Розвиваємо логічне мислення. Теорія множин. Теореми про включення і виключення.

    Розвиваємо логічне мислення. Теорія множин. Формули включення-виключення.

Математика цікава тоді,

 коли дає поживу нашій винахідливості

й здатності до міркувань.

Прокл

Логічними називають задачі які навчають здобувачів  розмірковувати, критично мислити, аналізувати умову,  виділяти з неї головне та зайве, знаходити правильне розв’язання проблеми опираючись на уже відоме.

Задачі теоретико-множинного змісту передбачають розуміння основного апарату теорії множин (поняття множина, операція над множинами, їх основних властивостей). Процес розв’язання таких задач стає більш наочним та зрозумілим із використанням графічної моделі, яка відображує зв’язок із даними умови і шуканими величинами.

Перед розв’язуванням задач даного типу радимо наочно проілюструвати виконання операцій над множинами, побудувати діаграми для всіх можливих випадків взаємного розташування множин.  Зазвичай   у цих задачах мова йде про скінченні множини, доцільно встановити, як пов’язані кількість елементів що входять до об’єднання і перерізу множини з кількістю елементів даних множин для випадку двох множин і трьох множин.

У процесі розв’язання задач цього типу потрібно з’ясувати логічний зміст таких слів і словосполучень : «і», «або», «або…або», «тільки одне», «хоча б одне» та побудувати відповідну їм теоретико-множинну модель.

Множина називається скінченною, якщо вона містить скінченну кількість елементів.

Потужністю скінченої множини називається кількість елементів у цій множині.

Потужність множини A позначатимемо | A | . Нехай, наприклад,

A ={2,3,7,15} , тоді | A |= 4 .

Формули включення-виключення – формули, що дозволяють знаходити потужність об’єднання декількох скінченних множин.

Формули включення-виключення для двох і трьох скінченних множин мають відповідно вигляд:

| A B | =| A | +| B | −| A ∩ B | ,

| A B C | = | A | + | B | + | C | − | A ∩ B | −| A ∩C | −| B ∩C | +| A ∩ B ∩C | .

Задача 1. У класі 20 учнів захоплюються спортом, 9 — музикою, 6 — музикою і спортом. Скільки учнів у класі і скільки тих учнів, які захоплюються музикою?

Розв'язання

Нехай А — множина учнів, які захоплюють­ся спортом (їх 20), В — множина учнів, які за­хоплюються музикою (їх 9). Оскільки є учні, які захоплюються музикою і спортом (їх 6), то множини А і В перетинаються.

Наочна картина дає можливість відповісти на всі запитання задачі.

Відповідь. Кількість учнів у класі 14 + 6 + 3 = 23; тільки спортом захоплюються 14 учнів, тільки музикою — 3 учні.

Задача 2. У двох восьмих класах 40 учнів. З них 30 вміють плавати, 27 вміють грати в шахи й тільки четверо не вміють ані того, ані іншо­го. Скільки учнів уміють плавати і грати в шахи? Скільки учнів уміють тільки плавати? Скільки учнів уміють тільки грати в шахи?

Розв'язання

Нехай U— множина всіх учнів (їх 40), А - множина учнів, які вміють плавати (їх 30), В — множина учнів, які вміють грати в шахи (їх 27). Зобразимо ці множини за допомогою діаграм Ейлера — Венна:

Оскільки є 4 учні, які не вміють ані плавати, ані грати в шахи, то об'єднанню множин А і В відповідає число 40 - 4 = 36. Тоді перерізу мно­жин А і В відповідає число (30 + 27) - 36 = 21.

Відповідь. Плавати і грати в шахи вміє 21 учень. Тільки плавати вміють 30 - 21 = 9 (учнів). Тільки грати в шахи вміють 27 -  21 = 6 (учнів).

Задача 3. У науково-дослідному інституті працюють 67 осіб. Із них 47 знають англійську мову, 35 – німецьку мову, 23 – обидві мови. Скільки осіб в інституті не знають ні англійської, ні німецької мови? Скільки знають тільки англійську мову? Скільки знають тільки німецьку мову?

Розв’язання.  У даній задачі множина всіх працюючих є універсальна множина яку позначимо U . Тоді А – множина осіб , що знають англійську мову, H- множина  осіб, що знають німецьку мову.  Тоді A ∩ H – множина осіб  що знають  обидві мови. A H- знають  хоча б одну  із мов. За умовою задачі |U |= 67 , | A |= 47 , | H |=35, | A ∩ H |= 23.

Тоді хоча б одну мову знають

| A H | =| A | +| H | −| A ∩ H |= 47 + 35 − 23 =59 (осіб),

і, відповідно, жодної мови не знають |U | −| A H | = 67 −59 =8 (осіб).

Лише англійську мову знають | A | −| A ∩ H | = 47 − 23 = 24 (особи),

а лише німецьку | H | −| A ∩ H | =35 − 23 =12 (осіб).

Задача 4.  У науково-дослідному інституті працюють 67 осіб. Із них 47 знають англійську мову, 35 – німецьку, 20 – французьку, 23 – англійську і німецьку, 12 – англійську і французьку, 11 – німецьку і французьку, 5 – усі три іноземні мови. Скільки осіб в інституті не знають жодної із іноземних мов?

Скільки знають тільки англійську мову? Скільки знають тільки німецьку мову? Скільки знають тільки французьку мову?

Розв’язання.    У даній задачі універсальна множина U – множина всіх працюючих, A , H , F – множини осіб, що знають відповідно англійську, німецьку та французьку мови.

Хоча б одну мову знають

| A H F | = | A | +| H | +| F | − | A ∩ H | − | A ∩ F | −| H ∩ F | + +| A ∩ H ∩ F |= 47 + 35 + 20 − 23 −12 −11 + 5 = 61 (особа),

жодної мови не знають | U | −| A H F | = 67 − 61 = 6 (осіб),

лише англійську знають

| A | −| A ∩ H | −| A ∩ F | +| A ∩ H ∩ F |= 47 − 23 −12 + 5 =17 (осіб),

лише німецьку

| H | −| H ∩ A | −| H ∩ F | +| H ∩ A ∩ F |=35 − 23 −11 + 5 = 6 (осіб),

лише французьку

| F | −| F ∩ A | −| F ∩ H | +| F ∩ A ∩ H |= 20 −12 −11 + 5 = 2 (особи)

ЗАДАЧІ ДЛЯ САМОСТІЙНОГО РОЗВЯЗУВАННЯ

ВАРІАНТ 1

Задача 1.1. В школі навчаються 1400 учнів. З них 1250 вміють кататися на лижах, 952 – на ковзанах. Ні на лижах, ні на ковзанах не вміють кататися 60 учнів. Скільки учнів вміють кататися і на лижах, і на ковзанах ?

Задача 1.2. Кожен учень класу – або дівчина, або особаблондин, або любить математику. В класі 20 дівчат, з них 12 блондинок, причому лише одна блондинка любить математику. Всього в класі 24 особи-блондина, 12 з них люблять математику. В класі 17 учнів, які люблять математику, з них 6 дівчат. Скільки всього учнів в цьому класі ?

Задача 1.3. На пікнік поїхали 92 студенти. При цьому бутерброди з ковбасою взяли 47 студентів, з сиром – 38, з маслом – 42, з сиром і ковбасою – 28, з ковбасою і маслом – 31, з сиром і маслом – 26. Всі три види бутербродів взяли 25 студентів, а декілька студентів брали на пікнік не бутерброди, а пиріжки. Скільки студентів брали з собою на пікнік пиріжки ?

Задача 1.4 У відділі НДІ працюють декілька осіб, кожна з яких знає хоча б одну іноземну мову. При цьому 6 осіб знають англійську мову, 6 – німецьку, 7 – французьку, 4 – англійську і німецьку, 3 – німецьку і французьку, 2 – англійську і французьку, 1 – всі три мови. Скільки осіб працюють у відділі? Скільки з них знають лише англійську мову? Лише французьку? Лише німецьку?

Задача 1.5. На уроці літератури вчитель зацікавився, хто із 40 учнів класу читав книги A, B і C. Результати виявились такими: книгу A прочитали 25 учнів, книгу B – 22 учні, книгу С – 22 учні, книгу А або книгу В – 33 учні, книгу А або книгу С – 32 учні, книгу В або книгу С – 31 учень, всі три книги – 10 учнів. Скільки учнів не читали жодної книги? Скільки учнів прочитали тільки 1 книгу?

ВАРІАНТ 2

Задача 2.1. Серед абітурієнтів, які склали вступні іспити до вузу, оцінку "5" отримали: з математики – 48, з фізики – 37, з української мови – 42, з математики або фізики – 75, з математики або української мови – 76, з фізики або української мови – 66, з усіх трьох предметів – 4. Скільки абітурієнтів отримали хоча б одну п’ятірку ? Скільки з них отримали рівно одну п’ятірку ? А рівно дві п’ятірки ?

Задача 2.2. У восьмих класах шкоди навчається 70 учнів. Їм було запропоновано записатися у три гуртки: математичний, історичний та гурток з інформатики. У математичний  гурток записав­ся 51 учень, у гурток з інформатики — 40, в істо­ричний — 22, 6 учнів вирішили займатися в усіх гуртках, математикою та інформатикою вирішили займатися 32 учні, займатися мате­матикою та історією вирішили 11 учнів, а інформатикою та історією 8 учнів. Скільки учнів не записано в жоден гурток?

Задача 2.3. Протягом тижня в кінотеатрі демонструвались фільми X, Y, Z. Кожен із 40 студентів групи бачив або всі три фільми, або тільки якийсь один. При цьому фільм X бачили 13 студентів, фільм Y – 16 студентів, фільм Z – 19 студентів. Скільки студентів бачили усі три фільми?

Задача 2.4. Кожен із учнів класу на канікулах два рази був у театрі і бачив дві різні вистави. При цьому вистави I, II, III бачили відповідно 25, 12 і 23 учні. Скільки учнів у класі? Скільки з них бачили вистави І і ІІ, І і ІІІ, ІІ і ІІІ?

Задача 2.5.У класі 40 учнів. Грають у баскетбол 26 учнів, займаються плаванням — 25, грають у футбол — 27. 0дночасно займаються плаван­ням і баскетболом —15, баскетболом і футбо­лом — 16, плаванням і футболом — 18. Один учень звільнений від занять фізичною культу­рою. Скільки учнів займається всіма вказани­ми видами спорту?

ВАРІАНТ 3

Задача 3.1  У класі 35 учнів. З них 20 займаються в математичному гуртку, 11 у біологічному. 10 учнів  не відвідують жоден гурток. Скільки біологів займаються математикою?

Задача 3.2. Кожен учень у класі вивчає англійську чи французьку мову. Англійську вивчають – 25, французьку -27, а ту і другу -18 учнів. Скільки учнів у класі.

Задача 3.3 У класі 35 учнів. З них 20 займаються в математичному гуртку, 11 у біологічному. 10 учнів  не відвідують жоден гурток. Скільки біологів займаються математикою?

           Задача 3.4. . У цеху 25 станків, які можуть виконувати три види операцій: А, В, С. З них 10 станків виконують операцію А, 15 – операцію В, 12 – С. Операції А і В можна виконати на 8 станках, А і С – на 5, В і С – на 3 станках. Скільки станків можуть виконувати всі три операції?

       Задача 3.5 У студентській групі 25 чоловік. Для отримання допуску на екзамен з дисципліни необхідно захистити курсову роботу, виконати лабораторну роботу та здати залік. Захистили курсову роботу 15 студентів, 20 виконали лабораторну роботу, 17 здали залік. Захистили курсову роботу і здали залік 13 чоловік, захистили курсову роботу і виконали лабораторну роботу 12 чоловік, виконали лабораторну роботу 12 чоловік і здали залік 16 чоловік. Скільки чоловік допущено до екзамену?

БАЖАЮ УСПІХІВ