Урок на тему "Основні поняття теорії ймовірності. Класичне означення ймовірністю"

Тема уроку: основні поняття теорії ймовірності. Класичне означення ймовірністю

Мета уроку: засвоєння учнями основних понять теороії ймовірності та класичного означення ймовірності.

1. Мотивація навчання.

Часто доводиться мати справу з явищами реального світу, які залежать від невідомих обставин або від таких, що не піддаються обліку. Наприклад, не можна передбачити, на який білет випаде виграш у майбутньому тиражі лотереї, скільки зернин дасть повний колос від посіяної зернини пшениці та ін.

Математична наука, яка вивчає закономірності масових випадкових подій, називається теорією ймовірності.

Історична довідка

Теорія ймовірності, як і будь-яка інша наука, розвинулась з потреб практики. Вона виникла в середині XVI ст. у зв’язку з розв’язуванням задач, які висували страхова справа, демографія, теорії азартних ігор та ін.

Уперше теорією ігор зайнявся італійський філософ і математик Дж. Кардано (1501-1576рр.). Проте початком виникнення теорії ймовірностей вважають 1654р., на який припадає листування між французькими математиками Б.Паскалем (1623-1662) і П.Ферма (1601-1665) з приводу задач, які виникли у зв’язку з азартними іграми.

У наш час теорія ймовірності широко використовується у сучасному природознавстві, економіці, медицині, гуманітарних науках.

2. Сприймання і усвідомлення учнями основних понять теорії ймовірностей, класичного означення ймовірності.

1. Пояснюємо учням, що теорія ймовірності, як і будь-яка галузь математики, оперує певною низкою понять. Більшість понять теорії ймовірностей даються означення, але є і такі, які приймаються за первісні, неозначувані. Такими у геометрії є точка, пряма, площина. До первісних понять теорії ймовірностей належать поняття стохастичного експеременту і поняття події. Подія – це явище, про яке можна сказати, що воно відбувається чи не відбувається за певних умов.

Означення:

Події називається попарно несумісними в даному випробуванні, якщо жодні з них не можуть відбутися разом, або, іншими словами, якщо поява однієї з них виключає появу інших подій в одному й тому самому випробуванні.

Приклади:

1.Влучення і промах під час одного пострілу. Тут маємо множину двох попарно несумісних подій.

2.Поява 1, 2, 3, 4, 5, 6 очок під час одного кидання грального кубика – приклад множини із шести попарно несумісних подій.

Означення:

Події називаються сумісними в даному ви випробуванні, якщо поява однієї з них не виключає можливості появи іншої (не обов’язково одночасно).

Події  можуть бути рівно можливими.

Під однаково можливими розуміють такі події, кожна з яких не має жодних переваг у появі частіше за іншу під час багаторазових випробувань, що проводяться за однакових умов.

Приклади:

1.Потрапляння даної команди в I, II, III, IV групи під час жеребкування спортивних команд.

2.Поява 1, 2, 3, 4, 5, 6, очок під час одного кидання гральної кості.

Багато теоретичних тверджень теорії ймовірностей будуються на розгляді множини подій, які мають усі три властивості: утворюють повну групу подій,є несумісними і однаково можливими.

Важливими поняттями теорії ймовірностей є поняття вірогідної і неможливої події.

Вірогідною називаються подія, яка внаслідок даного випробування обов’язково має відбутися, а неможливою називається така подія, яка внаслідок даного випробування не може відбутися.

Наприклад, поява хоч одного із шести очок під час кидання грального кубика-вірогідна подія, а поява дванадцяти очок у цьому ж випробуванні – неможлива подія.

Розглянемо таблицю 13 у підручнику, сторінка 220, і виділяємо у ній вірогідній, неможливі та випадкові події.

2.Далі пояснюємо класичне означення ймовірності.

  Розглядаємо такий дослід: на полці розкладемо 13 мікрокалькуляторів, з яких 3 зіпсовані. Дослід полягає в тому, що навмання беруть один мікрокалькулятор. Ми не можемо наперед сказати, яким він буде – справним чи зіпсованим. Оскільки ми можемо вибрати лиш один з приладів, то поява справного чи зіпсованого – випадкові події, які утворюють повну групу з 13 несумісних однаково можливих подій.

З цих 13 елементарних подій появі справного приладу сприяють 10 подій, а появі зіпсованого – 3 події.

Нехай А – подія, що полягає у виборі справного мікрокалькулятора, а В – зіпсованого. Тоді числа і характеризують можливість здійснення відповідно події А чи В. Ці числа називають ймовірностями події А чи В і позначають: Р(А)=, Р(В)=.

Означення класичної ймовірності.

Імовірністю випадкової події називається відношення кількості елементарних подій, які сприяють цій події, до кількості всіх однаково можливих несумісних подій, які утворюють повну групу під час певного випробування.

Імовірність позначають:

Р(А)=,

де n – загальна кількість однаково можливих і несумісних подій, які утворюють повну групу;

m – число елементарних подій, які сприяють події А.

3. Закріплення вивченого матеріалу розв’язуванням задач.

Вправа 139(з коментуванням) 

На кожній з п’яти карток написана одна з літер Т, М, Р, О, Ш. Картки перемішують і розкладають в ряд. Яка імовірність того, що утвориться слово «ШТОРМ»?

Розв’язання

З п’яти букв можна зробити 5! «слів», тому n=5! З них слово «ШТОРМ» - 1 можливість, m=1.

Отже, Р(А)=.

Відповідь:.

Вправа 144(колективне розв’язування)

Набираючи номер телефону, абонент забув останню цифру і набрав її навмання. Знайдіть імовірність того, що номер набрано правильно. Розв’язати задачу для випадків, якщо остання цифра номера:

а) парна;

б) не більша від 6?

Розв’язання

Нехай А={0;1;2;3;4;5;6;7;8;9}, n=10.

Р(А)=.

а) В={0;2;4;6;8}, n=5.

P(A)= .

б) C={0;1;2;3;4;5;6}, n=7.

H(A)= .

Відповідь: а) , б) .

Самостійне розв’язування вправ 140,141,142.

Вправа 140

З 15 білетів, занумерованих числами від 1 до 15, навмання вибирають один. Яка імовірність того, що номер взятого білета – це число, яке не ділиться ні на 2, ні на 3?

Розв’язання

Всього білетів 15, тому n=15.

A={1;5;11;13} – це множина чисел, що не діляться ні на 2, ні на 3.

Р(А)= .

Відповідь:.

Вправа 141

Беруть навмання кісточку доміно. Вона виявилась не дублем. Знайдіть ймовірність того, що другу, також узяту навмання кісточку доміно, можна прикласти до першої?

Розв’язання

Всього кісточок доміно 28, після вибору першої: n=27.

Перша кістка не дубль, тому на ній є дві можливості для того, щоб вибрана кістка була прикладена до першої.

m=6+6=12

P(A)=.

Відповідь: .

Вправа 142

Пасажир чекає трамвай 26 або 16 маршруту біля зупинки, де курсують трамваї чотирьох маршрутів: 16, 22, 26, 31. Вважаючи, що трамваї всіх маршрутів проходять однаково часто, знайти імовірність того, що перший трамвай, який підійде до зупинки, буде трамваєм потрібного для пасажира маршруту?

Розв’язання

 m=2.

Р(А)= .

Відповідь:.

4. Підсумок уроку.

Засвоїли основні поняття теорії ймовірностей. Вивчили класичне означення ймовірності. Навчилися розв’язувати задачі, використовуючи формулу класичної ймовірності.

5. Домашнє завдання

§§37-38. Вправи 137,145,146.