Арифметична прогресія та її застосування. Розв'язування задач прикладного змісту.

Розв'язування задач прикладного змісту.

освітня: продовжити роботу над визначеннями арифметичної    прогресії; формулами -го члена, суми перших членів; характеристичними властивостями, що мають члени прогресії; формувати навички застосування зазначених формул до розв’язування задач; закріпити навички обчислення суми, показати практичне застосування теми на прикладах задач із життя та історичних задач.

розвивати: творчі здібності, увагу та пам'ять; формувати вміння будувати та інтерпретувати математичну модель реальної ситуації; застосовувати отримані знання до розв’язування задач; підвищувати інтелект та сприяти розвитку загальних компетентностей особистості.

виховна: сприяти вихованню: інтересу до математики та її застосуванням; активності, умінню спілкуватися та аргументовано відстоювати свою думку;

працювати в групах; розширювати світогляд; сприяти підвищенню загальної культури та вихованню патріотизму.

Тип уроку:   урок формування знань вмінь і навичок

 

Обладнання: портрети Гаусса, Абеля, Фур’є, варіанти  завдань для  тестової роботи,   збірник прикладних  задач, комп’ютер, мультимедійна презентація, таблиця для рефлексії.

                                                  Світ, що нас оточує, – це світ математики, тож

                                                                                           давайте його пізнавати …

 

Хід уроку

І. Організаційний момент

Перевірка готовності учнів до уроку, налаштування на роботу.

Пропоную учням побажати один одному успіхів на  уроці

 ІІ. Мотивація навчальної діяльності учнів

   Слово “прогресія” походить від латинського слова “progressio” і означає “рух уперед” (як і слово “прогрес”). Уперше цей термін як математичний вживається у працях римського вченого Боеція (V – VI ст.).

Перша умова, якої треба дотримуватися в математиці, – це бути точним.

Друга – бути чітким, і наскільки можливо, простим.

                Прогресії є відображенням світу, що нас оточує. Застосовується прогресія в таких науках, як:

- фізика: під час вивчення тіл, що вільно падають чи рухаються рівноприскорено, під час вивчення процесу радіактивного розпаду;

- економіка та банківська справа: під час виплати відсотків та надання кредитів; - у техніці: під час виготовлення обладнання, тощо.

 

       Отже, ми сьогодні з вами на уроці просто, чітко і з легкістю повторимо знання з теми: « Арифметична прогресія», закріпимо навички обчислення елементів прогресії, покажемо практичне застосування теми на прикладах історичних задач, задач практичного змісту, будемо удосконалювати вміння оцінювати свої досягнення.

            Результати вашої роботи перш за все будуть залежати від настрою на цей урок. Нехай він пройде під девізом:

       Переконай себе в тому, що арифметична прогресія засвоєна!

 

   ІІІ. Актуалізація опорних знань учнів.

     Оскільки ця тема вивчається не перший урок, звернемось до нашого досвіду, відтворимо знання про арифметичну прогресію та її основні формули, щоб скористатися ними в подальшій роботі. Для цього пропоную провести «Крос-опитування».

    Крос – опитування» (проводиться  з використанням мультимедійної презентації).

• Усне опитування

1.  Дайте визначення арифметичної прогресії.
2. Як називають стале число d для такої послідовності?
3.  Чому дорівнює число d ?
4. Як перевірити чи є число членом арифметичної прогресії? ( Якщо різниця між наступним і попереднім членом послідовності одне й теж число, то дана послідовність є арифметичною).
5. Назвіть формулу n-го члена арифметичної прогресії.
6. У чому полягає характеристична властивість арифметичної прогресії. (Кожний член арифметичної прогресії, починаючи із другого рівний середньому арифметичному двох сусідніх з ним членів).
7. Назвіть формули суми п-перших членів арифметичної прогресії.
8.  За якою формулою можна знайти будь-який член арифметичної прогресії?
9.  Якою є арифметична прогресія, якщо d < 0, d > 0,    d = 0?
10.  Як перевірити, чи є послідовність арифметичною прогресією?
11.  Що можна знайти в арифметичній прогресії, знаючи d   та а₁ ?

   Названі формули занесемо в таблицю.

 

	Арифметична прогресія
Визначення
Формула n-го члена
Характеристична властивість
Формула суми n членів

 

 

     Щоб закріпити наші теоретичні знання, попрацюємо усно над такими  тестовими завданнями

   ( В той самий час кілька учнів самостійно виконують тестові завдання запропоновані їм на окремому аркуші

 Зразок тесту – додаток №1)

Тестові завдання для класу проектуються на екран :

1) «Перевір себе!»      

 Яка із цих послідовностей є арифметичною прогресією?

 1) -1; 1; -1; 1; -1; 1

 2) -1; 3; 7; 11; 15; 19

 3) -1; -3; -9; -27; -81; -243

 4) 3; 0;-3; -6; -10; -13

 5) 5, 12, 18, 24, 30,…..        

 6) 7, 14, 28, 35, 49,….

2) «Обчисли усно»

  Знайди різницю арифметичної прогресії:

1)  1; 5; 9………

2)  105; 100; 95….

3)  -13; -15; -17……

4)   11; ?; 19,….

3) «Розв'яжи задачу»

1. Назвіть п’ять членів  (α_n), якщо α₁ = -0,5, d = 2.

1.     -0,5; -2,5; -4,5; -6,5; -8,5
2.     -0,5; 1,5; 3,5; 5,5; 7,5
3.     -0,5; 1,5; -3,5; 5,5; -7,5
4.     -0,5; -1; -2; -4; -8

3. Послідовність (α_n) – арифметична прогресія. Знайдіть α₆,

якщо α₁ = , d = - .

 1)       2) 3      3) -3      4) -4

4. В арифметичній прогресії а₄₄=74, d=-2. Знайти а₁.

a) 100;   б) 160;    в)  130;  г) 60.

Вчитель: На початку вивчення теми «Арифметична прогресія» вам було запропоновано  зібрати історичний матеріал. Зібравши до купи зібрані матеріали, ми отримали таку історичну довідку.

 Учні зачитують довідку, окремі результати дослідження проектуються на екран у вигляді презентації.

IV. Історична довідка

"Прогресія", "прогрес", "прогресивний" - слова одного кореня. Прогресія - це послідовність, побудована за таким законом, який дає змогу продовжувати її необмежено, тобто рухатися вперед.

Прогресія - явище без перебільшення, унікальне. Історія виникнення прогресії сягає глибини віків.

 Прогресії як часткові види числових послідовностей, трапляються в папірусах ІІ тисячоліття до н. е. Перші із задач на прогресії, що дійшли до нас, пов’язані з господарською діяльністю, а саме – з розподілом продуктів, поділом спадку тощо. Перші спогади про арифметичну прогресію були ще у прадавніх народів. У клинописних вавилонських табличках і єгипетських папірусах зустрічаються задачі на прогресії та вказівки як їх розв’язувати.

Вважалось, що в давньоєгипетському папірусі Ахмеса перебувала найдавніша задача на прогресії про поділ ячменю “Нехай тобі сказали: розділи десять мір ячменю між 10 чоловіками так, щоб різниця між кожним чоловіком і його сусідом становила 1/8 міри ячменю ”.

Але є набагато більш стара задача про ділення хліба, яка записана в знаменитому єгипетському папірусі Ринда. Папірус цей, розшуканий Риндом піввіку назад, складений близько 2000 років до нашої ери і є списаним з іншого, ще більш прадавнього математичного твору, що відноситься, можливо, до третього тисячоріччя до нашої ери.

  Зміст її приблизно такий :"Сто мір хліба слід розділити між п'ятьма людьми так, щоб другий одержав на стільки ж більше від першого, на скільки третій одержав більше від другого, четвертий більше - більше від третього і п'ятий - більше від четвертого. Крім того, двоє перших повинні одержати в 7 раз менше за трьох інших. Скільки потрібно дати кожному?"

      В Україні задачі на прогресії вперше зустрічаються в одній з найдавніших пам’яток руського права, в “Руській правді”, складеній при Ярославі Мудрому в ХІ столітті. Там є стаття, присвячена обчисленню приплоду від 22 овець за 12 років, при умові, що кожна вівця щорічно приносить одну овечку і одного барана.

Там же можна прочитати складений сільським господарем цікавий розрахунок приплоду за 12 або 9 років від усієї худоби і бджіл його села, прибутку від посіяних хлібів і п’яти скирт сіна, а також розрахунок плат за дванадцятирічну сільську роботу жінки з дочкою

Значна кількість задач на прогресії міститься  в чудовій пам’ятці математичної літератури початку XVIII cт. “Арифметиці” Л. П. Магніцького.

Протягом півстоліття ця книга була основним математичним підручником в Росії. М.В. Ломоносов дуже високо цінив книгу Л.П. Магніцького, називаючи її “вратами ученості”.

В цій книжці була ось така задача „ Хтось продавав коня. Просив за нього 25 рублів. Купець, що побажав купити, обурився, що дорого. „Добре, - відповів продавець. Бери коня даром, а заплати тільки за цвяхи на його підковах. А цвяхів у всякій підкові 6 штук. І будеш ти мені платити за них у такий спосіб: за перший цвях 10 копійок, за другий цвях 20 копійок, за третій – 30 копійок і т.д.” Купець же, думаючи, що заплатить набагато менше, чим 25 рублів, погодився. Чи проторгувався купець, і якщо так, то на скільки?”

Розв’язання

а₁= 10 коп., а d = 10 коп. 

Всіх цвяхів у коня 6*4=24 цвяхи. Знайти S₂₄

 

S₂₄==*24= 250*12= 3000 коп.=30 руб.

 

Купець проторгувався на 5 рублів.

 

Відомий німецький математик Карл Гаусс (1777 - 1875) ще у школі виявив блискучі математичні здібності.  Коли йому було 9 років, учитель, прагнучи надовго зайняти дітей, задав на уроці наступну задачу: знайти суму перших ста натуральних чисел. На здивування учителя один з учнів (це був маленький Гаусс ) через хвилину викликнув: “Я вже розв'язав”. У зошиті Гаусса було тільки одне число, але зате вірне. Як міркував маленький Гаусс? Зміркувавши, що суми 1+100, 2+99 і т. д. рівні, він помножив 101 на 50, тобто число таких сум , яке дорівнює 5050. Інакше кажучи, він помітив закономірність, яка властива арифметичній прогресії.

 

Зміст ряду історичних задач на прогресії, відбиває той подив, який викликало в тих, хто розв'язував ці задачі.

Розглянемо приклади таких задач:

 

V.  Розв’язування задач практичного змісту

 

Вчитель   Отож,  прослухавши дану історичну довідку, почнемо  розв’язувати  задачі прикладного змісту.  Я заготовила вам кілька задач прикладного змісту. Ви їх маєте на окремих листках перед собою. Отож, почнемо;

  

Задача 1.  Курс повітряних ванн починають із 15 хв. у перший день і збільшують час цієї процедури в кожний наступний день на 10 хвилин. Скільки днів слід приймати ванни в зазначеному режимі, щоб досягти їхньої максимальної тривалості 1 година 45 хвилин?

 

 Дано: арифметична прогресія, а₁=15 хв, d = 10 хв., a_n =105 хв. Знайти:   n

Розв'язання

а_n = а₁ + (n-1)*d;     15+10(n-1)=105; 10*n = 100;  n = 10

Відповідь: 10 днів слід приймати ванни.

 

 

Задача 2. Робітник виклав плитку в такий спосіб: у першому ряді - 3 плитки, у другому - 5 плиток і т.д., збільшуючи кожний ряд на 2 плитки. Скільки плиток потрібно для 7 ряду?   Скільки всього потрібно плиток ? .

Розв'язання

а_n = а₁ + (n-1)*d; а₇ = 3 + 6*2 = 15 плиток.

S_n = (2* а₁ +(n-1)*d):2*n;

 S₇ = (2* 3 +6*2):2*7 = 63 плитки

Відповідь: 63 плитки

 

 Задача 3. Кожний курець викурює в день у середньому 8 сигарет. Після викурювання першої сигарети в легенях осідає 0,0002 г. нікотину й тютюнового дьогтю. З кожною наступною сигаретою ця кількість збільшується на 0,000001 г. Яка кількість шкідливих речовин осідає в легенях за рік?    

 

Розв’язання

 Курець викурює за рік 365*8 = 2920 сигарет.

  S_n = (2* а₁ +(n-1)*d):2*n;

 

   S₂₉₂₀ = (2* 0,0002 +2920*0,000001):2*2920 = 4,847 г

 

Відповідь: 4, 847 г

 

Задача 4   №17.17 задача про ділення хліба  з папірусу Ринда

Після спрощень перше рівняння має вид

x+2y = 20, а друге 11x = 2y.

12х=20, х=1.      

У=(20 - 1):2=;

 1 людина - 1;   3 люд. – 20;   4 люд. - ;    5 люд.- .

 

Задача 5.  Язиката Хвеська протягом мі­сяця (31 день) щодня розпо­відає в сільському клубі анек­доти про політику. Через утому кожного наступного дня кіль­кість анекдотів на 2 менше, ніж   попереднього. Скільки анекдотів почули від Хвеськи односельці, якщо першого дня  вона розказала їх рівно 100? (задача гумористичного змісту )

 

Розв’язання

а₁= 100 анекд, а d= - 2 анекд. Знайти S₃₁.

S₃₁==*31= 70*31= 2170 анекдотів

Відповідь: 2170 анекдотів

 

Задача 6. Птахи

Зграя птахів летіла на південь. За перший день ця зграя птахів пролетіла 201 км, а за другий день на 2 км більше, ніж  за попередній. За скільки днів перелітні птахи долетять до місця зимівлі, якщо перелітний шлях рівний 4641 км?

 

Розв'язання

Перелітний шлях зграї птахів утворює арифметичну прогресію, в якій а₁= 201 км, S_n = 4641 км, d=2 км. S₆ ==*n = 4641;   200*n+n²=4641;   n² + 200*n – 4641 = 0; n = 21 день

Відповідь: 21 день

 

Задача 7. Криниця

Людям, які копають криницю, обіцяно за перший метр заплатити 300 грн., а за кожний наступний на 20 грн. більше, ніж за попередній метр. Скільки вони одержать за копання 12 метрової криниці? 

Розв'язання

S₁₂ = (2а₁ + (12-1)*d):2*12=( 600+11*20):2*12= 140*12= 5280 грн.

Відповідь: 5280 грн

 

Задача 8. Фізика №17,34

   При вільному падінні тіло проходить за першу секунду 4,9 м, а за кожну наступну на 9,8 м більше. Знайти глибину шахти, якщо вільно падаюче тіло, досягло її дна через 5 с від початку падіння (фізика). 

 

Розв’язання

 а₁=4,9 м, а d=9,8 м. Знайти S₆.  S₆ = (2а₁ + (n-1)*d):2*5;

 S₆ =(2* 4,9 + (5-1) *9,8) :2* 5 = 122,5 м

 Відповідь: 122,5 м

 

 

VІ. Підведення підсумків

                    Чеський педагог Ян Амос Коменский говорив:

«Вважай  нещасним  той день або ту годину, в яку ти не засвоїв нічого нового, нічого не додав до свого розвитку».

 

  Я сподіваюсь, що на сьогоднішньому уроці ви знайшли для себе хоч краплинку нового і корисного.

Пропоную на підсумок уроку дати відповіді аб продовжити речення  (рефлексія)

 

1. Що нового ви дізналися на уроці?
2. Чи досягли очікуваних результатів?
3. Що сподобалось на уроці?
4. Над чим ще треба працювати?
5. Що цікаве ви взнали?
6.  На уроці я дізналась...
7.  На уроці я навчився ...
8.  На уроці я зрозуміла...
9.  Найбільший мій успіх це...
10.  Найбільші труднощі я відчув...
11.  Я не вміла, а тепер вмію...

 

VIIІ.  Домашнє завдання

1.№17.22;  17,34

2.Підготуватись до письмової самостійної роботи.  

3. Придумати по 2 задачі практичного змісту на арифметичну прогресію та розв’язати їх.

           

VIІІ.  Літературна сторінка

  

Ода математичній прогресії

 

Будь-яка прогресія

Рухає прогрес.

До мети завітної

Вчений йде й поет.

 

Навіть у свідомості

Світлі лиш думки

 Будуть прогресивніші

За лихі та злі.

 

  А у математиці

 Їх живе аж дві,

  Додавання й множення

  Здійснюють вони.

 

Та виходять числа ті

Зовсім не прості.

От якби грошима,

Всі були б круті!

 

А вона у фізиці                     

В поділі ядра

 Ділить його навпіл,

                                            

 А у біології

Без її умінь

Не було б розмноження:

Вимер цілий світ!

                     

 

Правильний трикутник,

В ньому ще один –

Все це теж прогресії

Чудодійний вплив. 

                             

                  

Мучився б із віршами

Кожен в нас поет,

Якби не прогресія

Ямб знайшла й хорей.

 

Тож вивчаймо й знаймо            

Цей закон усі,

Неодмінно будемо                

Мудрими тоді!

Потім їх на два.