Урок. Презентація. "Тіла обертання"

Понятие цилиндра, конуса, сферы и шара. 11 класс. сош № 18 учитель математики Богдан Т.В.

Ученик должен уметь: 1. Распознавать виды тел вращения и их элементы. 2. Строить изображение тел вращения, их элементов, сечений. 3. Вычислять основные элементы тел вращения. 4. Обосновывать свойства тел вращения, применять их к решению задач.

Цилиндры вокруг нас.

ЦИЛИНДР Цилиндром(круговым) называется тело, состоящее из двух кругов, которые не лежат в одной плоскости, а совмещаются параллельным переносом, и всех отрезков, соединяющих соответствующие точки этих кругов. Круги-основания цилиндра. Отрезки, соединяющие соответствующие точки окружностей кругов – образующие. β L1 M1 O1 O M α r L Цилиндри- ческая поверхность Основание цилиндра Ось цилиндра A1 A образующие

Высота, радиус и ось цилиндра. Радиусом цилиндра наз. радиус его основания. Высотой цилиндра называется расстояние между плоскостями оснований. Высота всегда равна образующей. Осью цилиндра называется прямая, проходящая через центры верхнего и нижнего оснований.

Свойства цилиндра: 1. Основания цилиндра равны и параллельны. 2. Образующие цилиндра параллельны и равны. 3. Высота цилиндра равна образующей.

Цилиндры бывают прямыми и наклонными в зависимости от того перпендикулярны или наклонны плоскости оснований к образующим. В основаниях могут лежать различные фигуры.

Цилиндр можно рассматривать как тело, полученное при вращении прямоугольника вокруг его стороны как оси.

Сечения цилиндра Сечение цилиндра, проходящее через ось, называется осевым сечением.

Любое сечение боковой поверхности цилиндра плоскостью, перпендикулярной оси – это круг, равный основанию.

Сечение цилиндра плоскостью, параллельной его оси КLMN- прямоугольник KL и MN-образующие

Площадь поверхности цилиндра Боковая поверхность: Sбок.=2πRH Полная поверхность: Sполн.=2πR(R+H) ОБЪЕМ ЦИЛИНДРА V= πR2 H, где R-радиус основания, H- высота.

Прямой круговой конус. Круговым конусом называется тело, состоящее из круга, точки не лежащей в плоскости этого круга, и всех отрезков, соединяющих заданную точку с точками круга.

Круг –основание конуса, точка S- вершина конуса, отрезки, соединяющие вершину конуса с точками окружности основания- образующие( SA, SB ), SO-высота, угол наклона образующей к плоскости основания - SBO

Сечение конуса, проходящее через ось, называется осевым. В основании осевого сечения лежит диаметр – максимальная хорда, поэтому угол при вершине осевого сечения – это максимальный угол между образующими конуса. (Угол при вершине конуса). Сечения конуса.

Любое сечение конуса плоскостью, параллельной основанию, - это круг. Сечения конуса.

Сечение конуса плоскостью, проходящей через его вершину. ΔSMK-равнобедренный

Площадь поверхности и объем конуса.

Усеченным конусом называется часть полного конуса, заключенная между основанием и секущей плоскостью, параллельной основанию. Круги, лежащие в параллельных плоскостях, называются основаниями усеченного конуса.

Образующей усеченного конуса называется часть образующей полного конуса, заключенная между основаниями. Высотой усеченного конуса называется расстояние между основаниями.

Усеченный конус можно рассматривать как тело, полученное при вращении прямоугольной трапеции вокруг боковой стороны, перпендикулярной основанию.

Прямая, соединяющая центры оснований, называется осью усеченного конуса. Сечение, проходящее через ось, называется осевым. Осевое сечение является равнобедренной трапецией.

Площадь поверхности и объем усеченного конуса. Боковая поверхность : Sбок.=π(R+r)L Полная поверхность: Sполн.=π(R+r)L+πR2 +πr2 Объем : где L – образующая,R и r –радиусы нижнего и верхнего основания.

Сферой называется поверхность, которая состоит из всех точек пространства, находящихся на заданном расстоянии от данной точки. Эта точка называется центром, а заданное расстояние – радиусом сферы, или шара – тела, ограниченного сферой. Шар состоит из всех точек пространства, находящихся на расстоянии не более заданного от данной точки.

Отрезок, соединяющий центр шара с точкой на его поверхности, называется радиусом шара. Отрезок, соединяющий две точки на поверхности шара и проходящий через центр, называется диаметром шара, а концы этого отрезка – диаметрально противоположными точками шара.

Шар можно рассматривать как тело, полученное от вращения полукруга вокруг диаметра как оси.

Наибольший радиус сечения получается, когда плоскость проходит через центр шара. Круг, получаемый в этом случае, называется большим кругом. Большой круг делит шар на два полушара.

Плоскость и прямая, касательные к сфере.

Части шара

Вопросы к уроку: 1.Объясните, что такое круговой цилиндр. 2.Что такое образующая цилиндра. 3.Перечислите свойства цилиндра. 4.Какой цилиндр называется прямым ? 5.Что такое радиус цилиндра? 6.Что называется высотой цилиндра ? 7.Что называется осью цилиндра ? 8.Что такое осевое сечение цилиндра? 9.Формулы для цилиндра.( Sбок., S полн., V). 10.Что такое круговой конус? 11.Дать определение вершины конуса

12. Что называется образующей конуса? 13. Какой конус называется прямым? 14.Что такое высота конуса? 15. Что такое ось конуса? 16. Дать определение осевого сечения конуса. 17. Формулы для конуса ( Sбок., S полн., V). 18. Что такое усеченный конус? 19. Что такое шар? 20. Что такое центр шара? 21. Что такое радиус шара? 22. Что такое диаметр шара? 23. Какие точки шара называются диаметрально противоположными? 24. Формулы для шара(S, V).

КРОССВОРД

ВОПРОСЫ К КРОССВОРДУ Вопросы к кроссворду – 1 По горизонтали. 1. Фигура на плоскости, все точки которой расположены не далее данного расстояния от одной точки. 2. Прямая, при вращении которой вокруг оси образуется боковая поверхность цилиндра, конуса. 3. Тело, полученное вращением прямоугольника вокруг одной из его сторон. 4. Угол между высотой и плоскостью основания конуса. 5. Тело, полученное вращением круга вокруг оси, лежащей в плоскости круга и не пересекающей его. По вертикали. 1. Тело, полученное вращением прямоугольного треугольника вокруг одного из его катетов. 2. Плоская фигура, при вращении которой образуется усечённый конус. 3. Тело вращения, являющееся верхней частью архитектурного сооружения. 4. Отрезок, соединяющий две точки сферы и проходящий через центр шара. 5. Тело, полученное вращением полукруга вокруг его диаметра. 6. Фигура, полученная вращением полуокружности вокруг её диаметра. 7. Тело вращения, об устойчивости движения которого написана известная работа великой русской женщины – математика.

Вопросы к кроссворду – 2 По горизонтали. 1. Фигура, полученная вращением параболы вокруг её оси. 2. Отрезок, соединяющий центр сферы с любой её точкой. 3. Круг, являющийся элементом конуса, плоскость которого перпендикулярна оси конуса. 4. Музыкальный инструмент, часть которого напоминает Псевдосферу Лобачевского. 5. Отрезок, соединяющий две точки окружности. По вертикали. 1. Фигура, полученная вращением гиперболы вокруг её оси. 2. Перпендикуляр, опущенный из вершины конуса на плоскость основания. 3. Тело, полученное вращением круга вокруг оси, лежащей в плоскости круга и не пересекающей его. 4. Тело, полученное вращением полукруга вокруг его диаметра. 5. . Фигура, полученная вращением полуокружности вокруг её диаметра. 6. Тело вращения, принцип движения которого описала великая русская женщина-математик. 7. Фигура, полученная вращением эллипса вокруг её оси.

ОТВЕТЫ К КРОССВОРДАМ Ответы к кроссворду - 1. По горизонтали. 1. Круг. 2. Образующая. 3. Цилиндр. 4. Прямой. 5. тор. По вертикали. 1. Конус. 2. Трапеция. 3. Купол. 4. Диаметр. 5. Шар. 6. Сфера. 7. Юла. Ответы к кроссворду - 2. По горизонтали. 1. Параболоид. 2. Радиус. 3. Основание. 4. Труба. 5. Хорда. По вертикали. 1. Гиперболоид. 2. Высота. 3. Тор. 4. Шар. 5. Сфера. 6. Юла. 7. Эллипсоид.