Проект. Функція. Способи задання функції.

 

 

 

Назва проекту: «Функція»

Керівник проекту: Романенко Ольга Анатоліївна

Місце роботи:

Предмет у рамках якого проводилася робота за проектом: алгебра

Вік учнів, на який розраховано проект: 7 клас

Тип проекту: Пізнавальний, дослідницький, творчий

За кількістю учасників:  груповий

За тривалістю підготовки: короткотривалий ( два тижні)

Епіграф:

«Немає жодної галузі людського знання, куди не входили б поняття про функції та їх графічне зображення»

К. Ф. Лебединцев

Ключове питання: Що таке функція?

Задачі проекту: 

- розширити знання учнів з алгебри про про функцію;

- Познайомити учнів з різними видами функцій;

- усвідомити важливість даної теореми;

Тематичні питання:

1. Що ви знаєте з історії математики про функцію?
2. Хто вперше ввів поняття функції?
3. Які способи задання функції?
4. Як виконуються перетворення графіків функцій?

Змістовні питання:

1.                                                                            Яку відповідність називають фунцією?
2.                                                                            Як називаються змінні х, у?
3.                                                                            Що таке область визначення і область значень функції?
4.                                                                            Які є способи задання функцій?
5.                                                                            Як будувати графіки функцій?

Мета: поглибити та систематизувати знання учнів функцію;

• формувати обчислювальні навички учнів, розвивати самостійність мислення, вчити об’єктивно оцінювати себе і коригувати свою діяльність  та інших учнів в ході виконання проректу;
• формувати в учнів вміння здійснювати вибір навчально  – пізнавального завдання; вміння осмислювати й використовувати інформацію з різних джерел; вміння співпрацювати в групах, проявляти ініціативу; робити висновки;
• виробити у школярів практичні навички під час побудови графіків функції;
• виховувати спостережливість, науковий підхід, та любов до математики.

Необхідне устаткування: комп’ютер, принтер, цифровий

                                             фотоапарат

Додаткове приладдя та витратні матеріали: Кольоровий папір, фломастери, папір, учнівські зошити.

 

Анотація.

 

Під час роботи над проектом, учні повинні не тільки навчитися збирати первинну інформацію познайомляться поняттям «функція», навчаться навчаться знаходити область визначення та область значень функції. Удосконалять та поглиблять свої знання із теми. Виявлять зв'язок математики з іншими науками. Відкривають для себе багато нового, цікавого захоплюючого з  історії математики. Навчаться захищати свій проект перед однокласниками, критично мислити, розмірковувати, робити висновки, приймати самостійні рішення.

 

Опис проекту.

Проект пропонується для реалізації з учнями 7 класу під час вивчення теми «Функція». Даний проект об’єднує математику та інші дисципліни. У сьомому класі вводиться одне з фундаментальних математичних понять – поняття функції. Тут же розглядається лінійна функція та її графік. Згодом ці відомості використовуються для графічної ілюстрації розв‘язування лінійного рівняння з однією змінною, а також системи двох лінійних рівнянь з двома змінними. Інші види функцій розглядаються у 8 – 11 класах. Клас поділено на чотири групи «історики», «теоретики», «практики», «лірики»

кожна з груп протягом тижня працює над своєю частиною роботи: збирає інформацію, підбирає цікаві факти, готує коротку презентацію за змістом опрацьованого матеріалу, робить висновки.

 

Очікувані продукти: комп’ютерна презентація.

Етапи роботи над проектом:

1. об’єднання учнів у групи за інтересами;
2. розподіл обов’язків;
3. пошук інформації; оформлення матеріалів;
4. пошук відповідей на тематичні питання, узагальнення результатів, досліджень і створення звіту у вигляді презентації; відгуків, фото;

Діяльність учасників та етапи проведення проекту.

 

Підготовчий:

Учитель коментує тему і мету проекту. Мотивує діяльність учнів. Обговорює цілі і головні питання проекту.

 

Планування:

Учні об’єднуються в групи: історики ( вивчають історі ю винекнення функції); теоретики (розшукують різні способи задання функції та її властивості); практики (розглядають питання побудови графіків фукцкції та застосування їх до розвязування вправ), лірики (шукають вірші про функцію). Учні розприділяють обов’язки.

 

Дослідницький:

Відбувається збір інформації про функцію, пошук відповідей на основні питання з подальшим обговоренням, аналізом та корекцією. Кожна група обирає питання та відповідає на них.

 

Презентативний:

Компютерна презентація по даному проекту.

 

Разом навчатися не тільки легше

Й цікавіше, але й значно ефективніше.

Є. С. Полат.

1. Поняття функції таке ж основне й первісне, як і поняття множини.                                                                                           Ф.Хаусдорф.

2. У математиці слід пам’ятати не формули, а процес мислення.                                                                                           В.П.Єрмаков.

3. Недостатньо лише зрозуміти задачу, треба мати бажання розв’язати її. Де є бажання, знайдеться і шлях.                                                                                            Д.Пойа.

 

«Історики»

     Функціональна лінія пронизує весь курс алгебри основної школи і розвивається у тісному зв‘язку з тотожними перетвореннями, рівняннями і нерівностями.

Поняття функції виникло в математиці порівняно недавно. Для того щоб прийти до розуміння доцільності його введення й одержати перші досить чіткі означення, потрібні були зусилля відомих математиків декількох поколінь. Революційні зміни в математиці, що відбулися в ХVІІ сторіччі, викликані роботами багатьох вчених, що представляють різні країни і народи. Але в першу чергу варто назвати імена:

 

П. Ферма (1601—1665),                                                 Р. Декарта (1596—1650),                     

 

Необхідні передумови до виникнення поняття функції були створені в 30-х роках ХVII в., коли виникла аналітична геометрія, що характеризується, на відміну від класичних методів геометрів Древньої Греції, активним залученням алгебри до рішення геометричних задач. Практично одночасно (і незалежно один від одного) французькі математики П. Ферма і Р. Декарт помітили, що введення системи координат на площини і завдання фігур їхніми рівняннями дозволяють звести багато задач геометрії до дослідження рівнянь геометричних фігур. На честь Декарта, що дав розгорнутий виклад нового методу в книгах «Геометрія» і «Міркування про метод», прямокутна система координат пізніше була названа декартовою. Істотно помітити, що одночасно формувалася й алгебра, створювалося «буквене числення», те саме, за допомогою якого зараз перетворюються алгебраїчні вирази, розв”язуються рівняння, текстові задачі і т. п.

   Великий англійський учений, математик і фізик І. Ньютон, досліджуючи залежності координат точки, що рухається, від часу, фактично вже займався дослідженням функцій. Хоча не він увів це поняття, Ньютон ясно усвідомлював його значення. Так, у 1676 р. він відзначав: «Я не міг би, звичайно, одержати цих загальних результатів, перш ніж не відвернувся від розгляду фігур і не звів усе просто до дослідження ординат» (тобто фактично функцій від часу).

    Сам термін «функція» уперше зустрічається в рукописі великого німецького математика і філософа Г. Лейбніца — спочатку в рукописі (1673 р.), а потім і в друкованому вигляді (1692 р.). Латинське слово function переводиться як «здійснення», «виконання» (дієслово fungor переводиться також словом «виражати»). Лейбніц увів це поняття для назви різних параметрів, зв’язаних з положенням точки на площині. У ході переписування Лейбніц і його учень — швейцарський математик И. Бернуллі (1667—1748)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

поступово приходять до розуміння функції як аналітичного виразу й у 1718 р. дають таке означення: «Функцією змінної величини називається кількість, складена яким завгодно способом з цієї перемінної і постійних».

   Л. Эйлер у своїй книзі «Введення в аналіз» (1748 р.) формулював означення функції так: «Функція перемінної кількості є аналітичне вираження, складене яким-небудь способом з цієї перемінної кількості і чисел чи постійних кількостей».

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Эйлер же ввів і прийняті зараз позначення для функцій.

Сучасне означення числової функції, у якому це поняття вже звільнялося від способу завдання, було дано незалежно один від одного російським математиком Н. И. Лобачевским (1834 р.)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

і німецьким математиком Л. Діріхле (1837 р.).

 

 

 

 

 

Складний і, дуже тривалий шлях розвитку поняття функції досить типовий. Для того щоб усвідомити необхідність уведення нового абстрактного поняття, потрібно виділити його в процесі рішення багатьох конкретних задач, дати означення, яке по можливості точно відбиває його зміст.

     До поняття функції математики прийшли, відправляючись від конкретних і важких задач математики і її додатків. Це відбувалося в процесі створення нового могутнього апарата досліджень — інтегрального і диференціального числення. Відкриття інтегрального і диференціального числення, центральним поняттям яких Эйлер проголосив функцію («Весь аналіз нескінченного обертається навколо перемінних кількостей і їхніх функцій»), розширило можливості математики.

«Теоретики»

Розшукують різні способи задання функції та її властивості

Функція – одне з найважливіших понять математики вона дає можливість досліджувати і моделювати не тільки стани, а й процеси. Дослідження процесів і явищ за допомогою функцій – один з основних методів сучасної науки.

Площа квадрата залежить від довжини його сторони. Кожному значенню довжини сторони квадрата відповідає єдине значення його площі.

Кожному значенню змінної х відповідає єдине значення виразу 2х – 1. Прикладів залежностей і відповідностей мажна навести багато. Для науки і практики важливо вміти досліджувати такі відповідності. Їх називають функціональними відповідностями або функціями.

У розглянутих прикладах ідеться про зв'язок між двома змінними. Одну з них, значення якої вибирають довільно, називають незалежною змінною, або аргументом. Другу змінну яка залежить від аргументу, називають залежною змінною, або функцією.

Якщо кожному значенню змінної х деякої множини D відповідає єдине значення змінної у, то змінну у називають функцією від х.

За таких умов змінну х називають аргументом функції у,  множину D – областю визначення функції, а відповідність між х і у - функцією

Розрізняють чотири способи завдання функції: аналітичний, графічний і табличний і словесний.

1.                                                                                                                                                                Табличний спосіб задання функції дуже зручний, коли область визначення функції складається зі нескінченного числа точок. Функцію задано таблично, коли в одному рядку (або стовпчику) записані всі значення аргументу, а в другому відповідні значення функції.

х
у

 

Приклади таких таблиць: таблиця квадратів чисел, таблиця кубів чисел, таблиця основних тригонометричних функцій

Наприклад, функцію у = 2х – 1 для перших пяти натуральних значень х можна задати у вигляді такої таблиці.

х	1	2	3	4	5
у	1	3	5	7	9

 

• Область визначення даної функції: 1,2,3,4,5
• Область значень даної функції: 1,3,5,7,9

Табличний спосіб задання функції незручний тільки тим, що таблиця займає багато місця. До того ж, як правило. Містить значення функції не для всіх значень аргументу, а тільки для деяких.

2.                                                                                                                                                                Графічний спосіб задання функції полягає в тому, що подається графік цієї функції.

Для використання графіків функції використовують прямокутну систему координат хОу. Це сукупність двох взаємно перпендикулярних числових осей зі спільним початком..

Одну з осей – горизонтальну – називають віссю абсцис, або віссю іксів, або віссю Ох. Другу, вертикальну вісь, називають ординатою або віссю ігриків,. Або віссю Оу.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Числа, що позначають положення точки на координатній площині хОу, називають координатами точки.

Графіком функції у = f(х) називають множину точок площини хОу, абсцисами яких є значення аргументу х, а ордината – відповідні значеня

у = f(х).

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3.                                                                                                                                                                Аналітичний спосіб задання функції полягає в тому, що у виражають через х за допомогою формули або аналітичного виразу. Задання функції формулою зручне тим. Що дає можливість знаходити значення функції для довільного значення аргументу. Таке задання функції досить економне: здебільшого формула займає один рядок.

Якщо функцію задано формулою і нічого не говорять про область її визначення, то вважають. Що ця область – множина всіх значень змінної, при яких формула має зміст. Наприклад, область визначення функції у = 2х – 1 – множина всіх чисел а функції - множина всіх чисел, крім 2, оскільки тоді знаменник перетвориться в нуль, а на нуль ділити не можна.

4.                                                                                                                                                                Словесне задання функції полягає в тому, що відповідність між х тау виражається словами. До словесного способу задання функції належить і такий, коли функція задається за допомогою кількох формул, кожна з яких діє при певних значеннях аргументу, що доводиться визначати словами.

Наприклад,

«Практики»

Усе, що я пізнаю, я знаю, для чого

Це мені потрібно, де і як я можу ці

Знання застосовувати.

В. Кильпатрик

 

Графік – це лінія, що говорить і яка може про багато що розповісти.

                                   М. Б. Балк

 

Розглядають питання побудови графіків фукцкції та застосування їх до розвязування вправ

Графіком функції називається фігура. Яка складається з усіх точок координатної площини. Абсциси яких дорівнюють значенням аргументу, а ордината – відповідним значенням функції.

Графічний спосіб задання функції

Маючи графік функції, можна знаходити її хзначення за відомим значенням аргументу і навпаки: знаходити значення аргументу за відомим значенням функції.

Розглянемо, наприклад, функцію, графік якої зображено на рисунку. (Про таку функцію кажуть, що вона задана графічно).

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Знайдемо за допомогою графіка значення функціх, якщо х=4. ДЛя цього через точку осі х з абсцисою 4 проведемо пряму, паралельну осі у. Точка її перетину

із графіком функції має координати (4;8). Отже, якщо х=4, то значення функції дорівнює 8. Знайдемо за допомою цього ж графіка значення аргументу, для яких значення функції дорівнює 6. Для цього через точку осі у з ординатою 6 проведемо пряму, паралельну осі х. Одержимо дві точки її перетину із графіком функції: (2;6) і (8;6). Отже, функція набуває значення 6, якщо х=2 або х=8.

Деяка лінія на координатній площині задає функцію, якщо, користуючись нею, для кожного значення змінної х можна знайти тільки одне значення змінної у.

Дивлячись на графік, зображений на рисунку, можна відмітити деякі властивості функції, заданої цим графіком.

 

1). Область визначення функції утворюють усі значення х, що задовольяють нерівності -5<=x<=10.

2). найбільше значення функції дорівнює 9 (цього значення функція набуває, якщо х=6).

3). Найменше значення функції дорівнює -2 (цього значення функція набуває, якщо х=-5).

4). Область значень функції утворюють усі значення у, що задовольняють нерівності -2<=y<=9.

5). Значення функції дорівнює нулю, якщо х=-3.Ті значення аргументу, для яких значення функції дорівнює нулю, називають нулями функції. Отже, значення х=-3 є нулем даної функції.

6). Функція набуває додатних значень, якщо -3<x<=10; від'ємних значень - якщо -5<=x<-3.

Щоб побудувати графік функції, треба скласти таблицю декількох значень її аргументу і знайти відповідні їм значення функції. Точки з одержаними координатами наносять на координатну площину і з’єднують їх лінією.

За допомогою графіка функції можна знаходити значення функції в інших точках координатної площини. Для цього треба знайти на осі х потрібне значення аргументу, відповідну йому точку графіка, і з’ясувати, яку ординату має ця точка графіка.

Якщо графік перетинає вісь абсцис, то можна зробити висновок, що функція набуває значення нуль при х, що дорівнює абсцисам точок перетину з віссю.

За графіком можна з’ясувати, при яких значеннях х функція набуває додатних значень (для яких значень х графік функції лежить вище осі абсцис), і при яких від’ємних значень (для яких значень х графік функції лежить під віссю абсцис).

За графіком можна з’сувати чи функція зростаюча, чи спадна.

Функція називається зростаючою, якщо більшому значенню аргумента відповідає більше значення функції.

Функція називається спадною, якщо більшому значенню аргумента відповідає менше значення функції.

Лінійна функція. Лінійною функцією називають функцію, що задається формулою y = bx + c, де x – аргумент; с, b - константи. Її графік – пряма лінія. Наприклад, задано функцію y = 2x + 1. Розглянемо частинні випадки побудови графіків цієї функції: 1. Побудувати графік функції y = bx  – графік прямої пропорційності, який є частинним видом рівняння y = kx + b,   якщо b = 0. Згідно з прикладом слід побудувати графік функції y = 2x.

 Графіком є пряма лінія, що утворює з віссю абсцис кут.

2. Побудувати графік функції y = c (це частинний вид рівняння y = kx + b, який b = 0), тобто побудувати графік функції y = 1.

 

Графіком є пряма лінія, паралельна вісі абсцис;

 

3. Побудувати графік функції y = kx + b, тобто згідно з прикладом – графік функції y = 2x + 1.

 

Графіком є пряма лінія, що утворює з віссю абсцис кут.

 

Графік оберненої пропорційності. Обернено пропорційні величини x та y пов’язані співвідношенням xy = b  або, причому. Наприклад, побудувати графік функції.

 

Графіком є рівностороння гіпербола.

 

 

 

 

Графік лінійного рівняння з двома змінними.

Рівняння виду ах + bу = с, де а, b і с - деякі числа, називається лінійним рівнянням з двома змінними х і у.

Графіком кожного лінійного рівняння з двома змінними є пряма. 

Якщо а, b і с не дорівнюють нулю, то пряма проходить під кутом до координатних осей і перетинає їх у двох точках.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Якщо права частина лінійного рівняння з двома змінними дорівнює нулю, то пряма проходить через початок координат під кутом до координатних осей.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Якщо коефіцієнт при змінній х = 0, а інші не дорівнюють нулю, то пряма паралельна осі х.

 

 

 

 

 

 

 

 

Якщо всі коефіцієнти, окрім коефіцієнта при у, не дорівнюють нулю, то пряма паралельна осі у.

 

 

 

 

 

Якщо всі коефіцієнти, окрім коефіцієнта при у, дорівнюють нулю, то пряма співпадає з віссю абсцис.

Якщо всі коефіцієнти, окрім коефіцієнта при х, дорівнюють нулю, то пряма співпадає з віссю ординат.

Якщо всі коефіцієнти дорівнюють нулю, то графіком будуть усі точки координатної прямої.

Якщо всі коефіцієнти, окрім вільного члена, дорівнюють нулю, то не одержимо жодної точки.

Розглянемо рівняння 3x-2y=6. Надавши змінній x значень 0, 1, 2, 3,..., знайдемо відповідні значення змінної у. Матимемо розв'язки даного рівняння: (0; -3), (1; -1,5), (2; 0), (3; 1,5)…

Якщо на координатній площині позначити точки, що відповідають цим парам, виявиться, що всі вони розміщені на одній прямій.

Цю пряму називають графіком (графік - graph) даного рівняння. Графік кожного рівняння першого степеня з двома змінними - пряма. 

Якщо потребується знайти спільні розв'язки двох чи кількох рівнянь, то говорять, що ці рівняння утворюють систему.

Розв'язком системи рівнянь називають спільний розв'язок усіх її рівнянь.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

«Лірики»

«Не в кількості знань полягає наука, а в повному розумінні й майстерному застосуванні всього того, що знаєш»

Дістервег.

 

Підбиття підсумків проекту.

Хоча чужі знання можуть нас чогось навчити

Мудрим стаєш лише власною мудрістю.

М. Монтен

Працюючи над проектом, учні повинні були попрацювати над ключовим питанням: « Що таке функція?»

Спробуємо обговорити це питання.

Деякі приклади відповідностей між змінними, які тепер називають функцією, вченим були відомі дуже давно. Загальне поняття функції було введено тільки в сімнадцятому столітті. Спочатку Р. Декарт увів поняття змінної величини і ситему координат, почав розглядати залежність ординат точок графіка від її абсцис. Слово «функція» вперше ввів німецький математик Г. Лейбніц.

Функціями він називав абсциси, ординати та деякі відрізки. Повязані з точкою, яка в процесі руху описує певну лінію.

Зусиллями багатьох математиків поняття функції уточнювалось, розширювалось і наповнювалось новим змістом. Найзагальніше сучасне означення функції запропонувала в ХХ столітті група математиків, яка виступала під псевдонімом Н. Бурбакі: «Функція – це відношення, при якому кожному елементу області відправлення відповідає рівно один елемент обласьті прибуття» Під відношенням вони розуміють відповідність, під областю відправлення (областю визначення) і областю прибуття (областю її значень)- будь – які множини, а не тільки числові. І з таким поняттям функції

 Ви познайомитись у старших класах

«Коли ми прагнемо шукати невідоме, то стаємо кращими, мужнішими і діяльнішими за тих, хто вважає, ніби невідоме не можна знайти і немає чого шукати». Хай ця думка Платона супроводжує вас на життєвому шляху. У майбутньому ви будите  будівельниками та  інженерами, конструкторами та математиками, і знання, отримані на сьогоднішньому уроці, вам обов’язково знадобляться.

Ось і закінчився наш проект.

Час невпинно й швидко так летить.

Ви до знань зробили новий крок.

Хай у всьому завжди вам щастить!

Дякую, що працювали гарно,

Часу ви не витрачали марно,

Свої сили і знання доклали.

І проект свій збодували.

 

Література:

1. Інтерактивні технології навчання.\\ Помету О., Пироженко Л. Сучасний урок: Інтерактивні технології навчання: наук. Метод. Посібник. –  К.: А. С. К., 2004. – с. 33-42.
2. Математика. Довідник\ Сост. Г. М. Якушєва; 1997. – 576с.
3. Інтернет.
4. Видатні вчені. Ілюстрована енцеклопедія для дітей. – Харків:ТОВ, 2010. – 80с.