Урок " Метод координат"

Конспект інтегрованого уроку з геометрії

9 клас

Шаповал О. Г.

 Вчитель-методист,

кандидат філософських наук

зош №62  м. Харкова,

Тема: Декартові координати на площині.

Застосування координатного методу

для розв’язування геометричних задач

Дидактична мета: Засвоєння учнями навичок та вміння застосовувати координатний метод у різних ситуаціях, розвиток логічного мислення. Ілюстрація застосування геометричних знань і співвідношень між геометричними абстракціями і реальною дійсністю, зв’язок навчання з життям, історією науки та культури.

Виховна мета: Вдосконалення різних форм естетичної свідомості, розвинення національного духовного світогляду та критичного мислення. Заохочення учнів до самостійної пошукової роботи на основі синтезу їх індивідуальних схильностей і застосування математичних знань.

Вступне слово вчителя

 Ніколя Орем

Нагадаємо спочатку, що координати на площині ввів, в ХІV ст. французький математик Ніколя Орем за аналогією з географічними, Він запропонував покрити площину прямокутною сіткою і називати широтою та довготою, те, що ми тепер називаємо абсцисою та ординатою. Це нововведення виявилось надзвичайно продуктивним. На його основі виник метод координат, що зв’язав геометрію з алгеброю.

Рідкісний портрет Рене Декарта

роботи Ф. Хальса (1580 – 1666). Зберігається у  Київському музеї Західного та Східного мистецтва

Однак основна заслуга в створенні методу координат належить французькому математику Р.Декарту. Тому таку систему стали називати декартова. Координата точки А - число, яке дорівнює за абсолютною величиною довжині відрізка : додатне, якщо точка А_х лежить на додатній півосі х, і від’ємне, якщо вона лежить на від’ємній півосі. Якщо точка збігається з точкою О, то вважаємо що х = 0. Термін походить від латинського co + ordinatus - «разом» + «упорядкований», був уведений Г. Ляйбніцем у 1694 р. і підкреслює рівноправність абсциси й ординати.

Обкладинка першого видання роботи Р. Декарта „Міркування про метод”

Видатний математик, філософ, фізіолог, фізик та лірик, який непогано до того ж володів шпагою, Рене Декарт відкрив зв’язок між числом та просторовою формою, ввів алгебру в геометрію. Цікаво, що брат Рене Декарта казав: не варто брату парламентського радника принижуватись до того, щоб бути математиком. На щастя для нащадків сам французький філософ, математик, фізик, фізіолог Рене Декарт ( Картензій) (1596 -1650) був іншої думки. Народився Рене Декарт в Лає (Турень), навчався в єзуїтській колегії в Ла - Флеш, далі вивчав медицину і право. Закінчив університет в Пуатьє у 1616 році, був воєнним, багато подорожував. Зацікавився математикою і фізикою. У 1622 році повернувся до Франції  й став одним з головних кореспондентів М. Мерсенна. Згодом ми побачимо, що геометрія Декарта стала необхідною передумовою для розробки Ґ.Ляйбніцем та І.Ньютоном диференційного числення – могутнього апарату сучасної математики. В останніх рядках своєї книги «Геометрія» Рене Декарт писав: «І я сподіваюсь, що наші нащадки будуть вдячні мені не тільки за те, що я тут роз’яснив, але і за те, що було мною добровільно пропущене з метою надати їм задоволення знайти це самим».

 Поряд з тим, що вчений опустив з доброї волі, залишилось ще багато недоробленого за об’єктивними причинами. Після вченого, а після великого особливо, розширяється «фронт робіт», так що нащадкам немає ніяких підстав скаржитися на своїх великих попередників.

До речі, зараз надамо вам можливість заповнити пропуски в наступних завданнях: 

I  Перевірка домашнього завдання.

1) Письмове опитування по теорії (два учні біля дошки):

     Довести:

     y               B                                                                                A

            A             B

 1                 A                            2                                            3     B

        A(x₁; y₁);   B(x₂; y₂);   AB²= (х₁-х₂)² + (у₁-у₂)²

2) Актуалізація  опорних знань: Виконати практичне завдання у зошиті (під копіювальний папір):

       B(x; y) 

     y                                             

                 B (3; 4)                                                                        A (2; 4)         B (5; 4)

 1                                                        2                                       3

         A(0;0)                                  A(0;0)

АВ=                                             АВ=                                       АВ=

                                                                                  C (  ;  )

     y       B(x; y)           C(  ;  )

                                   h

 4                                                              5

         A (0; 0)     z      D (  ; )                                   A(0;0)     а               B( ;  )

 Питання під час аналізу:

- чому дорівнюють абсциси (ординати) точок, що лежать на осях OX, OY?

- координати початку координат?

Задача з конкурсу  „Кенгуру-99”. Робота з планшетами

Дано: АВ=240, СД=100.

 Знайти: відстань між серединами відрізків АВ і СД.

Варіанти відповідей:

А) 130; Б) 170; В) 210; Г) 2104, Д) це неможливо визначити.

    A

     B

.

                                              C             D         

Завдання. Розв’язати анаграму, тобто знайти закономірність та виключити зайве слово.

Липанощ, ротокадони, нівок, чотак, лоок, ослич.

Учні повідомляють, що зайве слово вікно, яке не є математичним терміном. Вчитель підтверджує правильність відповіді, але зауважує, що деякий стосунок до теми уроку вікно таки має.

На попередньому уроці слухали доповіді про готичний стиль в архітектурі, а також про життя та творчість Р.Декарта. Дома учні повинні були підготувати на конкурс „Вікно в Париж” малюнки готичних вікон з вписаним у криволінійний трикутник колом, при цьому знайти центр цього кола емпіричним шляхом. Підкреслюємо складність такого пошуку. При огляді виставки малюнків, аналізуємо разом результати.

 Далі пропонуємо цю проблему, розв’язати як геометричну задачу на побудову, в якій можна застосувати Декартів метод.

II. Тема та дидактична мета уроку.

 Отже, сьогодні розмова піде про зв’язок геометричних задач та координатного методу, що ґрунтується на алгебрі величин. Йдеться про те, що можна використовувати координатну площину в традиційних задачах геометрії, де про неї не згадано в умові. Яскравим прикладом є наша задача з вікном.

Задача.

Прямолінійний відрізок AB та дві дуги кола AC і BC утворюють криволінійний трикутник. Центр одного кола знаходиться у точці A, а іншого - у точці B, і кожне з цих кіл проходить через центр іншого кола. Вписати у даний криволінійний трикутник коло, що є дотичне до всіх сторін криволінійного трикутника.

Розв’язання:

 Аналіз:  1)  Центр шуканого кола лежить на  l - осі  симетрії.

2. Оберімо систему координат, як показано на рисунку. Нехай центр шуканого кола О має координати (x;y). За умовами задачі OM=OK та OM=AM-AO OK=AM-AO.
3.  Маємо

.

  Отримали   Оскільки то

Побудова:

1)  l - серединний перпендикуляр до відрізка AB, т. К- основа цього перпендикуляра.

2) від точки К відкладаємо на  l  відрізок  довжиною   

Отримали точку О - центр шуканого кола.

III. Домашнє завдання.

Задача: Заданий ABC. Побудувати центр кола, описаного навколо заданого трикутника Відповідь: )

Підказка: Ввести систему координат так, щоб початок її збігався з вершиною ABC, а вісь абсцис була направлена вздовж  сторони AB: A(0;0); B(c;0); C(g;h).

Підсумок уроку: Пояснюємо, що архітектура вікна – найважливіший символ Середньовіччя (згідно міркуваннями засновника філософією культури німецького філософа О. Шпенґлера) фаустівського переживання глибини, який належить виключно цьому переживанню. Саме тут виступає воля до прориву з внутрішньої замкненості у безмежність, як пізніше цього прагла і музика контрапункту, що стала рідною під готичним склепінням, безтілесний світ якої назавжди залишився світом ранньої готики.

Структура готичного вікна виступає аналогом категорії „буття” в філософії - , а понад усе – мерехтливий вітраж, що вказує нам на джерело світла, проте висвітлює лише строй своїх візерунків. Очевидно наука та практика створюють суть і форму понять, але має рацію засновник філософії культури Шпенґлер, у якого «все вирішує вибір прасимволу у той момент, коли душа культури пробудилася у своєму ландшафті до самопізнання». Порівняймо семантику лексем око-коло-вікно (перша неолітична абстракція - коло з вписаним хрестом), далі повернемось до традицій зображення симетричної рози французькими архітекторами (Шартрський, Кельнський собори), нагадаємо про прадавні солярні символи світової, зокрема, української культури (Стоухендж; трипільські поселення, які мали форму концентричних кіл) та філософсько-символічний зміст „Колеса Фортуни”, ідеологічного кістяка готичної рози.             

Образ Колеса Фортуни (Фортуна – богиня долі) йде від пізньоримського філософа Боеція, який до речі, наслідуючи Платонову традицію, надавав надзвичайне значення саме геометрії та був автором підручника геометрії з коментарями до „Початків” Евкліда. Цікаво, що Боецій Аницій Манлій Северин (475-525) - один з засновників середньовічної філософії,  вчився в Афінах, був наближений до короля остготів Теодоріха, автор кількох підручників з логіки та трактату в п’яти книгах з музики. Саме він обґрунтував розподіл наук на тривіум ( граматика, риторика, діалектика) та квадріум (арифметика, музика, геометрія та астрономія), на основі якого було побудовано освіту в Західній Європі аж до XVII ст. Ця велика людина була страчена за підозрою у зраді.

Зверніть увагу на те, що всі видатні математики були філософами, а всі видатні філософи були математиками. Зокрема, Б.Спіноза писав свою етику, як сам заявив «more geometrico», геометричним способом, а філософ Е. Вайґель, вчитель Ґ. Ляйбніца, радив застосовувати математичну методу до етики і метафізики і написав «Арифметичний опис моральної мудрості»(1674). Високо цінили математику також німецький філософ Й. Вінкельман і український філософ Г.Сковорода. У їх творах згадуються такі математичні поняття як пропорція, міра, симетрія, гармонія. Але вони розглядають ці поняття не однобічно, як це було у французькому класицизмі ХVІІ ст., а діалектично. Так Вінкельман думає, що хоч краса пов’язана з математичними уявленнями про пропорцію та міру, то вона як щось живе і органічне не може вміститися у «числі і мірі», так ще думали Н. Буальо і Р. Декарт. Подібні думки знаходимо й у Сковороди. Непорушна геометрична симетрія, притаманна неживим кристалам, не може стосуватися до органічних тіл. Вже античні грецькі майстри розуміли, що для організмів питома діалектична єдність симетрії і асиметрії. Ренесансова естетика не була вільна від ірраціональних і символічних елементів. Про це свідчить «Трактат про малярство» Л.Альберті ( 1540), у якому італійський теоретик твердить, що математика є таємним шифром, і за його допомогою можна проникнути до Бога. Видимі речі вважаються символами невидимого світу, цілком у дусі Платонових символів геометричного порядку світу (Тімайос). Ця думка мала вплив на пізніших мислителів. Маємо на увазі Н. Кузануса, який вважав буття математичною структурою. Його геометричні розважання згідні з Платоновими, дали поштовх Й. Вінкельманові і Г.Сковороді для подібних думок. Сковорода цитує Платонів вислів: «Theos geometrej» (Бог геометризує).

Невипадковий знаменитий напис Платона „не ввійде сюди той, хто не знає геометрії”. Саме Платон усвідомив та виразив значення відмінностей між чуттєвими явищами та глибинними структурами, найбільш чітко проводячи цю думку при аналізі геометричних висловлювань. Тому для класичного античного світогляду було характерно тілесне, пластично - стереометричне сприйняття світу. Античну науку, і перш за все геометрію, необхідно розуміти й аналізувати в контексті античної пластики. В контексті розвитку геометричного стилю виникає раціоналізація античної свідомості, перехід до універсально - поняттєвого способу діяльності і мислення. Глибинні геометричні загальноестетичні корені характерні в Давній Греції і для скульптури, і для космології, і для архітектури і для вазопису, і для математики.

Тут треба згадати Плутарха з Херонеї (50 -115), якого Вінкельман часто цитує, а Сковорода навіть перекладає. Плутарх бачить світ у геометричних формах, говорить про трикутні форми світу і Божий трикутник, де непорушно лежать прообрази всіх минулих і майбутніх речей. Єдність людини зі всесвітом знаходила прояв у пронизуючий їх гармонії. І світом , і людиною править космічна музика, що виражає гармонію цілого та його частин і пронизує все – від небесних сфер до людини. З музикою пов’язано все, що вимірюється часом. Музика підпорядкована числу. Тому і в макрокосмі і в мікрокосмі – людині царюють числа, що визначають їх структуру та рух.

Отже, і світ, і людина можуть бути зображені за допомогою однакових геометричних фігур, що символізують досконалість божого творіння. В цих числах і фігурах міститься тайна краси світу, бо для середньовічної свідомості поняття краси, впорядкованості і гармонії, пристойності були близькі, якщо не ідентичні. Всесвіт у свідомості середньовічних людей – система концентричних сфер.

 Боецій жив у епоху перехідну, тобто мабуть особливо в чомусь схожу з нашою. В такі часи особливо гостро відчувається і велич, і крихкість людської цивілізації, її висока цінність та відсутність твердих гарантій її подальшого існування. Тому розроблена Боецієм екзистенційна філософія образа Колеса Фортуни мала в середні віки надзвичайний успіх (порівняймо з закономірною назвою відомої сучасної телепередачі). Той, хто сьогодні піднесений, завтра буде принижений, а того, хто нині знаходиться знизу, оберт Колеса Фортуни скоро піднесе вгору. Символом того світу, де панує невпевненість і самим втіленням цієї невпевненості є Колесо Фортуни. Довгий час воно було уроком покори долі, іммобільності. Успіх цьому образу забезпечила церква помістивши його на тих кафедральних соборах (Амьен, Бове, Базель), де пані Фортуна обертає своє колесо швидше за вітряк. Для української культури, коло – колесо, що біжить навколо Всесвіту людини. «Коло, що у кінці своєму само до себе, до свого початку повертається, може бути символом життя, такого дійсного абсолютного буття, яке, в протилежність до всього конкретного і емпіричного, живе в собі самому, не потребуючи для себе самого нічого іншого, будучи само основою та єдиною можливою метою своїх устремлінь», - писав Г.Сковорода.

У ХХ столітті – такі вікна як ремінісценції готики у творчості Антоніо Гауді (собор Саґрада Фамілія) та Карла Орфа „О Фортуна”(Кармина Бурана). Нарешті, символ межі ХХ та ХХІ століть - сучасна комп’ютерна ідеологія та операційна система Windows, і сьогодні ми вже відчуваємо у невпинному поступі Колеса Фортуни пульс нової епохи.

Звучить  музика Карла Орфа „О Фортуна”(Кармина Бурана).

Малюнки учнів 9-х класів зош №62

Собор Ла Саґрада у Барселоні.                                  Катедральний собор у Реймсі.

За лаштунками уроку

Даний урок є центральним уроком теми ”Декартові координати” і важливою ланкою формування цілості світогляду, оскільки концентрує увагу учнів на принципових зв’язках алгебри, геометрії, філософії, культури, мистецтва. Тема уроку дозволяє створити педагогічні ситуації, які заохочують самостійні відкриття учнями математичних тверджень, їх доведень, розв’язання та конструювання задач. А разом з тим подати розуміння математики не тільки як школи логічного мислення, але й як джерела образів.

 Крім того, при цьому вдалось посилити емоційні враження дітей і, водночас, розв’язати задачу психологічної корекції учнів, запросивши на урок батьків і шкільного психолога. Після уроку разом з психологом провели бесіду-консультацію з розшифруванням малюнків для батьків. Йдеться про те, що співвідношення кольорів та геометричних фігур, що обирає дитина пов’язані з її психологічним станом, тому доцільне індивідуальне обговорення малюнків вікон як психо-геометричних та кольорових тестів. Комбінації квадрата, трикутника, прямокутника, кола, зигзаг (можливо, рослинного орнаменту) яким дитина віддає перевагу, або навпаки уникає, оздоблюючи вікно на свій смак, свідчать про певні риси особистості.

В даній розробці уроку наведено приклади практичного застосування методів когнітивної психології в процесі навчання математики, а саме, - елементи системи нового опосередкування математичного матеріалу, що мають форму зовнішнього когнітивного стимулу. Таким чином, з метою подальшої корекції, здійснюємо контроль за схованими психологічними структурами індивідуального, котрі згідно з роботами А.Лурія є первісним джерелом розуміння в когнітивних системах «текст + світ». Окрім того, приділяємо увагу  індивідуальному підходу в питаннях виявлення механізмів реалізації позитивного зворотного зв’язку «дитина + світ».

 Символіка геометричних фігур

Квадрат символізує такі позитивні риси характеру як потреба довести справу до кінця, терпіння, методичність, впорядкованість.

  Трикутник прийнято вважати символом лідерства. Характерна особливість тих дітей, які обирають трикутник - спроможність концентрування на головній меті. Це енергійні, нестримні, сильні особистості, що обирають ясну мету, і як правило її досягають. Такі діти дуже впевнені в собі та орієнтовані на успіх, перемогу.

 Прямокутник свідчить про перехідний стан особистості, невпевненість, непослідовність, але водночас відкритість до нових ідей, цікавість та сміливість. Вибір прямокутника як правило свідчить з одного боку про низьку самооцінку дитини, а з іншого боку про довірливість. На цьому етапі розвитку особистості існує серйозна небезпека негативних впливів.

 Коло - традиційний символ гармонії. Той, хто обирає коло, зацікавлений, перш за все, в добрих міжособистих стосунках. Таким дітям властива доброзичливість, емоційність, поступливість, але бракує рішучості.

 Зиґзаґ символізує креативність, творчість, образність, інтуїтивність, мозаїчність. Ці діти неспроможні працювати в добре структурованих ситуаціях. Їх дратують чіткі вертикальні та горизонтальні зв’язки, строго фіксовані обов’язки та однакові способи роботи. Тому такі діти працюють незалежно, пропонують свої ідеї та методи, але реалізувати їх не можуть, бо не опрацьовують конкретних деталей.

  Особливу увагу слід звернути на дітей з підвищеною тривожністю психіки, в малюнках яких переважають фіолетові, коричневі, чорні кольори.