Арифметична та геометрична прогресії

Арифметична та геометрична прогресії9 клас

План. Означення арифметичної прогресії. Формула n-го члена арифметичної прогресії. Приклади. Означення геометричної прогресії. Формула n-го члена геометричної прогресії. Приклади. Завдання.

Означення арифметичної прогресії.

Приклади

Формула n-го члена арифметичної прогресії.

Сума арифметичної прогресії обчислюється за формулами:𝒔𝒏=𝒂𝟏+𝒂𝒏𝟐 ∙𝒏 𝒔𝒏=𝟐𝒂𝟏+𝒅(𝒏−𝟏)𝟐 ∙𝒏 

Завдання 1. Знайти суму перших дев’яти членiв арифметичної прогресії (an): 3; 7; 11;…Розв’язання. Маємо: a1=3, d = a2−a1= 7−3 = 4, n = 9. Підставимо у формулу. Вiдповiдь: 171.𝒔𝒏=𝟐𝒂𝟏+𝒅(𝒏−𝟏)𝟐 ∙𝒏 𝒔𝒏=𝒂𝟏+𝒂𝒏𝟐 ∙𝒏 

Завдання 2 Знайти суму непарних натуральних чисел, що не перевищують 71. Знайдемо, який порядковий номер має 71. an = 1+(n−1)⋅2 71 = 2n−1 n = 36. Вiдповiдь: 1296. Розв'язування. Маємо арифметичну прогресію 1; 3; 5; …71 , в якiй a1 = 1, d = 2, 𝒂𝒏=𝟕𝟏  𝒔𝒏=𝟐𝒂𝟏+𝒅(𝒏−𝟏)𝟐 ∙𝒏 𝒔𝒏=𝒂𝟏+𝒂𝒏𝟐 ∙𝒏 

Завдання 3 Пан Іван отримав спадщину. Перший місяць він витратив 1000$, а кожен наступний місяць він витрачав на 500$більше, ніж в попередній. Який розмір спадщини, якщо грошей вистачило на рік?Вiдповiдь: 45000$. Розв'язування. Маємо арифметичну прогресію 𝒂𝟏=1000, d=500, n=12, 𝑺𝟏𝟐-? 𝒔𝒏=𝒂𝟏+𝒂𝒏𝟐 ∙𝒏 𝒂𝟏𝟐 = 1000 + 500(12-1) = 6500 

Формули суми перших n членів арифметичної прогресії Формули суми перших n членів арифметичної прогресії𝑆𝑛 = 𝑎1+𝑎𝑛2∙𝑛  𝑆𝑛 = 2𝑎1+𝑑(𝑛−1)2∙𝑛  Приклад. Знайти суму перших дев'яти членів арифметичної прогресії 𝑎𝑛: 3; 7; 11; …Маємо: а1= 3, d = a2 – a1 = 7 – 3 = 4. Знайдемо а9: а9 = 3 + 8 ∙ 4 = 35 За формулою (1) знаходимо:𝑆9 = 3+352∙9=171  (1) (2)

Приклад 1 Знайти дев’ятий член арифметичної прогресії (аn): 5; 4, 2; 3, 4; …Розв’язання. Маємо: а1= 5. Знайдемо різницю прогресії: d = 4,2 – 5 = -0,8. Тоді а9= а1 + 8d = 5 + 8 ∙ (-0,8) = -1,4 Приклади розв'язування задач. Приклад 2 Знайти перший член арифметичної прогресії (аn), в якій d = -2, а8= 93 Розв’язання. Використавши формулу n-го члена арифметичної прогресії для n = 8, дістанемо: 93 = а1 + 7∙ (-2). Звідси а1= 93 + 14 = 107. 

Геометричною прогресією називається послідовність відмінних від нуля чисел, кожний член якої, починаючи з другого, дорівнює попередньому члену, помноженому на одне й те ж число: Це число називають знаменникомгеометричної прогресії:

Формула n-го члена геометричної прогресії.

№1 Укажіть серед наведених послідовностей геометричну прогресію. А) 4; 8; 12; 16; Б) 10; 20; 30; 40; В) 5; 6; 8; 11; Г) 7; 14; 28; 56.

№ 2 Укажіть серед наведених послідовностей геометричну прогресію. А) 5, 10, 20, 50…Б) 3, 9, 27, 30…В) 2, 8, 32, 128…Г) 2, 8, 12, 16…

№ 4 Знайдіть знаменникгеометричної прогресії.а) 11, 33, 99, 297….б) 1, 5, 25, 125….в) 200, 100, 50, 25…А) 3 Б) 5 

Приклади

{5 C22544 A-7 EE6-4342-B048-85 BDC9 FD1 C3 A}Арифметична прогресія. Геометрична прогресія. Арифметичною прогресією називається послідовність, кожний член якої, починаючи із другого, дорівнює попередньому члену, до якого додається одне й те ж саме число: Це число називається різницею арифметичної прогресії: Будь-який член арифметичної прогресії, починаючи із другого, є середнім арифметичним двох сусідніх з ним членів. Геометричною прогресією називається послідовність відмінних від нуля чисел, кожний член якої, починаючи з другого, дорівнює попередньому члену, помноженому на одне й те ж число: Це число називають знаменникомгеометричної прогресії: Квадрат будь-якого члена геометричної прогресії, починаючи із другого, дорівнює добутку двох сусідніх з ним членів

Знайти знаменник геометричної прогресії, якщо .

Запишіть перші чотири члена геометричної прогресії , у якій .

Знайдіть знаменник та четвертий член геометричної прогресії 2; – 6; 18; … .

Знайдіть дев'ятий член геометричної прогресії , перший член якої ,а знаменник .

Послідовність – геометрична прогресія. Знайдіть , якщо .

Знайдіть шостий член геометричної прогресії – 32; 16; – 8; … .

Знайдіть знаменник геометричної прогресії , у якій .

1) Яка з наведених послідовностей є геометричною прогресією: А) 2; 5; 8; 11; Б) 2; 6; 18; 36; В) 5; 10; 20; 40; Г) 2; 4; 12; 48. - геометрична прогресія, . Знайти . 3) Знайдіть , якщо . Знайти , якщо .

1) Яка з наведених послідовностей є геометричною прогресією: А) 2; 5; 8; 11; Б) 2; 6; 18; 36; В) 5; 10; 20; 40; Г) 2; 4; 12; 48. - геометрична прогресія, . Знайти . 3) Знайдіть , якщо . Знайти , якщо . 𝑏32=𝑏4⋅𝑏2=1             𝑏3=1=1 𝑞=𝑏3𝑏2=10.1=101=10 

Завдання. Знайти невідомі елементи в даній прогресії:

Тестові завдання

Закінчи речення

Домашнє завдання. Дякую за увагу!Опрацювати § 16. Виконати №16.4; № 16.14. Опрацювати §18.№ 18.3; № 18.24.