Розв’язування рівнянь, систем рівнянь [з використанням математичного процесора GRAN 1]

Вчитель:Фриз Маріанна Романівна

Клас і дата проведення: 10 (11.12.2019)

Урок №15

Тема уроку: Розв’язування рівнянь, систем рівнянь [з використанням математичного процесора GRAN 1].

Цілі:

•              навчальна: сформувати вміння розв’язувати рівняння, системи рівнянь;
•              розвивальна: розвивати логічне мислення, пам’ять; формувати вміння узагальнювати;
•              виховна: виховувати інформаційну культуру, формування бережливого ставлення до обладнання комп’ютерного кабінету, виховання уміння працювати в групі; формування позитивного ставлення до навчання.

Тип уроку: Комбінований.

Обладнання та наочність: дошка, комп’ютери з підключенням до мережі Інтернет, підручник, навчальна презентація.

Програмне забезпечення: браузер, офісні програми, GRAN 1.

Хід уроку

І. Організаційний етап

•                 привітання
•                 перевірка присутніх
•                 перевірка готовності учнів до уроку

ІІ. Перевірка домашнього завдання

1. Які задачі називаються задачами оптимізації?
2. З яких етапів складається розв’язування задач оптимізації?
3. Які задачі оптимізації ви розв’язували під час вивчення різних предметів?
4. Які задачі оптимізації ви розв’язували в повсякденному житті?
5. Який алгоритм розв’язування задачі оптимізації з використанням табличного процесора?

III. Актуалізація опорних знань

1. Що називається розв’язком (коренем) рівняння?
2. Що називається розв’язком системи  рівнянь?
3. Що називається графіком рівняння?

ІV. Мотивацій навчальної діяльності

Розв’язування  багатьох  різноманітних  задач  приводить  до  потреби  розв’язати  рівняння і/або систему рівнянь . Ви розв’язували такі задачі під час вивчення математики, фізики, хімії .

На уроках математики вас учили розв’язувати рівняння і системи рівнянь деяких  видів: лінійні, квадратні, такі, що зводяться до лінійних або квадратних, деякі інші . Але для більшості практичних задач ці методи розв’язування потребують досить громіздких і непростих обчислень з дробовими числами, що займає багато часу .

Крім того, для розв’язування багатьох практичних задач потрібно розв’язати такі  рівняння і системи рівнянь, для яких не існує методів знаходження точних значень  їх розв’язків . Для таких рівнянь і систем рівнянь існують різні математичні методи  знаходження наближених значень розв’язків . Застосування цих методів також громіздке й  займає  багато  часу .  Автоматизувати  обчислення  в  цих  методах  можна,  використовуючи деякі прикладні комп’ютерні програми, наприклад табличний процесор, а  також  спеціальні  прикладні  програми  для  розв’язування  математичних  задач — математичні процесори, або прикладні математичні пакети .

Такими прикладними математичними пакетами є, наприклад, вільно розповсюджувані Maxima, Scilab, SMath Studio, а також Mathcad, Mathematica, MatLab та ін.

V. Вивчення нового матеріалу

Пояснення вчителя з елементами демонстрування презентації

(використовуються можливості локальної мережі кабінету або проектор)

Робота з підручником: § 2.6 cт 69 – 72

МАТЕМАТИЧНИЙ ПРОЦЕСОР GRAN1

Розглянемо  використання  математичного  процесора  GRAN1 (англ .  Graphic Analysis —  графічний аналіз) для  розв’язування  рівнянь, систем  рівнянь і деяких  інших задач .

Використовуючи програму GRAN1, можна побудувати графіки функцій та рівнянь і, використовуючи ці графіки, знайти наближені значення розв’язків  рівнянь і систем рівнянь .

GRAN1 — вільно розповсюджуваний математичний процесор .  Запуск програми здійснюється або виконавши Пуск → Всі програми  → GRAN →Ÿ GRAN1 →Ÿ GRAN1, або використавши значок   на Робочому столі .  Після  цього відкривається  головне вікно  програми і  три  підлеглих вікна: Графік,  Список об’єктів і Відповіді (мал . 2 .35) . Графіки функцій, рівнянь, нерівностей тощо будуються у вікні Графік, у якому  розташовано координатну площину . Під час переміщення вказівника по координатній площині в лівому верхньому куті вікна відображуються поточні координати вказівника . У лівому верхньому і лівому нижньому кутах цього вікна вказуються найменші й найбільші значення х та у, які встановлено в даний момент . За замовчуванням ці значення дорівнюють –5 і 5 . Змінити ці значення можна на вкладці Масштаб вікна Властивості вікна «Графік», виконавши Графік → Параметри вікна «Графік» .

Вікно Список об’єктів (мал . 2 .36) містить розкривний список, у якому вибирають тип об’єкта, графік якого потрібно побудувати:

•                 функція, задана формулою y f(x) (Явна: Y Y(Х));
•                 рівняння (Неявна: 0 G(X,Y));

•                 функція, задана таблицею (Таблична: Xi, Y(Xi));
•                 ламана (Ламана);
•                 коло (Коло) та ін .

У  центральній  частині  цього  вікна  знаходиться  список усіх  уведених об’єктів (мал . 2 .37) .

Щоб  помістити  у  вікно  Список об’єктів  новий  об’єкт, потрібно виконати Об’єкт →  Створити і у  вікні Введення виразу залежності  (мал .  2 .38)  задати залежність відповідно до типу об’єкта, відрізки  на осі x (А і В) та на осі у (Ау і Ву), на яких потрібно  будувати графік цього об’єкта, колір лінії графіка та ін .

 У  нижній  частині  вікна Список об’єктів  знаходяться відомості  про  виділений  у  списку  об’єктів  об’єкт: залежність, що його задає, відрізок, на якому  вона  розглядається,  мінімальне  й  максимальне  значення та ін . (мал . 2 .37) .

У  вікні  Відповіді  виводяться  результати  виконання операцій у програмі GRAN1 (мал . 2 .39) . Зліва в  головному вікні програми GRAN1 знаходиться Панель інструментів,  яка містить інструменти для виконання команд, наведених у таблиці 2 .8 . У програмі є Довідка, яку можна відкрити натисненням клавіші F1 або вибором  команди Допомога з меню ?

РОЗВ’ЯЗУВАННЯ РІВНЯНЬ І СИСТЕМ РІВНЯНЬ З ВИКОРИСТАННЯМ ПРОГРАМИ GRAN1

Щоб  знайти  наближені  значення  коренів  рівняння,  використовуючи  програму  GRAN1, потрібно:

1 . Подати рівняння у вигляді Y = Y(Х) .

2 . Занести відповідний об’єкт до вікна Список об’єктів .

3 . Побудувати графік функції Y(Х), виконавши  Графік →Ÿ Побудувати  або вибравши на Панелі інструментів кнопку Побудувати графік .

 4 . Установити послідовно вказівник у всі точки перетину графіка з віссю Ох і записати наближені значення коренів рівняння .

Звертаємо вашу увагу! Виконавши вищенаведений алгоритм, буде знайдено всі корені рівняння на заданому під  час  створення  об’єкта  відрізку .  Але  можливо,  що  дане  рівняння  має  ще  й інші корені . Тому потрібно проаналізувати, чи може дане рівняння мати корені на  інших відрізках, і якщо так, то змінити відрізок побудови по осі Ох, побудувати графік на новому відрізку і знайти інші корені рівняння .

 Щоб  знайти  наближені  значення  розв’язків  системи  рівнянь,  використовуючи  програму GRAN1, потрібно:

 1 . Подати кожне рівняння системи у вигляді 0 = G(X,Y) .

2 . Занести відповідні об’єкти до вікна Список об’єктів .

3 . Побудувати  графік  кожного  рівняння,  виконавши Графік →Ÿ Побудувати або вибравши на Панелі інструментів кнопку Побудувати графік .

4 . Установити послідовно вказівник у всі точки перетину цих графіків і записати  наближені значення розв’язків системи рівнянь .

Звертаємо вашу увагу! Виконавши вище наведений алгоритм, ви знайдете всі розв’язки системи рівнянь  на заданих під час створення об’єктів відрізках по осі Ох і по осі Оу . Але можливо, що  дана система рівнянь має й інші розв’язки . Тому потрібно проаналізувати, чи може  дана система рівнянь мати розв’язки на інших відрізках, і якщо так, то змінити відрізки побудови по осі Ох і по осі Оу, побудувати графіки рівнянь на нових відрізках  і знайти інші розв’язки системи рівнянь

VI. Фізкультхвилинка

Вправи для очей

Мабуть ваші очі втомилися працювати за комп’ютером виконаємо вправи

•                   Дуже повільно обертати очима. Вдихаючи дивитися прямо, потім нагору, видихаючи - вліво і вниз. Потім спрямувати погляд у далину. Повторити комплекс вправ, направляючи погляд у протилежний бік. Проробити цю вправу по 4-5 разів в одну й іншу сторони. 
•                   Для поліпшення фокусування очей подивитися на кінчик носа, потім відразу перевести погляд у далину. І в тім і в іншому випадку погляд затримувати на кілька секунд. Повторити ця вправу 4-5 разів. 
•                   Закрити очі на 3-5 секунд і потім відкрити їх на такий же час. Повторити вправа 4-5 разів. 
•                   При нерухомій голові перевести погляд униз, потім вправо. Аналогічним образом проробити рух очей по діагоналі в одну й іншу сторону. Повторити весь комплекс вправ 4-5 разів. 

Перегляд відеоролика: не рухаючи голови слідкувати очима за падаючим листям, повторюючи його рухи.

VII. Засвоєння нових знань, формування вмінь

Робота за комп’ютером

1.               Повторення правил безпечної поведінки за комп’ютером.

Увага! Під час роботи з комп’ютером дотримуйтеся правил безпеки та санітарно-гігієнічних норм

2.               Інструктаж учителя.
3.               Практична робота за комп’ютерами.

Підручник ст. 72-74

Завдання 1: Розв’яжіть рівняння  

х³  – 9х²  + 6 =  0 .

Щоб розв’язати дане рівняння, використовуючи програму GRAN1, потрібно:

1 . Запустити програму GRAN1 .

2 . Вибрати в розкривному списку вікна Список об’єктів тип Явна: Y Y(X) .

3 . Вибрати в меню Об’єкт команду Створити .

4 . Увести  в  текстове  поле  Y(X)   вікна  Введення виразу залежності  вираз  X^3–9*X^2+6 .

5 . Вибрати  в  меню  Графік  команду  Побудувати .  У  вікні  Графік  отримаємо  графік даної функції (мал . 2 .41) .

На малюнку 2 .41 бачимо дві точки перетину  графіка  з  віссю  Ох .  Підвівши  по  черзі  до  них  вказівник, у лівому верхньому куті вікна побачимо наближені  значення  двох  коренів  рівняння:  х₁ ≈  –0,75  і  х₂ ≈  0,94 .  Крім  того,  аналізуючи  отриманий  графік,  можна  припустити,  що  він  ще раз перетне вісь Ох при x > 5. Тому побудуємо ще раз графік цієї функції на відрізку, наприклад від 5 до 10 . Для цього потрібно:

1 . Відкрити контекстне меню об’єкта у вікні  Список об’єктів і вибрати Змінити .

2 . Увести у вікні Введення виразу залежності в поле А  число 5, а в поле В  число 10 .

3 . Вибрати кнопку ОК . У результаті у вікні Графік буде побудовано  графік  заданої  функції  на  відрізку  від  5  до  10 (мал . 2 .42) . Тепер у вікні Графік відображається третя точка перетину графіка з віссю Ох .  Підвівши до неї вказівник, у лівому верхньому  куті  вікна  побачимо  наближене  значення  третього кореня рівняння: х₃ ≈ 8,93 .

Корені рівняння можна заносити у спеціальну таблицю, яка знаходиться в лівому нижньому куті вікна Графік . 

Для цього потрібно:

1 . Виконати Графік → Ÿ Список точок на графіку →  Очистити .

2 . Виконати  Графік → Ÿ Список точок на графіку   і,  якщо  відсутня  позначка  Запис, установити її .

3 . Вибирати послідовно точки перетину графіка функції з віссю Ох

Завдання 2 : Розв’язати систему рівнянь

Для розв’язування цієї системи потрібно перш за все в кожному рівнянні перенести всі доданки в одну сторону:

Далі потрібно:

1.               Запустити програму GRAN1.
2.               Вибрати у вікні Список об’єктів тип залежності Неявна: 0=G(X,Y).
3.               Вибрати в меню Об’єкт команду Створити.
4.               Ввести в текстове поле 0= вікна Введення виразу залежності вираз X+3*Y-9.
5.               Вибрати в меню Графік команду Побудувати графік.
6.               Вибрати в меню Об’єкт команду Створити.
7.               Увести в текстове поле 0= вікна  Введення виразу залежності вираз X^2-Y^2-4.
8.               Вибрати в меню Графік команду Побудувати графік.
9.               Виконати Графік => Список точок на графіку і, якщо не встановлені позначки Запис і Показувати номери, встановити їх.
10.          Вибрати точку перетину графіків рівнянь, що знаходиться справа від осі Оу.

У результаті отримуємо побудовані графіки рівнянь і наближені значення координат однієї з точок їх перетину (мал  2 43): (≈2,84; ≈2,02)  Це і є наближене значення першого розв’язку системи.

Для більш точного визначення координат другої точки перетину графіків рівнянь, що знаходиться зліва від осі Оу, доцільно побудувати ці графіки на інших проміжках, наприклад від –10 до 0 по осі Ох і від 0 до 10 по осі Оу.  Для цього потрібно:

11.          Відкрити контекстне меню першого об’єкта вікна Список об’єктів і вибрати Змінити.
12.          Увести  у  вікні  Введення  виразу  залежності  в  поле  А=  число  –10,  у  поле В= число 0, у поле Ау= число 0, у поле Ву= число 10.
13.          Вибрати кнопку ОК.
14.          Відкрити контекстне меню другого об’єкта вікна Список об’єктів і вибрати Змінити.
15.          Увести у вікні Введення виразу залежності в поле А= число –10, у поле В= число 0, у поле Ау= число 0, у поле Ву= число 10.
16.     Вибрати кнопку ОК.

4.               Вправи для очей.

VIII. Підсумки уроку

Фронтальне опитування

1.               Чому потрібно використовувати комп'ютерні програми для розв'язування рівнянь і систем рівнянь?
2.               Які основні вікна програми GRAN1 і яке їх призначення?
3.               Як очистити вікно Графік?
4.               Як побудувати графік функції в програмі GRAN1?
5.               Як визначити нулі функції, використовуючи її графік?
6.               Який алгоритм розв'язування рівняння графічним способом у програмі GRAN1?
7.               Який алгоритм розв'язування системи рівнянь графічним способом у програмі GRAN1?

Рефлексія

1. Під час уроку я

•              дізнався…
•              зрозумів…
•              навчився…

2. Найбільше мені сподобалося…

3. На уроках найкраще в мене виходило…

4. Я мав (-ла) труднощі з…

5. Я хотів би ще дізнатися про…

IX. Домашнє завдання

Підручник § 2.6 ст. 69-74

X. Оцінювання роботи учнів