Розробка уроку геометрії на тему « Куля і сфера.»

Розробка уроку геометрії на тему « Куля і сфера.» Викладач Токар С. М.

Мета уроку:

• сформувати  поняття:                                     

• Кулі;
• Сфери;
• Центра кулі ( сфери);
• Радіуса кулі ( сфери);
• Хорди кулі ( сфери);
• Діаметра кулі ( сфери);
• Діаметрально протилежно протилежних точок.

Домогтися засвоєння:

• Випадків взаємного розміщення кулі й площини в просторі;
• Теореми про переріз кулі.

Сформувати вміння знаходити елементи кулі ( сфери); визначати взаємне розміщення площини і кулі ( сфери) в просторі; застосовувати теорему про переріз кулі до розв’язування задач.

• Розвивати просторове уявлення, логічне мислення, пам’ять, увагу;
• Виховувати наполегливість, працьовитість, акуратність, повагу до обраної професії.

Обладнання уроку: моделі кулі і сфери, презентація «Куля і сфера», повітряні кульки, апельсин, аркуш картону, круг з віссю – дротиком, кронциркуль, штангенциркуль, основи для колажу, 2 конверти.

Тип уроку: комбінований.

Хід уроку.

1. Організаційний етап.
2. Перевірка домашнього завдання. Актуалізація опорних знань.

1. Встановити відповідні пари:.  Встановити відповідні пари:

1.  Довжина кола … 2.  Діаметр кола… 3.  Площа круга … 4.  Довжина півкола … 5. Подвоєна площа круга …

А)  2R Б)   2πR B)  πR2 Г)  2πR2 Д) Інша відповідь

В прямокутному трикутнику…

1. Відношення прилеглого катета до гіпотенузи … 2. Відношення протилежного катета до гіпотенузи … 3. Відношення протилежного  катета до прилеглого … 4. Відношення прилеглого катета до протилежного … 5.  Відношення сторони трикутника до синуса протилеглого кута

А) 2R Б)sinα B)cosα Г) tg α Д) ctgα

 

3. Повідомлення теми, мети й завдань уроку.

Слово викладача.

Дитячий м’ячик, тенісний або футбольний м’яч, повітряна кулька… У кожного з вас свої спогади. При вивченні, наприклад, географії або астрономії прямо пов‘язані з таким тілом, як куля. Географічні паралелі –це лінії перетину поверхні Землі ( яку ми ідеалізуємо, вважаючи кулею) площинами, паралельними площині екватора. Сьогодні ви з’ясуєте поняття  кулі  та її поверхні ,дізнаєтеся про взаємне розташування в просторі кулі і площини і навчитесь розв’язувати основні типи задач про кулю і сферу.

Приклади матеріальних куль:

кульки підшипника, спортивні ядра, цукерки – драже тощо. Форму, наближену до кулі, мають Земля, Місяць, Сонце, інші небесні тіла.

4. Сприйняття і усвідомлення нового матеріалу.

(проводиться у формі конференції).

План вивчення теми.

1. Означення кулі (сфери) ,її  центра і радіуса.

Кулею називають множину всіх точок простору, віддалених від даної точки на відстань, що не перевищує задану. Цю точку називають центром кулі,  а задану відстань – радіусом кулі.

Кулею називають тіло, утворене обертанням круга навколо його діаметра.

Поверхню кулі називають сферою.

Або сферою називають тіло, утворене обертанням кола навколо його діаметра.

2. Означення хорди, діаметра, діаметрально протилежних точок кулі ( сфери).

Відрізок, що сполучає дві точки сфери, називають хордою сфери ( кулі).

Хорду, яка проходить через центр сфери, називають діаметром сфери ( кулі).

Кінці діаметра називають діаметрально протилежними точками.

 Діаметр  дорівнює двом радіусам кулі:

d =2 r

3. Взаємне розміщення кулі і площини у просторі.

Як можуть розміщуватися в просторі куля і площина ?

Можливі 3 випадки (d- відстань від центра кулі до площини, r- радіус кулі)-мал. 193:

• Площина і куля не мають спільних точок (r<d) - мал. а;
• Площина і куля  мають безліч спільних точок (r>d) - мал. б;
• Площина і куля мають одну спільну точку (площина називається дотичною до кулі). Спільна точка площини і кулі називають точкою дотику. (r =d) - мал. в;

 

4. Теорема про переріз кулі.

Дослідження. Переріз кулі площиною.

 (розглянемо на прикладі апельсина і аркуша картону).

• Уявлення про яке тіло нам дає апельсин? А аркуш картону?
• Відтинаємо сегмент - це частина кулі.

Площина перетинає кулю по кругу.

• Уявлення про яке тіло нам дає шкірка апельсина?
• Давайте подивимось, по якій фігурі перетнула площина шкірку апельсина (по кругу чи по колу)?

Площина перетинає сферу по колу.

Теорема. Будь – який переріз кулі площиною є круг. Центр  цього круга – основа перпендикуляра, опущеного з центра кулі на січну площину.

Наслідок.  Будь – який переріз сфери площиною є коло. Центр  цього кола є основою перпендикуляра, опущеного з центра сфери на січну площину.

5. Означення діаметральної  площини.

Діаметральна площина – це площина, яка проходить через центр кулі .                          Переріз кулі діаметральною площиною - це великий круг, а переріз сфери – велике коло.

( продемонструвати на апельсині.)

6. Формула для обчислення площі сфери.

Площу сфери обчислюють за формулою :

S=4πR² .

Площі  двох сфер відносяться як квадрати їх радіусів або діаметрів.

5. Осмислення нового матеріалу. Формування вмінь та навичок.

Колективне розв’язування задач під керівництвом вчителя.

(Усно):

1. Чи можна з дерев’яної кулі радіуса 6 см виготовити циліндр заввишки 1 см, діаметр основи якого дорівнює 12 см ? Відповідь пояснити.

Встановити логічні пари (математична естафета по рядам): 1. Геометрична фігура, що складається з усіх точок площини, рівновіддалених від однієї точки цієї площини 2. Геометричне тіло, що утворюється від обертання круга навколо діаметра… 3. Тіло, що складається з усіх точок простору, які знаходяться від даної точки на відстані, не більшій за дану … 4. Геометрична фігура, яка утворюється від обертання кола навколо діаметра ... 5. Поверхня, яка складається із всіх точок простору, що знаходяться на даній відстані від даної точки …       Радіус кулі дорівнює 2,5 см. Визначити розміщення точки, якщо вона віддалена: А.Від центра кулі на 2 см 1. У середині кулі Б. Від центра кулі на 3см 2. На сфері В. Від центра кулі на 2,5 см 3. Поза кулею

А) Куля Б) Коло В) Сфера Г) Круг Д) Інша відповідь

 

Відповідності: А -……..

                           Б -………

                           В - ……..

(Письмово):

1. Площина перетинає кулю. Площа перерізу дорівнює 4π см². Знайти радіус кулі, якщо кут нахилу цього радіусу до площини перерізу дорівнює 60˚.
2. Кулю радіуса 15 см перетинає площина, віддалена від її центра на 9 см. Знайдіть площу перерізу.
3. Для фарбування кулі діаметром 2 дм потрібно 30 г фарби. Скільки фарби потрібно для фарбування кулі діаметром 6 дм?
4. Приміщення виставки має вигляд півкулі, площа сферичної поверхні якої – 392π м² . Визначте діаметр підлоги.
5. Задачі з несподіваною відповіддю (проводиться у формі дискусії).

• (Демонструється «повітряна кулька»). Чи можна «повітряну кулю» називати кулею ?
• Мильний міхур – це куля чи сфера?
• (Демонструється  дерев’яна куля, пластикова сфера).

• Як знайти радіуси цих тіл обертання? Як виміряти діаметри цих предметів?

Діаметри невеликих матеріальних  куль вимірюють кронциркулем ( мал.197) або штангенциркулем (мал..198)

6. Підбиття підсумків уроку.

 З групи формуються  3 команди.

1. Створення  колажу. (Кожна з 2 команд по 7 учнів отримує конверт із завданнями для формування колажу. Після виконання кожного завдання 1 учень підходить до основи колажу, кріпить відповідь. І так далі.)

Колаж «Куля»

1. Чи можна з дерев’яного циліндра,

 діаметр основи якого дорівнює 11 см,

 а висота 8 см,

виготовити кулю радіуса 5 см?

Так.   Ні. (підкреслити).

2. Радіус кулі дорівнює 4 см.

Площа великого круга………….см²

3. Переріз кулі

площиною -

це ………………

4. Найбільша хорда

 кулі називається

……………………

5. Куля утворюється

обертанням ………….

навколо його

……………………

________________________________________________

 

Колаж «Сфера»

1. Яка фігура утворюється

при перетині двох сфер?

…………………….

2. Довжина великого кола

дорівнює 12π см.

Радіус сфери = ………см.

3. Сфера – це

…………………….. кулі.

4. Переріз сфери

площиною – це ……..

5. Кінці діаметра називають

………………………………….

точками.

 

2. Гра «Вірю – не вірю» (решта учнів).

Чи правильно, що:

А) усі точки кулі віддалені від її центра на відстань, що дорівнює радіусу кулі;

Б) центр сфери не належить поданій сфері;

В) відстань між будь – якими точками кулі не більша від діаметра кулі;

Г) будь – який переріз сфери площиною є колом;

Д) з – поміж двох перерізів кулі площинами більшим є той, який розташований ближче до центра;

Е) будь – який переріз кулі площиною є колом;

Є) відстань між будь – якими точками сфери не більша від діаметра сфери;

Ж) радіус будь – якого перерізу сфери площиною менший від радіуса сфери.

Скласти ключ – відповідь. ( ___ - ні ; - так)

 

---------

 

7. Рефлексія. Твій настрій:                  

 

 

 

 

 

 

 

 

ДОДАТКИ.

 

Задача 1

Площина перетинає кулю. Площа перерізу дорівнює 4π см². Знайти радіус кулі, якщо кут нахилу цього радіусу до площини перерізу дорівнює 60˚.

Розв’язання.

S_кр. = πr² – площа перерізу кулі площиною.

πr²  =…

r²  =…

r =…            , О₁В =r =…

З Δ ОО₁В (<О₁= 90˚):

…60˚= , ОВ =…см - радіус кулі.

Відповідь: радіус кулі … см.

 

 

 

 

 

 

 

Задача 2

 

Кулю радіуса 15 см перетинає площина, віддалена від її центра на 9 см. Знайдіть площу перерізу.

Розв’язання.

S_кр. = πr² – площа перерізу кулі площиною.

R=… см, H=… см

За теоремою про………………………………………….

З Δ ОО₁В (<О₁= 90˚):

r² = R² – H²

r² =…..-…..

Тоді S_кр. = πr² = ……(см²)

Варіант відповіді:______

 

 

 

 

 

 

 

Задача 3

Для фарбування кулі діаметром 2 дм потрібно 30 г фарби. Скільки фарби потрібно для фарбування кулі діаметром 6 дм?

Розв’язання.

Площу сфери обчислюють за формулою :

S=πd².

d₁=2 дм, S₁=……..(дм²)

d₂=6 дм, S₂=……..(дм²)

Складаємо пропорцію: …………..дм²--------- 30г

                                         …………..дм²--------- х г

Отримуємо:

Х=………..(г)- фарби.

Відповідь:…….. г фарби.

 

Задача 4

 

Приміщення виставки має вигляд півкулі, площа сферичної поверхні якої – 392 π м² . Визначте діаметр підлоги.

Розв’язання.

Площу сфери обчислюють за формулою :

S=πd².

Діаметр підлоги – це площа великого…………..

S=πd²=…………. м²

d²=………….

d=…………м

Відповідь: ……..м

План вивчення теми.

1. Означення кулі (сфери) ,її  центра і радіуса.

Кулею називають множину всіх точок простору, віддалених від даної точки на відстань, що не перевищує задану. Цю точку називають центром кулі,  а задану відстань – радіусом кулі.

Кулею називають тіло, утворене обертанням круга навколо його діаметра.

Поверхню кулі називають сферою.

Або сферою називають тіло, утворене обертанням кола навколо його діаметра.

2. Означення хорди, діаметра, діаметрально протилежних точок кулі ( сфери).

Відрізок, що сполучає дві точки сфери, називають хордою сфери ( кулі).

Хорду, яка проходить через центр сфери, називають діаметром сфери ( кулі).

Кінці діаметра називають діаметрально протилежними точками.

 Діаметр  дорівнює двом радіусам кулі:

d =2 r

3. Взаємне розміщення кулі і площини у просторі.

Як можуть розміщуватися в просторі куля і площина ?

Можливі 3 випадки (d- відстань від центра кулі до площини, r- радіус кулі)-мал. 193:

• Площина і куля не мають спільних точок (r<d) - мал. а;
• Площина і куля  мають безліч спільних точок (r>d) - мал. б;
• Площина і куля мають одну спільну точку (площина називається дотичною до кулі). Спільна точка площини і кулі називають точкою дотику. (r =d) - мал. в;

 

Пряму, що містить діаметр кулі, вважають віссю симетрії кулі.

 (Чим ближче переріз розташований до центра кулі, тим він більший (більше його радіус).

Площина, дотична до кулі, перпендикулярна до радіуса, проведеного в точку дотику.

4. Теорема про переріз кулі.

Дослідження. Переріз кулі площиною.

 (розглянемо на прикладі апельсина і аркуша картону).

• Уявлення про яке тіло нам дає апельсин? А аркуш картону?
• Відтинаємо сегмент - це частина кулі.

Площина перетинає кулю по кругу.

• Уявлення про яке тіло нам дає шкірка апельсина?
• Давайте подивимось, по якій фігурі перетнула площина шкірку апельсина (по кругу чи по колу)?

Площина перетинає сферу по колу.

Теорема. Будь – який переріз кулі площиною є круг. Центр  цього круга – основа перпендикуляра, опущеного з центра кулі на січну площину.

Наслідок.  Будь – який переріз сфери площиною є коло. Центр  цього кола є основою перпендикуляра, опущеного з центра сфери на січну площину.

5. Означення діаметральної  площини.

Діаметральна площина – це площина, яка проходить через центр кулі .                          Переріз кулі діаметральною площиною - це великий круг, а переріз сфери – велике коло.

( продемонструвати на апельсині.)

6. Формула для обчислення площі сфери.

Площу сфери обчислюють за формулою :

S=4πR² =πd².

Площі  двох сфер відносяться як квадрати їх радіусів або діаметрів.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Встановити логічні пари: 1.Геометрична фігура, що складається з усіх точок площини, рівновіддалених від однієї точки цієї площини. ______________________ 3.Тіло, що складається з усіх точок простору, які знаходяться від даної точки на відстані, не більшій за дану …   2.Геометричне тіло, що утворюється від обертання круга навколо діаметра… _______________________ 4. Геометрична фігура, яка утворюється від обертання кола    навколо діаметра ... ______________________ 5. Поверхня, яка складається із всіх точок простору, що знаходяться на даній відстані від даної точки …

             А) Куля

Б) Коло

В) Сфера

Г) Круг

Д)Інша відповідь 

 

 

 

КУЛЯ

СФЕРА

Встановити відповідні пари:

1.Довжина кола … 2.Діаметр кола… 3.Площа круга … 4.Довжина півкола … 5Подвоєна площа круга … А)  2R Б)   2πR B)  πR2 Г)  2πR2 Д)Інша відповідь

В прямокутному трикутнику… 1. Відношення прилеглого катета до гіпотенузи … 2. Відношення протилежного катета до гіпотенузи 3. Відношення протилежного  катета до прилеглого …   4. Відношення прилеглого катета до протилежного … 5.  Відношення сторони трикутника до синуса протилежного кута   А) 2R Б)sinα B)cosα Г) tg α Д) ctgα   Колаж «Куля» Чи можна з дерев’яного циліндра,  діаметр основи якого дорівнює 11 см,  а висота 8 см, виготовити кулю радіуса 5 см? Так.   Ні. (підкреслити). Радіус кулі дорівнює 4 см. Площа великого круга………….см2     Переріз кулі площиною - це ……………… Найбільша хорда  кулі називається …………………… Куля утворюється обертанням …………. навколо його …………………… _______________________________________________   Колаж «Сфера» Яка фігура утворюється при перетині двох сфер? ……………………. Довжина великого кола дорівнює 12π см. Радіус сфери = ………см. Сфера – це …………………….. кулі. Переріз сфери площиною – це …….. Кінці діаметра називають …………………………………. точками.   Радіус кулі дорівнює 2,5 см. Визначити розміщення точки, якщо вона віддалена: А.Від центра кулі на 2 см 1. У середині кулі Б. Від центра кулі на 3см 2. На сфері В. Від центра кулі на 2,5 см 3. Поза кулею   Відповідності: А -……..                            Б -………                            В - ……..