Стаття "Види задач з гуманітарно-орієнтованою спрямованістю на прикладі теми "Площа", 5 клас" "

             Види задач з гуманітарно-орієнтованою спрямованістю на прикладі теми «Площа» (5 клас)

Гуманітарно-орієнтований зміст математики спрямований на:

• Формування уявлень про математику як специфічної форми опису і методів пізнання дійсності
• Відображення функціональних і методологічних зв’язків математики з іншими дисциплінами: природничими науками, історією, образотворчим мистецтвом, філософією;
• Залучення учнів до досвіду навчально-пізнавальної і творчої, пошукової, дослідницької діяльності, а також супроводжуючих її цілісно-емоційних, естетичних відносин:
• Розвиток в учнів пізнавальної мотивації учіння через формування в них відповідних ціннісно-орієнтованих установок;
• Формування гуманітарної культури, зокрема, інтелектуальної, естетичної, духовно-моральної.

Важливим засобом трансляції такого змісту є задача. Виділимо такі види задач, які мають гуманітарну спрямованість, на прикладі теми «Площа» 5 клас.

     1.Задачі-установи. Цей термін вводиться для позначення задач, спрямованих на формування в учнів ціннісно-орієнтованих установ. Але для того, щоб установи могли діяти на учня, їх необхідно відобразити в змісті освіти. Посередником при цьому може виступити навчальна задача, в формулюванні якої є відповідна установа.

Наприклад.

Уявимо два варіанти формулювання задачі:

І. Розгляньте рис.1 і визначте кількість зображених на ньому точок.

ІІ. Подивіться на рис.2. Скільки точок на ньому зображено? Знайдіть найбільш швидкий спосіб підрахунку їх кількості.                                                                 

В першому варіанті формулювання навчальної цілі задачі явно не відображені, їх потрібно домислити. Навчальна ціль  другої задачі більш видима – вона відображена у вимозі. В цьому випадку ми маємо зачачу-установку. Відмінною ознакою задач-установ є наявність в їх формулюванні вимоги, що орієнтується на ту чи іншу ціннісно-орієнтаційну установу .

     2.Задачі-методи. Залучення учнів до навчально-пізнавальної діяльності відбувається через засвоєння ними методів, які лежать в основі цієї діяльності. Організувати процес засвоєння того чи іншого методу можна поетапно, за допомогою спеціально побудованої системи задач. Для визначення такої системи використовується термін «задачі-методи». Зміст і функції задач-методів залежать від того, на якому рівні (і відповідно етапі) засвоєння методу вони функціонують.

     3.«Задачі-пастки», які провокують на помилку. В процесі виконання таких завдань в учнів розвивається критичність мислення; потреба в усвідомленому виконанні дій; в оцінці достовірності отриманого факту, гіпотези, теоретичного  висновку, формули, графічної моделі досліджуваного об’єкта; уявлення про те, які методи пізнання, способи суджень приводять до вірогідних висновків, а які до імовірних.

4.Прикладні задачі. Вони дозволяють прослідкувати взаємозв’язки математики і дійсності, в тому числі:

• отримати уявлення про те, що джерелом математичних задач є не тільки математична теорія, але і природа, інші науки, практична діяльність людей:
• зрозуміти специфіку математики як науки, яка спеціально виділяє кількісні відношення і просторові форми, що властиві предметам, явищам дійсності і робить їх об’єктами свого дослідження.

Я пропоную серію завдань по темі «Площа», які сприяють засвоєнню гуманітарно-орієнтованого змісту. Особливість запропонованих завдань в тому, що вони відображають гуманітарний потенціал математичного змісту в його органічній єдності:

• більшість завдань має розвиваючий характер, так як нетрадиційна їх постановка потребує від учнів пошуку нестандартних підходів до розв’язання;
• завдання серії разом з питаннями, що безпосередньо відносяться до пошуку конкретних математичних результатів, містять запитання, що спонукають учнів до виявлення загального принципу (методу), який лежить в основі отримання конкретного результату, до пошуку генетично-вихідних і методологічних зв’язків між задачами системи, зверненню до рефлексії, тобто питання, що відображають ціннісно-орієнтаційні установки;
• в коментарях до задач частково відображено діяльність вчителя по активізації сил учнів на засвоєння на різному рівні  евристичних методів;
• форма «пред’явлення» деяких завдань, які підкреслюють роль естетичного сприйняття розглядуваних об’єктів (навколишнього середовища,  природи, математики та ін.) у відкритті нових фактів, залежностей, закономірностей;
• задачі з практичним змістом, які готують учнів до розуміння взаємозв’язку математики і дійсності;
• історичні відомості, які дозволяють прослідкувати вплив суспільного прогресу на розвиток математики.

      І серія містить завдання, що направлені на систематизацію знань до даної теми і актуалізацію графічних моделей до операцій додавання і множення натуральних чисел, опорних для «відкриття» формули площі прямокутника.

     Задача 1. Розгляньте рисунок 1. і скажіть: скільки точок зображено? Яким способом ви знайшли їх кількість? Як буде шукати відповідь на це питання людина, а) яка вміє рахувати, але незнайома з арифметичними діями?   б) володіє дією додавання чисел? в) володіє  множенням?

∙ ∙ ∙ ∙ ∙

∙ ∙ ∙ ∙ ∙

∙ ∙ ∙ ∙ ∙

∙ ∙ ∙ ∙ ∙

   Рис.1.

Чому в даному випадку можливе використання множення? Який спосіб вам подобається більше? Чому?

   Задача 2. Юра при вивченні таблиці множення зробив малюнок (рис.2). За допомогою цього малюнка він здійснював тренування множення чисел на 4 і ділення на 4, розгляньте малюнок і скажіть:

1. як він допоможе тренуватися в множенні?
2. як в діленні?
3. якими двома способами можна порахувати, скільки квадратів займає цей прямокутник?

1       2      3     4     5      6     7      8      9    10

                            Рис. 2.

Ідея розв’язання: якщо 1) (4) клітинки взяти за один із множників, число з нижнього рядка, наприклад (3), взяти за другий множник, то число клітинок (12), які знаходяться в трьох стовпчиках, буде добуток;

   2) якщо це число клітинок (12), взяти за ділене, а чисто (4) - за дільник, то число  на нижньому рядку (3) буде частка .

      II серія завдань направлена на підведення  учнів до самостійного «відкриття» формули площі прямокутника.

     Задача 3.Знайдіть площі фігур, зображених на (рис. 3) (а, б,   в). Розв’яжіть задачу найбільш раціональним способом.

 

 

 

      а)                                               б)                                            в)     Рис.3

      Аналізуючи конструктивні особливості даних фігур, учні помічають, що кожна з них складається з вертикальних смужок в три клітинки. Раціональний спосіб розв’язання знайдено. Після розв’язання задачі, вчителю важливо підвести дітей до висновку: для того, щоб знайти площу прямокутника дією множення, достатньо знайти кількість одиничних квадратів, які прилягають до його суміжних сторін. 

                                                                                                                                                                                                                       Задача4.1.   Чи існує зв’язок між розмірами сторін прямокутника і його площею? 

     Спираючись на висновок попередньої задачі, учні встановлюють:  кількість одиничних квадратів, що прилягають до кожної із сторін прямокутника, дорівнює довжині відповідної сторони. Отже, для обчислення прямокутника дією множення, достатньо знати довжини його сторін.                  

      4.2. Знайдіть площу прямокутника зі сторонами 6 і 3 од.?

      4.3.Яка площа прямокутника, довжина сторін якого а од. і б од.

     4.4. Поясніть чому площа будь-якого прямокутника з цілочисельними сторонами рівна добутку довжини його сторін?

     4.5. В математиці для позначення площі використовують спеціальні символи S (S-перша буква англійського слова «square», що в перекладі означає «площа»). Складіть на основі отриманих фактів формули для обчислення площі прямокутника і квадрата.

      Які на ваш погляд, задачі ви зможете розв’язати,  використовуючи складені формули?  Наведіть приклади.

      ⅢCерія містить задачі, в яких деталі формули площі прямокутника співставляються з новими фактами, набувають нового змісту.

Задача 5. Чи буде справедливою закономірність S=a ∙ b, якщо

   а) S=6; a=2; b=3.

   б) S - це довжина шляху, що вимірюється в метрах, а - швидкість, що вимірюється в м/год,  b - час (в год).

   в) S-це площа прямокутника, що вимірюється в квадратних сантиметрах, а a і b - довжини його сторін, що вимірюється в метрах?

      Задача 6. Знайти площі фігур, зображених на (рис. 4). Після розв’язання задачі формулюється висновок: площа характеризується числом неоднозначно, числова характеристика величин залежить від вибору одиниці

вимірювання.       

 

 

          а)

                          Рис.4                               б)

    Ⅳсерія: задачі-методи, направлені на залучення до «нестандартних» методів розв’язування задач: аналіз;  індуктивне узагальнення; «перебір» варіантів; зведення до протиріччя;  наведення конр прикладу. Кожна з цих задач дає можливість підвести дітей до висновку методологічного характеру.         Задача 7. Прямокутник ABCD розділили на два прямокутника  AMND і MBCN(рис.5). Чи істинні наступні висловлювання: 1) площа прямокутника ABCD дорівнює сумі площ прямокутників AMND і MBCN;  2) периметр прямокутника ABCD рівний сумі периметрів прямокутників AMND і MBCN?

        А                    M                                   B      

 

 

      

         D                    N                                   C 

                                   Рис. 5          

 Чи можна перенести результат цієї задачі на будь-яку фігуру, що розділяється будь-яким чином на будь-яку кількість частин? В процесі розв’язання задач виявляється, що висловлювання виду 1) завжди істинне; а висловлення виду 2) завжди хибне, за виключенням фігур типу «вісімки», у яких розріз може не мати довжини. Після розв’язання,  формулюється властивість адитивності площ, виявляються ситуації, в яких діти цією властивістю раніше користувалися.

   Задача 8.  На (рис.6) зображена частина шахової дошки, скільки в неї горозонталей? Скільки вертикалей? Клітинки цієї дошки називають полями. Скільки в неї полів? Яку площу займають білі поля цієї дошки? Скільки полів міститься в таблиці; в якої n рядків і n стовпців?

 

 

 

 

     

            Рис. 6

     В процесі роботи над задачею, важливо отримати принцип підрахунку полів, який дозволяє зробити висновок, що білі і чорні поля займають рівну площу, тобто половину площі всієї таблиці. Вчитель продовжує цікавитися, яка площа чорного поля квадратної таблиці, в якої n горизонталей і n вертикалей (питанння з «пасткою»). Якщо учень дає відповідь /2, то вчитель пропонує розглянути таблицю 5x5 і уточнити справедливість результату; спонукає зробити висновок.

      На цьому етапі вчитель підводить дітей до думки, що поспішні, необґрунтовані узагальнення можуть призвести до помилки.

      Задача 9. Сторона квадрата дорівнює 3м. чи можна твердити, що периметр цього квадрата більший, ніж його площа?

     Тим, хто не дивлячись ні на які доведення про неможливість рівності периметра з площею, продовжує настоювати, що P більше S,  так як P=12м., а S=9кв.м., можна показати фокус: «Давай переведемо довжину сторони того ж квадрата в дм.». Тоді P=120 дм., а S=900 дм.кв. Що ти скажеш тепер?

     Висновок: зрівнювати різнорідні величини, неможна а зрівнювати можна лише їх числове значення.

     Ⅴсерія: задачі прикладного характеру.

    Задача 10. 1.Одну сторону прямокутника збільшили в три рази, а другу - в три рази зменшили. Що станеться з площею прямокутника?

       10.2. Потрібно  збільшити фотографію шириною 8 см і висотою 12 см так, щоб вона стала висотою 24см. Якою буде ширина?

       10.3. Всезнайко дав молодшому брату лінійку довжиною 20 см і запропонував виміряти площу розгорнутої газети. Брат здивувався: як же виміряти, якщо газета велика, а лінійка маленька? Всезнайко порадив зігнути газету навпіл 4 рази. Отримав  прямокутник зі сторонами 15 см і 10 см 5мм.  Яка площа газети в розгорнутому вигляді? Виміряйте площу тим же способом будь-якої іншої газети. Чим цінний цей спосіб вимірювання? Чи можна подібним способом виміряти інші величини?

     Результат розв’язування фіксується у висновок.

     Можна запропонувати практичний спосіб вимірювання великих величин. Основна ідея - постаратися якимось чином виготовити зменшену копію тієї фігури, параметри якої треба виміряти.

     Задача11. Розв’яжемо  тепер таку незвичайну математичну задачу: зі всіх прямокутників з одним і тим же периметром виберіть той, в якого площа найбільша. Розв’яжіть цю задачу з конкретним значенням P. Чи можна узагальнити результат цієї задачі на будь-який прямокутник однакового периметру?

     Для допомоги в пошуку розв’язання можна запропонувати наступні запитання і фрагменти міркувань:  Візьмемо довільний прямокутник з P=20м. Тоді сума його прилеглих сторін (довжини і ширини) дорівнює 10м. Скільки різних прямокутників, що задовольняють цю умову, можна побудувати? За яким принципом?  Звідси слідує, що спочатку потрібно припустити, що ширина дорівнює 1м, а довжина 9м. Потім збільшуємо ширину на 1м, відповідно зменшуючи довжину. Що при цьому відбувається з площею? Отримані дані будемо заносити в таблицю.

 

Ширина	Довжина	Площа
1	9	9
2	8	16
3	7	21
4	6	24
5	5	25
6	4	24
7	3	21
8	2	16
9	1	9

 

    Яка ж площа найбільша? Сформулюйте висновок.

    Висновок: квадрат у порівнянні з іншими прямокутниками того  ж периметру має найбільшу площу. В яких життєвих ситуаціях може знадобитися людині висновок цієї задачі?

     Задача 12. Фермер вирішив збільшити ділянку землі, план якої зображений на рис. 7 в два рази, зберігаючи при цьому прямокутну форму. Покажіть на малюнку різні варіанти розв’язання цієї задачі. В якому випадку затрати на додаткову огорожу будуть найменшими? (Розв’язання задачі зображено на рис 7.1, який наочно демонструє висновок: серед  прямокутників даної площі квадрат має найменший периметр).

 

 

 

 

           Рис. 7                                            Рис. 7.1

 

 

     Після розв’язання задачі вчитель підкреслює практичне значення розглядуваної властивості квадрата і пропонує учням навести приклад його використання на будівництві.

     Розуміння учнями практичної спрямованості розглянутих задач є важливою умовою мотиваційного забезпечення навчального процесу.