Це дало можливість записувати властивості рівнянь і їх коренів загальними формулами.

Відомі величини та коефіцієнти Вієт позначав приголосними буквами b, с, d, а невідомі голосними а, о, е, ...  У житті Вієта був цікавий факт. Під час війни Франції з Іспанією іспанці використовували для свого листування складний шифр, який французи ніяк не могли розгадати. Король Франції Генріх IV звернувся до Вієта з пропозицією роз-шифрувати іспанські листи. Після наполегливої роботи йому вдалося це зробити. Протягом двох років французи перехоплювали і прочитували таємні листи до іспанського двору. Це давало великі переваги французькому командуванню. Армія Франції завдала ряд поразок армії Іспанії. Іспанці зрозуміли причину своїх невдач і дізналися, хто розшифрував їхній тайнопис. Іспанські інквізитори, які відзначалися особливою жорстокістю, вважали, що людині не під силу розкрити таємницю їхнього шифру, і звинуватили Ф. Вієта в спілкуванні з нечистою силою. Ф. Вієта було засуджено до спалення. На щастя, Генріх IV не видав його інквізиції.

6.    Вивчення нового матеріалу (6-8)

Теорема Вієта. Сума коренів зведеного квадратного рівняння дорівнює другому коефіцієнту, взятому з протилежним знаком, а добуток коренів дорівнює вільному члену.

Для зведеного квадратного рівняння:

Якщо х² + рх + q = 0 має корені х₁ і х₂ (D > 0), то х₁ + х₂ = -р; х₁ · х₂ = q

Для квадратних рівнянь загального вигляду:

Якщо ах² +bх + с =0 має корені х, і х₂ (D >0), то ;

Обернена теорема:

Якщо числа т і п такі, що m + n = -p, mn = q, то т і п — корені рівняння х² + pх + q = 0

Застосування:

розв'язування зведених квадратних рівнянь «підбором»?

х² – 2х – 3 = 0:

х₁ + х₂ = 2, х₁ · х₂ = -3 х₁ = 3, х₂ = -1

7. Формування вмінь та  навичок

Робота біля дошки

835. Знайдіть суму і добуток коренів рівняння:

1) 2х²+4х-5=0                              3) 3х²-6х-8=0

2) -х²+5х-6=0                              4) 4х²-7х=0

Відповідь: 1) х₁ + х₂=-2, х₁ · х₂=2,5; 2) х₁ + х₂=5, х₁ · х₂=-6; 3) х₁ + х₂=-2, х₁ · х₂=-8:3; 4) х₁ + х₂=7:4, х₁ · х₂=0.

837. Розв’язіть квадратне рівняння за формулою коренів та перевірте для нього істиннісь теореми Вієта:

1) х²+3х-28=0                              2) 2х²-13х+15=0

Відповідь: 1) х₁ + х₂=-3, х₁ · х₂=-28; 2) х₁ + х₂=6,5; х₁ · х₂=7,5.

842. Доведіть, що рівняння 12х²+17х-389=0 не може мати коренів, які є числами одного знака.

Відповідь: х₁ + х₂=-, х₁ · х₂=-.

845. Один з коренів рівняння х²+6х+q=0 дорівнює -3,5.

Знайдіть q і другий корінь.

Відповідь: q=8,75; х₂=-2,5.

849. х₁ і х₂ – корені рівняння х² + 4х – 3 = 0. Не розв’язуючи рівняння, знайдіть значення виразу:

1) ;      2) ;       3) ;

4) ;      5) ;           6) .

Відповідь: 1); 2) 12; 3) 22; 4) -; 5)2; 6) 33.

V. Підсумок уроку

В якому з випадків правильно виконано дію?

1) Сума коренів рівняння 5х² – 9х – 2 = 0 дорівнює:

а) -9; б) 1,8; г) -1,8; д) ;

2) добуток коренів рівняння 5х² + 3x – 2 = 0 дорівнює:

 а) -2; б) 2; в) 0,4; г) інша відповідь.

VI. Домашнє завдання. Оцінювання та мотивація

Опрацювати § 22, №838, 844.