Тема уроку: Розкладання многочленів на множники за допомогою формул квадрата суми та квадрата різниці

Якщо хочете навчитися плавати, то сміливо заходьте у воду,  якщо хочете навчатися розв’язувати задачі, то розв’язуйте їх

                                                                             Д.Пойа

Мета уроку: формувати компетентності вільного володіння державною мовою та здатність спілкуватися нею, математичну, інноваційну, інформаційнокомунікаційну, громадянську та соціальну.

Тип уроку: корекції основних компетентностей.

Обладнання: презентація, відео (взаємоперевірка).

Хід уроку

І. Організаційний момент (діти записують дату, тему, на берегах зошита рисують смайлик настрою на початок уроку)

ІІ. Давайте спробуємо сформулювати цілі, які сьогодні плануємо досягти, враховуючи, що це останній урок на цю тему

ІІІ. Актуалізація опорних знань. Пригадуємо формули квадрата суми і квадрата різниці

ІV. Діти, як ви думаєте, чи пов’язані між собою різні шкільні предмети? Чи можна при розв’язуванні геометричних задач використовувати знання, отримані на уроках алгебри? А знання з геометрії на уроках алгебри? (ОВ: так)

Так ось давньогрецький учений Евклід у ІІІ столітті до нашої ери довів формули квадрата суми і квадрата різниці двох виразів геометрично.

Давайте спробуємо і ми це зробити.

Рис.1                                Рис 2

Яка фігура зображена на рисунку 1? (ОВ: квадрат). Яка довжина сторони квадрата? (ОВ: a+b). Як знайти площу цього квадрата? (𝑆 = (𝑎 + 𝑏)²). А тепер я розфарбую наш квадрат так, як показано на рисунку 2. Яка довжина сторони маленького квадрата? (ОВ: a). Як знайти площу маленького квадрата? (ОВ:𝑆 = 𝑎²) Яка довжина сторони великого квадрата? (ОВ: b). Як знайти площу великого квадрата? (ОВ: 𝑆 = 𝑏²). Якими фігурами є дві інші частини? (ОВ: прямокутниками). Які довжини сторін цих прямокутників? (ОВ: a і b). Як знайти площу прямокутника? (ОВ: S = a·b). Що потрібно зробити, щоб знайти площу всієї фігури? (ОВ: додати площі всіх чотирьох фігур (частин)). Зробимо це.

𝑆 = 𝑎² + 𝑏² + 𝑎 · 𝑏 + 𝑎 · 𝑏 = 𝑎² + 𝑏² + 2 · 𝑎 · 𝑏. Зведемо подібні доданки. 

Від того, що ми розфарбували квадрат, його площа змінилася? (ОВ: ні). Отже це була одна і та сама фігура і площа залишилася незмінною. Тож прирівняємо ліві частини (𝑎 + 𝑏)² = 𝑎² + 𝑏² + 2 · 𝑎 · 𝑏. Чи схожий цей вираз на якусь формулу? (ОВ: квадрат різниці). Ми «пройшли» шлях Евкліда і геометрично вивели формулу квадрата суми. Спробуйте дома аналогічно вивести формулу квадрата різниці.

V. Розв’язування задач. «Ланцюжок» – учні класу по черзі виходять до дошки і виконують по одному завданню («Алгебра. Підручник для 7 класу (авт. Істер

О.С.). – К.: Генеза, 2024. – 288 с.)

№ 942         1) (𝑥 − 𝑝)² = 𝑥² − 2𝑥𝑝 + 𝑝²  

2)  (𝑚 + 𝑎)² = 𝑚² + 2𝑚𝑎 + 𝑎²  

3)  (𝑏 − 𝑘)² = 𝑏² − 2𝑏𝑘 + 𝑘²  

4)  (𝑦 + 𝑐)² = 𝑦² + 2𝑦𝑐 + 𝑐²  

№ 948         1) 𝑚² − 2𝑚𝑝 + 𝑝² = (𝑚 − 𝑝)²  2) 𝑏² + 2𝑏𝑦 + 𝑦² = (𝑏 + 𝑦)²  

3) 𝑎² − 2𝑎 · 4 + 4² = (𝑎 − 4)²

№ 949     1) 𝑚² + 20𝑚 + 100 = (𝑚 + 10)²

2)  49 − 14𝑏 + 𝑏² = (7 − 𝑏)²  

3)  0,09𝑥² + 0,6𝑥 + 1 = (0,3𝑥 + 1)²  

4)

5)

6) 

VІ. Взаємоперевірка. Діти на аркушах виконують по 12 завдань, обмінюються аркушами, перевіряють роботу сусіда (сусідки), рахують кількість правильних відповідей. Роботи здають (https://youtu.be/Cym_F2eqcpg)

VІІ. Хочу познайомити вас з одним цікавим доведенням.

16 – 36 = 25 – 45. Чи правильна ця рівність? (ОВ: так)

Запишу перші числа як квадрати чисел, а другі як подвоєні добутки:

Чи можу я до обох частин правильної рівності додати одне і те саме число? (ОВ: так). Чи зміниться рівність при цьому? (ОВ: ні)

Чи схожі тепер права і ліва частини рівності на якісь відомі нам формули?

(ОВ: так, квадрат різниці). Розкладемо на множники ці вирази

Оскільки рівні квадрати, то рівні і числа, скоротимо показники степенів

Чи можу я знову до обох частин правильної рівності додати одне і те саме число? (ОВ: так). 4 = 5 

Те, що 4 – це 2 · 2 вам відомо ще з початкової школи, отже, маємо:

2 · 2 = 5

Чи є у цих міркуваннях помилка? Де? «Вартість» моєї помилки – 12 балів.

Такі  несподівані твердження, в основу яких закладені малопомітні помилки називають математичними софізмами. Софістами називали викладачів наук і мистецтва ще у Стародавній Греції. Це був напрямок філософії, їх назва в перекладі з грецької мови означає «ті, що мудрують». Софісти були універсальними вчителями, які навчали всіх бажаючих мудрості. У ті часи вважали, що навчання має бути побудоване не на отриманні знань, а на вмінні міркувати. Софістика – особливе вчення про те, як правильно спростовувати або захищати будь-яке твердження. Саме в ті часи з’явилися так звані софізми та парадокси. Не буду заглиблюватись в теорію, наведу всього один приклад математичного парадоксу. Парадокс з днями народження. Чи можливо, щоб лише з 30 учнів двоє святкували день народження в один і той самий день? (вчитель заздалегідь з’ясовує, чи є в класі діти, які народились в один і той самий день).

VІІІ. Резерв. Розв’язування задач.  

№ 944             1) (𝑎 − 1)² − (𝑎 − 2)² = 𝑎² − 2𝑎 + 1 − (𝑎² − 4𝑎 + 4) = 𝑎² − 2𝑎 +

№ 950             1) −100𝑚² + 20𝑚 − 1 = −( 100𝑚² − 20𝑚 + 1) = −(10𝑚 − 1)²  якщо 𝑚 = 0,1,то − (10𝑚 − 1)² = −(10 · 0,1 − 1)² = −(1 − 1)² = 0;  якщо 𝑚 = −0,9,то − (10𝑚 − 1)² = −(10 · (−0,9) − 1)² = −(−9 − 1)² =

−(−10)² = −100;

             2) −4𝑥² − 12𝑥𝑦 − 9𝑦² = −(4𝑥² + 12𝑥𝑦 + 9𝑦² ) = −(2𝑥 + 3𝑦)²   якщо 𝑥 = 0,03,𝑦 = 0,02, то − (2𝑥 + 3𝑦)² = −(2 · 0,03 + 3 · (−0,02))² = −(0,06 − 0,06)² = 0.

ІХ. РЕФЛЕКСІЯ. «Закінчити речення…»

Сьогодні на уроці я дізнався (лась) …

Сьогодні на уроці я навчився (лась) …

Сьогодні на уроці мене здивувало …

Ви вже добре засвоїли тему чи потрібно ще закріплювати знання?

Над чим ще слід попрацювати, щоб мати міцні знання?

Х. ДОМАШНЄ ЗАВДАННЯ. Розв’язати № 1, 3, 4, 7, с. 158 (Істер О.)

Використані джерела:

1.   Алгебра. Підручник для 7 класу (авт. Істер О.С.). – К.: Генеза, 2024. – 288 с.

2.   Хто такі софісти? – Режим доступу: https://formula.co.ua/blog/hto-taki-sofisty.

3.   https://youtu.be/Cym_F2eq