Урок "Сума n - перших членів арифметичної прогресії "

Тема уроку: Сума n-перших членів арифметичної прогресії

Мета уроку:

•     Вивести формулу для знаходження суми n-перших членів арифметичної прогресії та формувати вміння застосовувати її до розв’язування вправ;
•     Розвивати увагу, пам’ять, логічне мислення;
•     Виховувати математичне мовлення, старанність, спостережливість.

Тип уроку: засвоєння нових знань, умінь та навичок

Хід уроку

І. Організаційний етап уроку

За вікном зима холодна
Сипле білими снігами,
А у класі вашім вчитель
Вас вітає «Добрий ранок!»
Добрий ранок вам, панянки!
Добрий ранок, юнаки!
Сподіваюсь, ви готові
Вирушать в нові шляхи?
Вас чекають невідомі
формули чудові.
Вам їх треба пам’ятати,
Щоб суми різні рахувати.
Тому часу ми свого не гаємо
Враз роботу починаємо.
Будь сумлінним, не лінуйсь.
До уроку приготуйсь.

Рефлексія

Розпочалося вже століття 21.
То, може, люди будуть прагнуть знати менше?
Здається вивчені вже космос і моря,
Зірок будова і уся Земля.
Чи варто зайвий раз ризикувати заради того,
щоб щось нове узнати?
Такі питання математиків дратують,
Вони сьогодні, як завжди, досліджують, розв’язують, рахують.
І не бояться ні труднощів, ні перешкод, ані тенет,
Бо точно знають, що «Прогресіо» - це рух вперед!»

Тому я хочу допомогти зробити вам крок вперед  до нових знань. Бажаю успіхів сьогодні на уроці. Швидко замалюйте на полях у зошиті «смайлик вашого настрою»

ІІ. Перевірка домашнього завдання

Індивідуальні завдання за рівнями складності. Кожен учень обирає завдання, яке йому під силу та виконують його на листочках, а потім здають на перевірку.

Початковий рівень

Послідовність задана формулою х _n = 4 * n + 5. Знайдіть х₁, х₅, х₁₀₀, х₁₀₀₀. (1-3 бали)

Середній рівень

Запишіть послідовність чисел: 1) кратних 6; 2) які при діленні на 6 дають остачу 5. (4 - 6 балів)

Достатній рівень

1. Написати 4 перших члени послідовності, заданої формулою n – го члена. Знайти а₈.

.

2. Знайдіть найменший член послідовності с _n = 4 * n – 5.  (7 – 9 балів)

Високий рівень

1. Знайдіть кількість додатних членів послідовності:  а _n = 15 - 2 * n. 

      2. Підберіть одну з можливих формул n – го члена послідовності:
      а) 1; 4; 9; 16; 25; …        а _n  = ?

      б) ; …       а _n  = ?

       в) 2; 4; 8; 16; 32; …        а _n  = ?
      3. Знайдіть найбільший член послідовності, заданої формулою: (10 – 12 балів)

ІІІ. Актуалізація опорних знань.

Вправа «Метеоритний дощ»

1. Послідовність, кожний член якої, починаючи з другого, дорівнює попередньому члену, до якого додано одне й те саме число – це …
2. Спосіб задання числової послідовності -…
3. Будь-яке число в арифметичній прогресії – це …
4. Число d - …
5. Натуральне число, яке означає місце члена в послідовності – це …
6. Різниця двох послідовних рівних членів …
7. a_n =a₁ + (n - 1)* d – це …

Усні вправи. Пригадаємо:

1. Які із послідовностей є арифметичними прогресіями:

1.      3, 6, 9, 12, …;
2.     7, 14, 28, 35, 49, …;
3.      5, 15, 25, 35, 45, …;
4.       1, 2, 4, 7, 9, 11, …;
5.     4, 3, 2, 1, 0, -1, …

Гра «Так або Ні»

2. У арифметичній прогресії 2,4; 2,6; … різниця дорівнює 2?

3. Дано прогресію: 0,3; 0,7; 1,1; … четвертий член дорівнює 1,5?

4. 11-й член арифметичної прогресії, для якої а₁ = - 4,2, а d = 0,4 дорівнює 0,2?

ІV. Мотивація навчальної діяльності

Поняття арифметичної прогресії виникло дуже давно. І сьогодні я нагадаю вам один епізод із біографії вченого-математика. Але цей епізод пов’язаний із однією цікавою задачею.

У 7 років Карл Гаусс пішов до школи. Якось учитель дав учням завдання: додати всі числа від 1 до 100. Не встиг учитель дочитати умову задачі до кінця, як Гаусс підняв руку: «Готово!»

Весь клас був вражений швидкості, з якою Гаусс виконував підрахунки.

- Як ти підрахував? – здивувався вчитель.

- Дуже просто, - відповів хлопчик.

- Хочете дізнатися як саме виконав обчислення Гаусс?

Тоді відкриваємо зошити і записуємо тему нашого уроку.

V. Повідомлення теми та мети уроку

Сума n-перших членів арифметичної прогресії. Сьогодні ми разом з вами спробуємо вивести формулу S_n  для арифметичної прогресії, навчимося обчислювати Sn та знаходити раціональні способи розв’язування задач.

VІ. Вивчення нового матеріалу

Отже, розв’язок Гаусса:
Я додав 1 і 100, одержав 101. Потім додав 2 і 99, теж одержав 101, і так 50 доданків по 101 кожний. Помножив 101 на 50. Одержав 5050.

Здивований вчитель зрозумів, що зустрів найобдарованішого учня у своєму житті.

Отже, Карл Гаусс обчислив суму 100 перших членів арифметичної прогресії.

А саме суму потрібно знайти в багатьох історичних задачах. Причому для знаходження сум давно не користуються безпосереднім додаванням, а використовують формули. Тож давайте і ми виведемо формулу суми членів арифметичної прогресії.

Запишемо суму, яку успішно обчислив юний Гаусс.

S = 1+ 2 + 3 + 4 + … + 100
S = 100 + 99 + 98 + 97+ … + 1
2*S =
S = = 101 50 = 5050.

Міркуючи аналогічно, знайдемо суму n-перших членів арифметичної прогресії.

Дано арифметичну прогрсію: (а_n): а₁, а₂, а₃, а₄, … , а_n-2, а_n-1, а_n. Знайдемо суму членів і позначимо її S_{n .} Запишемо цю суму двічі і почленно додамо наступні рівності.

S_n = а₁ + а₂ + а₃ + а₄ +… + а_n-2 + а_n-1 + а_n
S_n = а_n + а_n-1 + а_n-2 + … + а₄ + а₃ + а₂ + а₁______________________________
2* S_n = (а₁ + а_n  ) + (а₂ + а_n-1) + (а₃ + а_n-2) +… +( а_n-2 + а₃ ) + (а_n-1 + а₂) + (а_n+ а₁ ).

За властивістю арифметичної прогресії усі ці суми рівні між собою, оскільки 1 + n =

= 2 + n – 1 = 3 + n – 2 = … . у правій частині є n – доданків, тому 2* S_n = (а₁ + а_n  ) * n.

VІІ. Формування вмінь та навичок.

Робота з підручником.

Сьогодні розв’язуємо завдання початкового та середнього рівнів складності. Учні із такими рівнями знань працюють з учителем біля дошки. Учні з високим та достатнім  рівнем знань працюють самостійно із звіркою виконаних завдань з учителем. Завдання на урок: № 730, 732, 734, 736, 738, 740.

VІІІ. Підсумок уроку:

•      Чи вдалося вам сьогодні дізнатися щось нове?
•      Чи вдалося вам сьогодні зробити нові відкриття?
•      Яку мету ми ставили перед собою?
•      Чи досягли ми мети?

ІХ. Домашнє завдання: § № 731, 733, 735.

ХІ. Рефлексія: Замалюйте тепер свій «смайлик настрою»: