Декартові координати у просторі

Повторення матеріалу за курс 6 класу. Точка А має координати -3 і 4. Число -3 називають абсцисою точки А, число 4 – ординатою точки А. Записуючи координати точки, абсцису завжди пишуть на першому місці, а ординату - на другому. Аналогічно координати точок В(3; 1) і С(-2; -3). Якщо точка лежить на осі абсцис, то її ордината дорівнює нулю; якщо точка лежить на осі ординат, то її абсциса дорівнює нулю.

Повторення матеріалу за курс 6 класу. Осі координат розбивають площину на чотири частини, які називають координатними чвертями, або координатними кутами. Нумерацію чвертей і знаки координат у чвертях показано на малюнку.

Повторення матеріалу за курс 6 класу. Задача 1. Позначити точки за відповідними координатами на координатній площині, з’єднати ці точки послідовно відрізками: ПЕРЕВІРКА:

ТЕМА. Декартові координати у просторіСистему координат можна ввести й у просторі. Прямокутною (декартовою) системою координат у просторі називають три попарно перпендикулярні прямі зі спільним початком відліку. Точку, у якій перетинаються три координатні прямі, позначають буквою О. Її називають початком координат. Координатні прямі позначають буквами х, у, z, їх відповідно називають віссю абсцис, віссю ординат і віссю аплікат. Початок координат розбиває кожну з осей на дві півосі – додатну (яка містить стрілку напряму) й від’ємну. Площини, які проходять відповідно через осі координат х і у, у і z, х і z, називають координатними площинами ху, уz, хz або x. Oy, x. Oz, y. Oz.

ТЕМА. Декартові координати у просторіЗВЕРНІТЬ УВАГУ: Для наочності зображень фігур у просторовій системі координат її будують у такий спосіб:1) осі Оу і Оz розміщують відповідно горизонтально й вертикально, а вісь Ох – під однаковими кутами до кожної з них;2) додатний напрям на осях указують так, щоб перехід Ох-Оу-Оz здійснювався проти годинникової стрілки;3) одиничні відрізки на осях Оу і Оz задають однакової довжини, а на осі Ох – удвічі коротший.

ТЕМА. Декартові координати у просторіКожній точці у просторі можна поставити у відповідність трійку чисел, взятих у певному порядку, і навпаки, кожній трійці чисел відповідає єдина точка простору. Таку впорядковану трійку чисел називають координатами точки в даній системі координат. М(х; у; z), х – абсциса, у – ордината, z – апліката.

ТЕМА. Декартові координати у просторіПриклад 1. Знайти координати точки А на мал.1. Проводимо з точки А до координатних площин перпендикуляри (проводимо відрізки, паралельні осям). Довжини цих перпендикулярів, узяті з відповідними знаками, будуть координатами точки А.2. Щоб знайти довжини відрізків, проводимо з їх основ перпендикуляри до осей координат (проводимо відрізки, паралельні осям)3. Визначимо координати точки А. Для цього знайдемо відстані від початку координат О до точок Ах, Ау, Аz. Одержуємо: ОАх=6, ОАу=5, ОАz=4. Тоді точка А має координати А(6; 5; 4)

ТЕМА. Декартові координати у просторіЗВЕРНІТЬ УВАГУ: Для визначення координат точки в даній прямокутній системі координат у просторі достатньо побудувати прямокутний паралелепіпед з вершинами: у даній точці, у її проекціях на координатні площини, у проекціях цих проекцій на осі координат і в початку координат (див. мал)

ТЕМА. Декартові координати у просторіПриклад 2. У прямокутній декартовій системі координат побудуйте точку В(6; 5; -4) 1. На осях Ох, Оу, Оz позначимо числа 6, 5 і -4, що відповідають координатам заданої точки В. Одержали точки Вх, Ву, Вz. (див мал)2. На відрізках ОВх=6, ОВу=5, ОВz=4 як на ребрах побудуємо прямокутний паралелепіпед. Його вершина В – шукана точка.

ТЕМА. Декартові координати у просторіПриклад 3. У прямокутній декартовій системі координат побудуйте точку А(2; 3; 5) 1. На осях Ох, Оу, Оz позначимо числа 2, 3 і 5, що відповідають координатам заданої точки А. Одержали точки Ах, Ау, Аz. (див мал)2. У площині ху будуємо паралелограм, одержуємо точку А13. З точки А1 встановлюємо перпендикуляр А1 А=ОАz. Точка А – шукана. (тобто побудову можна спростити)

ТЕМА. Декартові координати у просторіПриклад 4. 1. Точки площини ху мають координату z, яка дорівнює нулю. Тому точки В і Е лежать у площині ху.2. Точки площини уz мають координату х, яка дорівнює нулю. Тому точки С і Е лежать у площині уz.3. Точка на осі Оz має дві координати (х і у), які дорівнюють нулю. Отже, точка С лежить на осі Оz.4. Точка на осі Оу має дві координати (х і z), які дорівнюють нулю. Тому точка Е лежить на осі Оу. Точка F належить площині хz, оскільки у неї ординати дорівнює нулю4

ТЕМА. Декартові координати у просторіВідстань між двома точками простору. Координати середини відрізка

ТЕМА. Декартові координати у просторіПриклад 5. Знайти довжину відрізка СВ та координати його середини якщо С(3; 4; -5) і В(5; -4; 3). Нехай М(х; у; z) – середина відрізка СВ, тодіОтже, середина відрізка СВ має координати М(4; 0; -1).