Застосування властивостей степеня з натуральним показником

Урок  алгебри для 7-го класу

Тема  уроку:     Застосування  властивостей  степеня з натуральним  показником

Мета уроку: 

•      Навчити застосовувати  властивості  степеня  з  натуральним  показником  при  спрощенні  виразів  і  розв’язуванні  рівнянь;

•      користуватися  властивостями  степеня  при  визначенні  значень  числових  виразів  та  при  порівнянні  чисел;

•      розвивати вміння застосовувати  властивості  степеня  з  натуральним  показником  під  час  виконання  тестової  самостійної  роботи;

•      сприяти підвищенню інтересу учнів до вивчення предмету та прагнення до успіху.  

Тип уроку:      урок   застосування  знань,  формування  умінь та  навичок  учнів.

Обладнання:  дошка,  плакат  „Оцінювання  НДУ”, плакат з  „алгебраїчною  ромашкою”,  таблиця  із  завданнями  уроку  для  кожного  учня,  таблиця-помічниця,  картки  із  завданнями  для  змагання,  картки  із  текстом  самостійної  роботи,  мультимедійна презентація.

Структура  уроку

1.        Організаційно - психологічний  етап.

2.        Етап  підготовки  до  свідомої  навчальної  праці:  постановка  мети,  мотивація,  актуалізація  опорних  знань,  вмінь  (перевірка  домашнього  завдання).

3.        Етап  застосування  знань,  засвоєння  навичок  та  вмінь  на  готовому  матеріалі  (тренувальні  вправи  за  зразком,  інструкції,  завдання).

4.        Самостійна  робота  із  взаємоперевіркою  на  застосування  знань,  навичок,  умінь.

5.        Етап   повідомлення  і  пояснення  диференційованого  домашнього  завдання.

6.        Підведення  підсумків  уроку.

Хід  уроку

І. Організаційно  психологічний  етап.

Вітання  з  учнями.

-          Я  хочу  розпочати  сьогоднішній  урок  із  питання,  яке,  здається,  недоречним  на  уроці  математики: „Як  ви  гадаєте,  чи  знають  дорослі  люди  та  діти  шкільного  віку  елементарні  правила  дорожнього  руху?”

Ймовірна  відповідь: „Так!”

-          А  чи  всі  користуються  ними,  тобто  чи  всі  застосовують  правила  дорожнього  руху  у  реальних  життєвих  ситуаціях?

          Ймовірна  відповідь: „Ні!”

Нажаль,  таких  прикладів  можна  навести  чимало.  Ми  знаємо  правила,  чули  про  закони,  але  користуватися  ними  не  вміємо або  користуємося  невдало.  В  математиці,  як  у  житті!  Вивчив  правило – чудово,  а  чи  навчився  їм  користуватися?    Ми  з  вами  на  минулому  уроці

познайомились і  довели властивості  степеня  з  натуральним  показником,  виходячи  з  цього,  як  ви  гадаєте,  на що ми маємо націлити сьогоднішній  урок? 

Ймовірна  відповідь: „Тому,  щоб  навчитися  користуватися  вивченими  властивостями  степеня  на  практиці.”

-          Дійсно,  на  сьогоднішньому  уроці  ми  маємо  навчитися  застосовувати  властивості  степеня з натуральним показником  на  практиці.

   Тема:   «Застосування  властивостей степеня з   натуральним  показником».

 ІІ. Етап  підготовки  до  свідомої  навчальної  праці: 

   постановка  мети,  мотивація,  актуалізація  опорних  знань,  вмінь.

-          Виходячи  з мети уроку,  спробуйте  самостійно  сформулювати,  які  задачі  ми  маємо  поставити  перед  собою  на  уроці. (Метод «Мозковий штурм»)

Ймовірні  пропозиції:

ü  повторити  властивості  степеня  з  натуральним  показником;

ü  навчитися  застосовувати  властивості  степеня;

ü  розв’язати  кілька  різноманітних  завдань,  в  яких  треба  застосувати  властивості  степеня.

Учитель  узагальнює  та  доповнює  пропозиції  учнів.

-          Крім  того,  ми  маємо   перевірити  результати  своєї  навчальної  діяльності  під  час  виконання  самостійної  роботи,  бо  отримані  сьогодні  знання  знадобляться  нам  на  наступному  уроці  при  знайомстві  із  новим  для  вас  поняттям – „одночлен”.  

-          Тож  до  роботи!  Вдома  кожен  з  вас  мав  навчитися  формулювати  п’ять  властивостей  степеня  з  натуральним  показником  і  записувати  їх  у  вигляді  формул.  Як  ви  впоралися  із  цією  частиною  домашнього  завдання  ми  перевіримо  так:  всі  учні  класу  об’єднаються  у  дві  великі  групи,  наприклад,  за  варіантами.  Учні  з  І  варіанту  спробують  себе  у  ролі  вчителів,  тобто  вони  мають  грамотно  сформулювати  питання,  які  вважають  за  потрібне  повторити  на  початку  уроку,  і  перевірити  правильність  відповіді.  Учні  ІІ  варіанту  мають  давати  розгорнуті  відповіді  на  поставлені  питання.  Але  одного  з  вас  ми  попросимо  записувати  на  дошці  властивості  степеня  у  вигляді  формул  по  мірі  того  як  вони  будуть  розглядатися.

Ймовірні  питання  учнів  І  варіанту:

1.       Сформулюйте  основну  властивість  степеня.

2.       Сформулюйте  правило  ділення  степенів  з  однаковими  основами.

3.       Як  піднести  степінь  до  степеня?

4.       За  яким  правилом  відбувається  піднесення  до степеня  добутку?

5.       Яким  чином  підноситься  до  степеня  частка?

        На  дошці:       Властивості  степеня  з  натуральним  показником:

1.        a^m ∙ aⁿ = a^m+n;

2.        a^m : aⁿ = a^m-n;    а ≠ 0,  m > n

3.        (a^m)ⁿ = a^m∙n;

4.        (ab)ⁿ = aⁿbⁿ;

an an



^b^ ^b_n ,  b ≠ 0

5.        ^

Учитель  підводить  підсумки  роботи  учнів:  узагальнює,  перевіряє,  схвалює.

-          Отже,  теорію  ви  вивчили  чудово.  Подивимось  як  ви  впорались  із  практичною  частиною  домашнього  завдання.  Я  запропонувала  вам  намалювати  „алгебраїчні  ромашки”  ( на  ватмані  намальована  „алгебраїчна  ромашка”)  і,  користуючись  різними  властивостями  степеня,  на  пелюстках  цих  „ромашок”  написати  приклади,  які  б  дорівнювали  виразу  в  середині.  Чим  більше  пелюсток,  тим  краще.  Покажіть  свої  „ромашки”!  Давайте  разом  заповнимо  пелюстки  моєї  „алгебраїчної  ромашки”.

     На  дошці:

Учні  пропонують  свої  варіанти  прикладів,  учитель  вписує  їх  у  пелюстки  „алгебраїчної  ромашки”,  корегує  приклади  і  правильність    математичного  мовлення  учнів,  якщо  це  потрібно. 

-          Свої  „ромашки”  ви  здасте  мені  на  перевірку.  Крім  того,  я  пропоную  скласти  з  них  чарівний  букет  і  використати  його  при  оформленні  математичної  газети  на  тижні  математики,  наприклад,  для  підтвердження  вислову: „Скільки  людей,  стільки  різних  думок!”.

-          А  зараз  нам  лишається  перевірити  останнє  завдання,  яке  ви  виконували  вдома.  Кожен  з  вас  мав  на  окремому  аркуші  скласти  (придумати)  п’ять  прикладів  на  кожну  з  вивчених  властивостей  степеня.  Покажіть  свої  листочки!  Тепер  обміняйтеся  завданнями  із  сусідом  по  парті!  На  виконання  роботи  0,5  хвилин.  Виконавши  роботу,  не  забудьте  підписати  її  і  поверніть  автору  завдань.  Автор  прикладів  має  перевірити  правильність  виконання  роботи,  поставивши  відмітку  „+”  або  „-”  біля  розв’язку.

Підніміть  руки  в  кого  на  листочку  п’ять  або  чотири  „+”.  (Якщо  не  всі  учні  підняли  руки,  учитель  не  повинен  виділяти  цих  дітей,  він  лише  має  зауважити,  що  ті  діти,  робота  яких  має  інший  результат,  повинні  бути  дуже  уважними  на  уроці,  мають  задавати  питання,  вдома  повинні  повторити  правила  і  формули.)

-          Чудово!  Я  бачу  ви  ретельно  попрацювали  вдома:  вивчили  властивості  степеня  з  натуральним  показником  і  навчилися  користуватися  цими  властивостями  при  розв’язуванні  однокрокових  прикладів  на  безпосереднє  застосування  конкретної  властивості.  Безумовно,  це  певне  досягнення  і  успіх!  Але  у  мене  виникає  питання: „Як  ви  гадаєте,  якому  рівню  навчальних  досягнень  учнів  з  математики  відповідають  саме  наші  з  вами  досягнення  на  цьому  етапі?” (Учитель  звертає  увагу  учнів  на  плакат  „Оцінювання  НДУ”)

Ймовірна  відповідь: „Середньому  рівню  навчальних  досягнень  учнів.”

-          Так!  На  цьому  етапі  ми  впевнено  можемо  сказати,  що  подолали  другу  сходинку  градації  навчальних  досягнень.  Але  чи  варто  зупинятися  на  цьому?

Ймовірна  відповідь: „Ні,  ми  повинні  навчитися  розв’язувати  більш  складні  завдання!”

-          Безумовно,  ми  повинні  просуватися  далі!  Ми  маємо  навчитися  застосовувати  властивості  степеня  з  натуральним  показником  у  більш  складних  і  цікавих  завданнях.  І  я  впевнена  нас  чекає  успіх!

ІІІ.  Етап  застосування  знань,  засвоєння  навичок  та  вмінь  на  готовому  матеріалі  (тренувальні  вправи  за  зразком,  інструкції,  завдання).

-          Пропоную  всім  розглянути  таблицю  завдань  уроку,  яка  лежить  у  кожного  на  парті.

10

-          Таблиця  поділяється  на  три  стовпчики  по  формах  роботи.  Перший  стовпчик  містить  два  завдання:  завдання  „а)”  ми  докладно  розберемо  разом,  знайдемо  раціональний  розв’язок,  але  запишу  його  я,  демонструючи  правильне  оформлення  завдання;  завдання  „б)”   виконувати  з  коментарем  біля  дошки  будуть  бажаючі.  У другому  стовпчику – завдання,  які  ви  маєте  спробувати  виконати  самостійно,  але  під  час  роботи  ви  можете  консультуватися  зі  мною  або  із  сусідом  по  парті,  і    це  ж завдання  буде  виконувати  хтось за  дошкою. Потім  ми  обговоримо  варіанти  відповідей,  звіримось  із  дошкою,  затвердимо  правильну  відповідь  і  ,знайшовши  її  у  таблиці – помічниці,  визначимо  одну  з  літер  закодованого  слова,  яке  ми  розшифруємо  протягом уроку  (учитель  звертає  увагу  учнів  на  дошку  де  намальована  таблиця – помічниця).  Завдання  третього  стовпчику – додаткові,  вони    призначені  для  учнів,  які  працюють  у  дуже  високому  темпі  і  цікавляться  більш  складними  завданнями.  Правильність  виконання  додаткових  завдань  я  перевірю  під  час  виконання  вами  самостійної  роботи.  Якщо  по  організаційних  моментах  все  зрозуміло,  ми  можемо  приступити  до  виконання  першого  завдання.

Коментар  до  виконання  завдань:

ü  (завдання 1) :  відпрацьовується  правило  піднесення  степеня  до  степеня,  добуток  двох  степенів  з  однаковими  основами  і  правило  піднесення  до  степеня  добутку.

Перед  тим  як  запропонувати  самостійне  виконання  завдання  варто  навести  дітям  вислів  видатного  американського  математика  А. Ні вена: „Математику  неможна  вивчати,  спостерігаючи,  як  це  робить  сусід!”  

ü  (завдання 2) : важливо  запитати  в  учнів  правило  піднесення  до  степеня  від’ємного  числа.

Ймовірна  відповідь:

-          Щоб  піднести  до  степеня  від’ємне  число,  треба  піднести  до  такого  самого  степеня  модуль  цього  числа  і  перед  результатом  поставити  знак  плюс,  якщо  показник  степеня  парний,  або  мінус,  якщо  показник  степеня  непарний.

ü  (завдання  4) : 

-          Зверніть  увагу  на  четверте  завдання! У  нас  з  вами  запланований – відпочинок.  Але  всім  відома  мудрість,  що  найкращій  відпочинок – це  зміна  праці.  Отже,  пропаную  змінити  форму  нашої  роботи  і  провести  невеличке  змагання.  Зараз  ви  об’єднаєтесь  у  дві  команди. Гра «Світлофор» (учні за правильною відповіддю показують фішку зеленого кольору, неправильною червону). Щодо  суті  завдань:  треба перевірити  рівність чи правильна.  На  старт!

ЗАВДАННЯ  ДЛЯ  ЗМАГАННЯ для кожної пари

Учитель  підводить  підсумки  змагання:  перевіряє  правильність,  визначає  переможця,  підбадьорює  інших  учнів.

-          Мені  здається,  що  головним  досягненням  цього  змагання  є  те,  що  ви  побачили,  як  чудово  вміти  співпрацювати  в  команді,  як  чудово  відчути  радість  від  спільної  перемоги  і  як  корисно  навчитися  об’єднувати  зусилля  і  знання  задля  досягнення  успіху.

ü  (завдання  5) : відпрацьовується правило піднесення до степеня дробу. 

ü  (завдання  6) : необхідно  пригадати  означення  степеня  (степінь – це  добуток  кількох  рівних  множників).

ü  (завдання  7) :  з’ясовується  питання: „Чому  дорівнює  будь-яке  число  у  першому  степені?”

Учитель  підводить  підсумки  роботи  за  таблицею  завдань:

-          Отже,  ми  виконали  з  вами  всі  заплановані  на  сьогоднішній урок  завдання.  Ми  навчилися  застосовувати  властивості  степеня  з  натуральним  показником  при  спрощенні  виразів,  під  час  обчислення  значень  виразів  та  їх  порівнянні,  при  розв’язуванні  рівнянь.  Крім  того,  ми  розшифрували  за  допомогою  таблиці - помічниці  ключове  слово  нашого  уроку: „ДОСЯГЛИ”.  Дозвольте  мені  поставити  знак  оклику  після  цього  слова  і  запитати  у  вас: „Що  я  мала  на  увазі,  обираючи  саме  це  дієслово  ключовим  на  нашому  уроці?  Чого  ж  ми  з  вами  ДОСЯГЛИ?” Ймовірні  відповіді: 

-          Ми  досягли  успіху  в  роботі!

-          Ми  досягли  мети  уроку – навчилися  застосовувати  властивості  степеня  з  натуральним  показником!

Питання  учителя:

-          Як  ви  гадаєте,  якої  сходинки  градації  навчальних  досягнень  ми  ДОСЯГЛИ  протягом  уроку?

Ймовірна  відповідь: „Третьої,  тобто,  ми  досягли  достатнього  рівня!”

Учитель  узагальнює  відповіді  учнів:

-          Дійсно,  ми  досягли  певного  успіху,  і  я  впевнена,  що  всі  ви  підвищили  свій  рівень  навчальних  досягнень,  навчившись  застосовувати  властивості  степеня.  Дехто  з  вас  встигав  виконувати  додаткові  завдання,  тобто  впорався  із  завданнями  високого  рівня. Але  взагалі,  ми  працювали  колективно  або  за  допомогою  підказок,  тому,  я  вважаю,  зараз  просто  необхідно  виконати  самостійну  роботу,  метою  якої  буде: перевірка  своїх знань  і  закріплення  свого  успіху.  

IV.  Самостійна  робота  із  взаємоперевіркою.

-  Самостійну  роботу  ви  будете  виконувати  по  варіантах.  Робота  розрахована  на  2 хвилини  і  подана  у тестовій  формі.  Результати  роботи  ми  дізнаємось  відразу,  бо  зробимо  взаємоперевірку,    і  за  результатами  ви  отримаєте  домашнє  завдання.  Учні,  які  виконували  додаткові  завдання,  мають  покласти  зошити  на  край  парти,  я  перевірю  результати  вашої  індивідуальної  роботи.  (під  час  цієї  промови  учитель  роздає  учням  текст  самостійної  роботи)

САМОСТІЙНА  РОБОТА

Варіант  1        ________________________________________

                                                            ^{ПІ  учня}

1.  Знайдіть,  які  з  даних  рівностей  неправильні:                                    ( 1 бал) А) х⁵ ∙ х³ = х⁸;     Б) а¹² : а³ = а⁴;     В) х⁶у⁶ = (ху)¹²;     Г) (а³)² ∙ а⁴ = а¹⁰.

а2а6

2.  Подайте  вираз  ^а4        у  вигляді  степеня  з  основою  а.                      ( 1 бал)

А) а⁸;                   Б) а³;                    В) а²;                       Г) а⁴.

3.  Виконайте  піднесення  до  степеня:  (- 3х³)³.                                         ( 2 бали) А) -9х⁹;                Б) -9х⁶;                В) -27х⁹;                 Г) 27х⁹.

4.  Чому дорівнює  значення  виразу  4³ : 2⁶  ?                                              ( 2 бали) А) 1;                     Б) 2;                    В) 32;                      Г) 4.

5.  Які  з  нерівностей  правильні ?                                                                  ( 2 бали)

2

                                                                                       2       2²

 

А) 2⁵ < 2⁶;                    Б) 2⁰ < 2;                    В) ^3 < 3² ;              Г) 2¹ > 2.

6.  Розв’яжіть  рівняння   х²х⁴ = 1.                                                                    ( 2 бали) А) 1;                     Б) ^ 1;                 В) -1;                      Г) немає  розв’язків.

                                                                                    Кількість  балів:   _______

Варіант  2       __________________________________________

                                                             ^{ПІ  учня}

1.    Знайдіть,  які  з  даних  рівностей  неправильні:                                      ( 1 бал) А) х⁶ ∙ х⁴ = х²⁴;     Б) а¹⁵ : а³ = а⁵;     В) х⁴у⁴ = (ху)⁴;      Г) (а⁷)² ∙ а⁴ = а¹⁸.

а5а3

2.    Подайте  вираз  ^а6 у  вигляді  степеня  з  основою  а.                        ( 1 бал)   

А) а⁸;                   Б) а³;                     В) а²;                       Г) а⁴.

3.    Виконайте  піднесення  до  степеня:  (- 2х³)⁴.                                           ( 2 бали) А) 8х¹²;                Б) 8х⁷;                  В) -16х¹²;                Г) 16х¹².

4.    Чому дорівнює  значення  виразу  9³ : 3⁶  ?                                               ( 2 бали)

А) 0;                     Б) 3;                     В) 9;                         Г) 1.

5.    Які  з  нерівностей  правильні ?                                                                ( 2 бали)

4

2 2⁴

 

А) ^3 < 3⁴ ;     Б) 3⁵ < 3⁷;            В) 3⁰ < 2;                 Г) 3¹ > 3.

6.    Розв’яжіть  рівняння   х²х⁴ = -1 .                                                                 ( 2 бали)

А) 1;                     Б) ^ 1;                  В) -1;                       Г) немає  розв’язків.

                                                                                           Кількість  балів:   _______

Через  2  хвилини  учитель  має  призупинити  роботу  учнів,  запропонувати  їм  виконати  взаємоперевірку  і  визначити  кількість  набраних  балів.

- Підніміть  руки,  ті  учні,  які  набрали  9  або  10  балів  ( 10 - це  максимальний  результат)!  Чудово,  не  забудьте  здати  свої  роботи.  Я  бачу,  що  урок  для  вас  пройшов  не  даремно  і  ви  навчились  застосовувати  властивості  степеня.  Але  прошу  не  розгублятись  тих,  в  кого  результат  гірший,  бо  вдома  ви  повторите  властивості  степеня  і  спробуєте  виконати  аналогічні  завдання,  крім  того  на  наступних  уроках  ми  ще  не  раз  будемо  відпрацьовувати  навички  застосування  властивостей  степеня  з  натуральним  показником.

V.  Етап   повідомлення   диференційованого  домашнього  завдання.

        Учитель  звертає  увагу  учнів  на  дошку:

-  Отже,  учні,  які  набрали  9,10  балів,  виконують  домашнє  завдання  ІІІ рівня.  Завдання - цікаві,  потребують  не  тільки  знань,  а  й  певної  кмітливості,  аналітичного  мислення.  Учні,  які  набрали  5 - 8  балів  мають  працювати  вдома  над  завданням  ІІ  рівня,  яке  відповідає  середньому  та  достатньому  рівню  навчальних  досягнень.  Учні,  які  набрали  1 - 4  бали,  перш  за  все  повинні  вдома проаналізувати    самостійну  роботу  (діти  роботу  не  здають),  може  ви  просто  були  неуважні  і  ваш  результат  набагато  кращій,  а  по-друге,  повторити  властивості  степеня  і  відповідні  формули.  Після  цього  ви  маєте  виконувати  домашнє  завдання  І  рівня,  яке  передбачає  безпосереднє  застосування  властивостей  степеня.

VI.  Підведення  підсумків  уроку.

-    А  зараз  нам  лишається  підвести  підсумки  роботи  на  уроці.  По-перше,  дозвольте  оцінити  роботу  окремих  учнів,  тобто  їх  рівень  навчальних  досягнень.  

Учитель  озвучує  і  коментує  оцінки  учнів,  які  активно  працювали  протягом  уроку,  враховуючи  результати  тестування,  індивідуальну  роботу,  роботу  біля  дошки  і  усні  відповіді.

-    По-друге,  пропаную  повернутися  до  проблеми,  яку  ми  підняли  на  початку  уроку: „Чи  досить  у  навчанні,  у  роботі,  у  житті  лише  знати  певні  правила,  закони  чи  властивості?  До  яких  висновків  ви  дійшли?”

Ймовірна  відповідь:

-    Ні,  недостатньо  вивчити  правила  чи  формули,  треба  навчитися  ними  користуватися,  тобто  застосовувати  на  практиці!

-    Дійсно,  і  це  твердження  стосується  не  тільки  математики,  а  й  правил  громадської  поведінки, 

правил  дорожнього  руху,  конституційних  або  юридичних  законів.  Отже,  навчаючись  користуватися  своїми  знаннями,  ми  зростаємо  як  особистість,  ми  набуваємо  досвіду  і  впевненості  у  своїх  силах.