Урок. "Інтегрований урок Похідна функції. Геометричний та фізичний зміст похідної."

Інтегрований урок

Тема уроку: Похідна функції. Геометричний та фізичний зміст похідної.

Мета уроку: Познайомити учнів з означенням похідної, сформувати в учнів розуміння геометричного та фізичного змісту похідної, навести приклади її застосування у різних галузях; розвивати увагу, вміння аналізувати, узагальнювати;

 показати Божу любов, його турботу про нас, познайомити з його законом любови.

І. Мотивація навчальної діяльності. Формулювання теми, мети і завдань уроку.

Очевидним і відомим є той факт, що математика дуже універсальна наука, і результати її відкриттів та досліджень використовують науковці різних галузей.

 Так, поняття похідної функції,  з яким ми сьогодні познайомимось, окрім алгебри застосовується ще у геометрії, фізиці, хімії і навіть у економіці, але саме сьогодні ми з вами детальніше ознайомимось із геометричним та фізичним змістом похідної функції.

Тому, відкривайте зошити та запишіть тему сьогоднішнього уроку: «Похідна функції. Геометричний та фізичний зміст похідної»

Основними завданнями нашого сьогоднішнього уроку є ознайомитись із поняттям похідної функції, її геометричним   та фізичним змістом.

Пояснення нового матеріалу.

II. Сприймання і усвідомлення поняття похідної.

   Нехай задано функцію у = f(x) на деякому проміжку.

Візьмемо довільну внутрішню точку х₀ даного проміжку, надамо значенню х₀ довільного приросту Δх (число Δх може бути як додатним, так і від'ємним), але такого, щоб точка х₀+Δх належала даному проміжку, тоді

1) Обчислимо в точці хо приріст Δу = Δf(х₀) функції:

Δу = Δf(х₀) = f(x₀+ Δх) – f(х₀);

2) Складемо відношення: 

  =    = 

3) Знайдемо границю цього відношення при умові, що Δх → 0, тобто:

   = = 

Якщо дана границя існує, то її називають похідною функції  у = f(x) в точці х₀ і позначають f '(х₀) або у' (читається еф штрих від х₀ або у штрих).

Похідною  функції  у = f(x) в точці х₀ називається границя відношення приросту функції до приросту аргументу при умові, що приріст аргументу прямує до нуля, а границя існує.

Функцію, яка має похідну в точці х₀ , називають диференційованою в цій точці.

Функцію, яка має похідну в кожній точці деякого проміжку, називають диференційованою на цьому проміжку. Операція знаходження похідної називається диференціюванням.

Як зрозуміти  що таке похідна.

Ви навчаєтесь в 10 класі, підходить відповідальний час у вашому житті, коли ви підете у самостійне доросле життя. Що вам для цього потрібно? …….

•          Освіта, до кого ви звернетесь – вчителя
•          Професійні навики – майстра
•          Фізична підготовка – тренера
•          Здоровий спосіб життя – інструктора
•          Захист – охоронного агентства
•          Впевненість в майбутньому -  духовного наставника
•          У Євангелії від Марка 10:17 читаємо

« І коли вирушав Він у путь, то швидко наблизивсь один, упав перед Ним на коліна, і спитався Його: Учителю Добрий, що робити мені, щоб вічне життя вспадкувати?»

Кожен з цих людей дасть рекомендації, буде спостерігати як ви рухаєтесь до поставленої цілі і підказуватиме, направлятиме.

 Уявимо, що ми записалися в спортзал і у вас є тренер, фукція тренера давати рекомендації, спостерігати за вами і давати вказівки:

Ти молодець, розвиваєшся,

 ростеш в гору;

 

Або ти деградуєш, падаєш вниз

 

 

Бува він говорить : ти ростеш ось так

 

 

А буває: ти ростеш але не так швидко

 

 

А буває : ти ростеш швидко

 

 

А може: ти деградуєш, падаєш вниз

 

 

Ти деградуєш, але не так швидко падаєш вниз

 

 

Ти зовсім швидко деградуєш

 

Ваш тренер є ваша похідна.

У кожної функції  є свій тренер.

 

ІІІ.  Сприймання і усвідомлення геометричного змісту похідної.

Уявимо, що є якась функція   у= f(x), то є і її графік:

f  ^'(x) – похідна функції  f(x) – це тренер, який характеризує наскільки швидко графік росте вгору, зростає  і досягає якоїсь точки, і наскільки швидко функція падає вниз, спадає і знову зростає вже не так швидко.

Тренер говорить, ти розвиваєшся, а ми запитуємо як швидко, скажи цифру.

Щоб знайти похідну в будь-якій точці, треба провести дотичну в цій точці,  утвориться кут між дотичною і додатним  напрямом  осі 0х.             

 f '(x)  = tg - числове значення похідної, показує з якою швидкістю функція росте в цій точці.

Якщо оα   то  tgα₁   0   і  f '(x) > 0, тренер радіє  

Якщо 90 < α < 180  то  tgα₂  0  і  f '(x) < 0, тренер сумує 

точки де функція не зростає і не спадає ( ви не розвиваєтеся і не деградуєте)  tgα₂  = 0 то і  f '(x) = 0.                             

У кожної функції є свій тренер, так от похідні елементарних функцій можна знайти в таблицях: в підручнику; за допомогою гаджетів  у мережі Інтернет.

Пропоную вам це зробити.

Похідна функції використовується при розв’язуванні і інших важливих задач (зокрема, про швидкість протікання хімічних реакцій, знаходження густини неоднорідного стержня, теплоємності тіла при нагріванні, сили змінного струму в провіднику та інш.), розглянемо кілька прикладів.

IV. Сприймання і усвідомлення фізичного змісту похідної.

Зараз ми розглянемо задачу про знаходження миттєвої швидкості прямолінійного руху матеріальної точки.

Миттєва швидкість прямолінійного руху.

 

 Пригадаємо поняття  миттєвої  швидкості.

 

Миттєва швидкість тіла — швидкість тіла в даний момент часу в даній точці траєкторії.

 

Миттєва швидкість тіла — це його середня швидкість за такий малий відрізок часу, який включає цей момент, що протягом цього відрізка рух тіла можна вважати рівномірним.

 

   Нехай  матеріальна точка М рухається прямолінійно за законом s = f(t).

 

     У момент t₀ вона зайняла положення М₀ і пройшла шлях s₀ = f(t₀). Знайдемо швидкість точки в момент t₀.

 

     Припустимо, що за довільно вибраний проміжок часу Δt, починаючи з моменту t₀, точка перемістилася на відстань Δs і зайняла положення М₁.

 

     Тоді t₁= t₀+ Δt,  s₁ = f(t₁) = s₀ + Δs.

 

     За проміжок часу Δt матеріальна точка проходить шлях

 

ΔS = f(t₁) - f(t₀) = f(t₀+Δt) - f(t₀).

 

     Середня швидкість (v_с) руху на проміжку М₀М₁ дорівнює

відношенню  переміщення    f(t₀+Δt)  −  f(t₀)  до  витраченого  часу    [t₀ ; t₀+Δt] :

 

v_с =

 

Щоб обчислити миттєву швидкість, потрібно обчислити середню швидкість на нескінченно малому проміжку часу, тобто, потрібно обчислити границю відношення, якщо Δt прамує до нуля. Якщо ця границя існує, його значення співпадає з f '(t) (згідно з визначенням похідної):

 

v(t)  =   =  f '(t₀)

 

Порівнюючи одержані результати з означенням похідної, можна зробити висновок: якщо матеріальна точка рухається прямолінійно і її координата змінюється по закону s = f(t), то швидкість її руху v(t) в момент часу t дорівнює похідній f '(t):

v(t) = f '(t).

 

 Пристрій (тренер) який показує як швидко рухається тіло, змінює своє положення відносно інших тіл – спідометр.

 

 Спідометр (англ. Speedometer) (від англ. speed — швидкість) — прилад для вимірювання миттєвої швидкості руху транспортного засобу.

 

Історія.

Був винайдений хорватом Йосипом Белушичом у 1888 році. Цей винахід був запатентований у Австро -Угорщині як «велосиметр».

Застосування у машинах набув на початку 20 століття. Одна з перших моделей спідометра була виготовлена Ніколою Тесла і запатентована в 1916 році.

 

 Прискорення прямолінійного руху.

 

 Пригадаємо поняття прискорення

 

Прискорення є характеристикою зміни швидкості тіла в інерційній системі відліку під дією зовнішніх впливів на тіло.

 

Прискорення  — векторна фізична величина, похідна швидкості по часу та за величиною дорівнює зміні швидкості тіла за одиницю часу.

 

Прискорення - це фізична величина, яка чисельно рівна зміні швидкості тіла за одиницю часу.

 

Прискорення - це швидкість зміни швидкості.

 

Припустимо, що матеріальна точка переміщується по прямій і залежність її швидкості від часу описує функція v(t). Середнє прискорення пересування в проміжку часу  [t; t+Δt] є відношенням зміни швидкості до зміни часу  . Щоб обчислити прискорення в момент часу t, потрібно обчислити границю цього відношення, якщо Δt наближується до нуля. Тому, 

a(t) =   = v'(t).

 

Пристрій (тренер) який показує як швидко змінюється прискорення називається акселерометр.

 

Акселерометр (від лат. accelero — «прискорюю» і грец. μετρεω — «вимірюю») — прилад, яким вимірюють прискорення або перевантаження, що виникають під час випробування різних машин та їхніх систем.

 

Акселерометр — прилад для вимірювання сили реакції індукованої прискоренням або гравітацією.

 

 Одно- та багато-вісні моделі можуть визначати величину та напрям прискорення у вигляді векторної величини і тому можуть бути використані для визначення орієнтації, вібрації й ударів.

 

Акселерометри присутні в багатьох портативних електронних пристроях й гральних консолях, включаючи iPhone  і Wii Remote від Nintendo.

 

Величина сили струму.

 

 Пригадаємо поняття сили струму

 

Сила електричного струму — кількісна характеристика електричного струму в провіднику, яка відповідає кількості заряду , що проходить через поперечний переріз провідника за час ∆t, розділеному на цей проміжок часу.

I =

 

 За одиницю сили струму 1 А беруть таку силу струму, при якій відрізки паралельних провідників довжиною 1 м, що знаходяться на відстані 1 м один від одного, взаємодіють із силою 2•10^-7 Н.

 

Силою струму, називають, ще величину, що характеризує швидкість перенесення заряду частинками, які створюють струм, через поперечний переріз провідника.

 

 Струм — це упорядкований рух заряджених частинок. У системі СІ сила струму вимірюється в A.

 

Припустимо, що залежність заряду, що протікає через поперечний переріз провідника, від часу описує функція q(t). Потрібно обчислити величину сили струму I в будь-який момент часу. Середню величину струму можна обчислити, як відношення  .

Миттєва величина струму, це межа цього відношення, якщо зміна часу наближається до нуля, тобто похідна функції q(t):

 

I =    = q'(t)

 

Пристрій (тренер) який показує швидкість перенесення заряду називається  амперметр.

 

Амперме́тр (англ. ammeter; нім. Amperemeter ) — прилад, яким вимірюють силу електричного струму.

 Амперметр завжди вмикають послідовно з тією ділянкою електричного кола, силу струму у якій вимірюють. Електричний опір амперметра є малим.

Фізкульт пауза

V. Біблійна інтеграція

Пропоную вам відкрити євангеліє від Марка 10:13-19

¹³ Тоді поприносили діток до Нього, щоб Він доторкнувся до них, учні ж їм докоряли.

¹⁴ А коли спостеріг це Ісус, то обурився, та й промовив до них: Пустіть діток до Мене приходити, і не бороніть їм, бо таких Царство Боже!

¹⁵ По правді кажу вам: Хто Божого Царства не прийме, немов те дитя, той у нього не ввійде. ¹⁶ І Він їх пригорнув, і поблагословив, на них руки поклавши.

 ¹⁷ І коли вирушав Він у путь, то швидко наблизивсь один, упав перед Ним на коліна, і спитався Його: Учителю Добрий, що робити мені, щоб вічне життя вспадкувати?

¹⁸ Ісус же йому відказав: Чого звеш Мене Добрим? Ніхто не є Добрий, крім Бога Самого. ¹⁹ Знаєш заповіді

Що цей вірш говорить для вас? . . . . . .

•          Бог любить дітей
•          Запрошує до себе «бо таких Царство Боже!»
•          Обнімає, благословляє, піклується
•          Дає рекомендації «що робити, щоб вічне життя вспадкувати?»
•          Що це за рекомендації? . . . . . . .

10 заповідей Закону Божого, Вихід 20:1-17

Розглянемо кожну заповідь

¹ І Бог промовляв всі слова оці, кажучи:

² Я Господь, Бог твій, що вивів тебе з єгипетського краю з дому рабства.

 ³ Хай не буде тобі інших богів переді Мною!

 ⁴ Не роби собі різьби і всякої подоби з того, що на небі вгорі, і що на землі долі, і що в воді під землею. ⁵ Не вклоняйся їм і не служи їм, бо Я Господь, Бог твій, Бог заздрісний, що карає за провину батьків на синах, на третіх і на четвертих поколіннях тих, хто ненавидить Мене, ⁶ і що чинить милість тисячам поколінь тих, хто любить Мене, і хто держиться Моїх заповідей.

⁷ Не призивай Імення Господа, Бога твого, надаремно, бо не помилує Господь того, хто призиватиме Його Ймення надаремно.

 ⁸ Пам'ятай день суботній, щоб святити його! ⁹ Шість день працюй і роби всю працю свою, ¹⁰ а день сьомий субота для Господа, Бога твого: не роби жодної праці ти й син твій, та дочка твоя, раб твій та невільниця твоя, і худоба твоя, і приходько твій, що в брамах твоїх. ¹¹ Бо шість день творив Господь небо та землю, море та все, що в них, а дня сьомого спочив тому поблагословив Господь день суботній і освятив його.

 ¹² Шануй свого батька та матір свою, щоб довгі були твої дні на землі, яку Господь, Бог твій, дає тобі!

¹³ Не вбивай!

¹⁴ Не чини перелюбу!

 ¹⁵ Не кради!

¹⁶ Не свідкуй неправдиво на свого ближнього!

 ¹⁷ Не жадай дому ближнього свого, не жадай жони ближнього свого, ані раба його, ані невільниці його, ані вола його, ані осла його, ані всього, що ближнього твого!

 

В книзі Повторення Закону 30:19-20  Господь звертається до кожного із нас зробити свій правильний вибір

¹⁹ Сьогодні взяв я за свідків проти вас небо й землю, життя та смерть дав я перед вами, благословення та прокляття. І ти вибери життя, щоб жив ти та насіння твоє,

 ²⁰ щоб любити Господа, Бога свого, щоб слухатися голосу Його та щоб линути до Нього, бо ж Він життя твоє, і довгота днів твоїх, щоб сидіти на цій землі, яку заприсягнув Господь батькам твоїм Авраамові, Ісакові та Якову, дати їм.Повторення Закону 30:19-20

© Библия Онлайн, 2003-2020.

 

Карооке «Є на небі країна»

Вибір за нами, прийняти чи відкинути Божі поради та його Дар вічного життя.

VI.  Рефлексія  та підбиття підсумків уроку

VII. Домашнє завдання п. 36,  №  36.3,  36.5