Презентація "Просторові фігури. Початкові відомості про многогранники.Зображення фігур в стереометрії Задачі на побудову перерізів "

Просторові фігури. Початкові відомості про многогранники. Зображення фігур в стереометріїЗадачі на побудову перерізів 10 кл. Алтинівський ліцей Кролевецької міської ради, Сумської областівчитель математики Грамм Елеонора Степанівна 2020-2021 н.р.

Задача 1. Точки М і К належать ребрам СС1 та DD1, куба ABCDA1 B1 C1 D1 відповідно. 1) Побудуйте пряму перетину площин (CC1d1) та (AMK).2) Побудуйте точку перетину прямої КМ з площиною (АВС). МКPСпочатку потрібно побачити положення площини (АМК) в кубі. 2) т. А∈(АМК) та т. К∈(АМК), проведемо пряму АК∈(АМК)3. Протилежні грані куба попарно паралельні, отже через т. М, яка належить грані (ВСС1)║(ADD1) проведемо пряму, яка паралельна прямій КА та перетне ребро ВВ1 ∈ (ВСС1) в точці Р.4. т. А ∈(АВВ1) і т. Р ∈ (АВВ1) , проводимо пряму АР. АКМР – шукана площина, (АКМР)∩(CC1 D1) по прямій МК. Задача 1(2) Оскільки МК ∈ (CC1 D1) і CD ∈ (CC1 D1), продовжимо прямі МК та CD до їх перетину. МК ∩CD =т. Х. т. Х ∈ CD, а пряма CD ∈(ABCD). Отже, т. Х ∈(ABCD). ХОтже, 1) т. М∈(АМК) та т. К∈(АМК) , проведемо пряму МК∈(АМК);

Задача 2. РХМт. А∈(АА1 В1), т. В1 ∈ (АА1 В1), пряма АВ1⊂ (АА1 В1).. АВ1 - слід шуканого перерізу.2. т. В1 ∈ (ВВ1 С1), т. Р ∈ (ВВ1 С1), пряма В1 Р ⊂(ВВ1 С1),В1 Р – слід шуканого перерізу. ВС ⊂ (ВВ1 С1), В1 Р∩ ВС = т. Х-допоміжна точка.3.т. Х ∈ ВС, ВС ⊂(АВС), т. А ∈ (АВС), пряма АХ, АХ∩DС=т. М.4. т. Р ∈CC1 , CC1 ⊂(DD1 С1), DC ⊂(DD1 С1), т. М ∈DC, пряма РМ ⊂(DD1 С1). РМ-слід шуканого перерізу.5.т. А∈(АВС), т. М∈(АВС), АМ⊂(АВС). АМ – слід шуканого перерізу.6. Площина АВ1 РМ – шукана. Побудувати переріз куба ABCDA1 B1 C1 D1, який проходить через вершини куба А та В1 та т. Р∈СС1.

Задача 3. Побудувати переріз куба ABCDA1 B1 C1 D1, який проходить через т. К∈A1 D1,т. Р∈AD, та вершину С1. КМХР5. т. Р∈AD, AD⊂(ABC), т. М∈DC, DC⊂(ABC), PM⊂(ABC), РМ – слід шуканого перерізу. 1. т. К∈A1 D1, A1 D1⊂(AA1 D1), т. Р∈AD, AD ⊂(AA1 D1), КР⊂(AA1 D1), KP-слід шуканого перерізу.2. т. К∈A1 D1, A1 D1⊂(A1 B1 C1), т. C1∈(A1 B1 C1), KC1⊂(A1 B1 C1), КС1 – слід шуканого перерізу.3. DD1⊂(AA1 D1), КР⊂(AA1 D1), продовжимо КР та DD1 до їхнього перетину в (AA1 D1). КР∩DD1=т. Х – допоміжна точка.4. т. Х∈DD1, DD1⊂(DD1 C1), C1∈(DD1 C1), отже ХС1⊂(DD1 C1), DC⊂(DD1 C1), тому ХС1∩DC = т. М. С1 М – слід шуканого перерізу.6. Отже, переріз РКС1 М – шуканий.

ХМКРЗадача 4. Побудувати переріз куба ABCDA1 B1 C1 D1, який проходить через вершину А, т. М ∈A1 D1, т. К ∈ СD.1.т. А – вершина куба, т. А∈(АВС), т. К∈DC, DC⊂(ABC), тому АК⊂(АВС), АК – слід перерізу.2.т. А – вершина куба, т. А∈(АA1 D1), т. M∈A1 D1, A1 D1⊂ (АA1 D1), тому АМ⊂(АA1 D1), АМ – слід перерізу3. АМ⊂(АA1 D1),DD1⊂(AA1 D1), AM∩DD1=Х – допоміжна точка, яка належить DD1, DD1⊂(DD1 C1),DC⊂(DD1 C1 ), т. К∈DC, сполучимо т. К та т. Х, КХ∩D1 C1=т. Р, D1 C1⊂(DD1 C1), РК – слід шуканого перерізу.4.т. М∈A1 D1, A1 D1⊂(A1 B1 C1), т. Р∈D1 C1, D1 C1⊂(A1 B1 C1), PM⊂(A1 B1 C1), РМ – слід шуканого перерізу.5. Отже, АМРК – шуканий переріз.

Задача 5. Точки E, K, F Є СЕРЕДИНАМИ РЕБЕР АВ, AD, СС1 куба ABCDA1 B1 C1 D1 відповідно. СКІЛЬКИ РЕБЕР КУБА ПЕРЕТИНАЄ ПЛОЩИНА (EFK)?ЕКFУGMX1. т. Е∈АВ, AB⊂(ABC) т. К∈AD, AD⊂(ABC),отже ЕК⊂(АВС), ЕК- слід шуканого перерізу. Продовжимо ЕК до перетину з продовженням ВC та DС, отримаємо відповідно допоміжні точки Y та X2. т. Y∈ВС, ВС⊂(ВВ1 С1), т. F∈CC1, CC1⊂(BB1 C1), отже YF∩BB1=т. М. MF- слід шуканого перерізу.3. т. Е∈АВ, АВ⊂(АА1 В1),т. М∈ВВ1, ВВ1⊂(АА1 В1), отже МЕ⊂(АА1 В1), МЕ- слід шуканого перерізу.5. т. К∈AD, AD⊂(AA1 D1), т. G∈DD1, DD1⊂(AA1 D1), отже КG⊂(AA1 D1). KG- слід шуканого перерізу.4. т. Х∈DC, DC⊂(DD1 C1), т. F∈CC1, CC1⊂(DD1 C1),отже XF∩DD1 = т. G, FG – слід шуканого перерізу.6. Переріз EMFGK – шуканий, (EFK) перетинає 5 ребер куба.

Задача 6. LNXFKY Побудувати переріз куба ABCDA1 B1 C1 D1, який проходить через вершину С,та т. N∈В1 С1, т. L∈AA1.т. N∈В1 С1, В1 С1⊂(ВВ1 С1), т. С- вершина куба, т. С∈(ВВ1 С1), отже СN⊂(BB1 C1), CN –слід шуканого перерізу. Продовжимо CN та ВВ1 до перетину, CN∩BB1 = т. Х – допоміжна точка.3. т. Х∈ВВ1, ВВ1⊂(АА1 В1), т. L∈AA1, AA1⊂(AA1 B1), отже ХL⊂(АА1 В1), XL∩A1 B1 =т. F ∈A1 B1, т. L∈АА1, тому FL- слід шуканого перерізу.4. т. F∈ A1 B1, A1 B1⊂(A1 B1 C1), т. N∈B1 C1, B1 C1⊂(A1 B1 C1),отже FN⊂(A1 B1 C1), FN – слід шуканого перерізу. 5. Продовжимо FL ∈(АА1 В1)та АВ∈(АА1 В1), FL∩АВ = т. Y – допоміжна точка. 6. т. Y ∈ AB, AB ⊂(ABC), т. С∈(АВС), отже YC ⊂(ABC). YC ∩AD =т. К, КС ∈ (АВС). КС – слід шуканого перерізу.  7.т. К ∈AD, AD ⊂(AA1 D1), т. L ∈AA1, AA1 ⊂(AA1 D1), KL ⊂(AA1 D1), отже KL – слід шуканого перерізу. Переріз LFNCK – шуканий.

Задача 7. NMXPПобудувати переріз куба ABCDA1 B1 C1 D1, який проходить через вершину А1, т. N ∈B1 C1,т. M ∈ DD1.т. А1 ∈(А1 В1 С1), т. N ∈В1 С1, В1 С1 ⊂(А1 В1 С1), отже А1 N ⊂ (А1 В1 С1), А1 N – слід шуканого перерізу.3. D1 C1 ⊂ (А1 В1 С1). Продовжимо А1 N до перетину з D1 C1, D1 C1 ∩ А1 N= т. Х – допоміжна точка.4.т. Х ∈ D1 C1, D1 C1⸦(DD1 C1), т. М ∈DD1, DD1 ⸦ (DD1 C1). Проведемо пряму МХ, яка МХ ∈ (DD1 C1) і перетинає СС1 в т. Р. МР – слід шуканого перерізу. 2. т. А1 ∈(АА1 D1), т. M ∈DD1, DD1 ⊂(АA1 D1), отже А1 M⊂ (АA1 D1), А1 M – слід шуканого перерізу. 5.т. N ∈В1 С1, В1 С1 ⊂(ВВ1 С1), т. Р ∈СС1, СС1 ⊂(ВВ1 С1), отже NP ⊂(ВВ1 С1), NP – слід шуканого перерізу. 6. Переріз А1 NPM – шуканий. Побудова перерізу

Задача 8. MNXYKPПобудувати переріз куба ABCDA1 B1 C1 D1, який проходить через вершину В1, т. N ∈СC1, т. M ∈ АА1. Побудова перерізу1. т. В1∈ ВВ1, ВВ1⊂(АА1 В1), т. M ∈ АА1, АА1 ⊂(АА1 В1), отже В1 M ⊂(АА1 В1), В1 M – слід шуканого перерізу. 3. т. В1∈ ВВ1, ВВ1⊂(ВВ1 С1), т. N ∈СC1, СС1⊂(ВВ1 С1), отже В1 N ⊂(ВВ1 С1), В1 N - слід шуканого перерізу. 2. Продовжимо В1 М, В1 M ⊂(АА1 В1) до перетину з продовженням АВ, бо АВ ⊂(АА1 В1). Маємо: В1 М ∩ АВ= т. Х - допоміжна точка.4. Продовжимо В1 N, В1 N ⊂(ВВ1 С1) до перетину з продовженням ВС, бо ВС ⊂(ВВ1 С1). Маємо: В1 N ∩ ВС = т. Y- допоміжна точка5. т. Х ∈ АВ, АВ ⊂(АВС), т. Y ∈ BC, BC ⊂(АВС), отже XY ⊂(АВС). AD ⊂(АВС), XY ∩ AD= т. К, т. К ∈ AD,DC ⊂(АВС), XY ∩DC =т. Р, т. Р∈DC. КР – слід шуканого перерізу.6. т. К ∈ AD, AD ⊂(АA1 D1), т. M ∈ АА1, АА1 ⊂(АA1 D1), отже КМ ⊂(АA1 D1), тому КМ – слід шуканого перерізу.7. т. Р∈DC, DC ⊂(DD1 C1), т. N ∈СC1, CC1 ⊂(DD1 C1), отже PN ⊂(DD1 C1), PN – слід шуканого перерізу. 8. Переріз MB1 NPK – шуканий.

Задача 9. MNKРGXYПобудувати переріз куба ABCDA1 B1 C1 D1, який проходить через т. N ∈BB1 , т. G ∈СC1, т. M ∈ АА1. Побудова перерізут. M ∈AA1, AA1⸦(AA1 B1), т.. N ∈BB1, BB1⸦(AA1 B1), отже MN⸦(AA1 B1). MN – слід шуканого перерізу. Продовжимо NM до перетину з прямою ВA, яка належить (АА1 В1). ВА ∩ NM = т.. X –допоміжна точка.2. т.. N ∈BB1, ВВ1⸦(BB1 С1), т. G∈CC1, CC1 ⸦(BB1 С1), отже NG ⸦(BB1 С1). NG- слід шуканого перерізу. Продовжимо NG до перетину з прямою ВС, яка належить (ВВ1 С1). ВС∩ NG= т. Y – допоміжна точка.3. т.. X ∈АВ, АВ ⸦(АВС), т. Y∈ВС, ВС⸦(АВС), отже XY ⸦(АВС). XY ∩AD= т. K, AD ⸦(АВС), XY ∩DC=т. P , DC ⸦(АВС), отже. KP ⸦(АВС), KP - слід шуканого перерізу.4. т. M ∈AA1, AA1 ⸦(АA1 D1), т. К ∈AD, AD ⸦(АA1 D1), отже МК⸦(АA1 D1),МК – слід шуканого перерізу. 5. т. Р ∈DC, DC ⸦(DD1 C1), т. G∈CC1, CC1 ⸦(DD1 C1), отже PG ⸦(DD1 C1),PG – слід шуканого перерізу. 6. Переріз MNGPK – шуканий.

Задача 11. MNKПобудувати переріз куба ABCDA1 B1 C1 D1, який проходить через т. N ∈A1 B1, т. K∈СC1, т. M ∈ АА1. Побудова перерізу1. т. M ∈AA1, AA1⸦(AA1 B1), т.. N ∈А1 B1, А1 B1⸦(AA1 B1), отже MN⸦(AA1 B1). MN – слід шуканого перерізу. Продовжимо NM до перетину з прямою ВA, яка належить (АА1 В1). ВА ∩ NM = т.. X –допоміжна точка.2. Продовжимо NM до перетину з прямою ВB1, яка належить (АА1 В1). ВB1 ∩ NM = т.. Y –допоміжна точка. ХY3. Оскільки т. Y ∈ продовженню ребра ВВ1, а ВB1 ⸦(BB1 С1) та т. K∈CC1, CC1 ⸦(BB1 С1), отже YK⸦(BB1 С1). Так як В1 С1 ⸦(BB1 С1), то YK ∩ В1 С1= т. Р. РК – слід шуканого перерізу. Р4. YK⸦(BB1 С1). Продовжимо YKдо перетину з прямою ВС, яка належить (ВВ1 С1). ВС∩ YK= т. Z – допоміжна точка. Z5. т.. N ∈А1 B1, А1 B1⸦(A1 B1 С1), т. Р ∈B1 С1, B1 С1 ⸦(A1 B1 С1), отже NP ⸦(A1 B1 С1), NP – слід шуканого перерізу. 6. Х ∈ продовженню АB, Y ∈ продовженню BС, АВ та ВС ⸦(ABС), отже XY ⸦(ABС). XY ∩AD = т. Q, XY ∩DC = т. F, QF – слід шуканого перерізу. QF7. т. K∈CC1, CC1 ⸦(DD1 С1), F ∈DC, DD1 ⸦(DD1 С1), отже KF – слід шуканого перерізу. 8. т. M ∈AA1, AA1⸦(AA1 D1), Q ∈AD, AD⸦(AA1 D1), отже MQ – слід шуканого перерізу. 9. Переріз MNPKFQ – шуканий.

Задача 12. Побудувати переріз куба ABCDA1 B1 C1 D1, який проходить через т. N ∈AА1, т. K∈В1 C1, т. M ∈ СС1. Побудова перерізут. K∈В1 C1, В1 C1 ⸦(BB1 С1), т. М∈CC1, CC1 ⸦(BB1 С1), отже КМ ⸦(BB1 С1). КМ – слід шуканого перерізу. Продовжимо КМ до перетину з продовженими ВВ1 та ВС - ребрами куба. КМ ∩ ВВ1=т. Х, КМ ∩ ВС= т. Y, т. X та т. Y – допоміжні точки. КМNYХZ2. т. Х ∈ВВ1, ВВ1⸦(АА1 B1), т. N∈AA1, AA1 ⸦(AA1 B1), отже XN⸦(AA1 B1). XN ∩ A1 B1= т. Р, A1 B1 ⸦(AA1 B1). Тоді NP ⸦(AA1 B1). NP – слід шуканого перерізу. Продовжимо XN до перетину з ВА, ВА ⸦(AA1 B1). XN∩BА= т. Z,т. Z – допоміжна точка. Р3. т. Z∈ВA, BA ⸦(ABC), т. Y ∈ BC, BC ⸦(ABC),отже ZY⸦(ABC). ZY ∩AD= т. T, ZY ∩DC =т. E. ТЕ ⸦(ABC). ТЕ - слід шуканого перерізу. TE4. т. М∈CC1, CC1 ⸦(DD1 С1), т. Е ∈DC, DC ⸦(DD1 С1),отже МЕ ⸦(DD1 С1). МЕ - слід шуканого перерізу.5. т. N∈AA1, AA1 ⸦(AA1 D1), т. T ∈AD, AD ⸦(AA1 D1), отже NT ⸦(AA1 D1). NT - слід шуканого перерізу.7. Переріз NPKMET – шуканий.6. т. Р ∈ A1 B1, A1 B1 ⸦(A1 B1 C1), т. K∈B1 C1, D1 C1 ⸦(A1 B1 C1), отже PK⸦(A1 B1 C1), PK - слід шуканого перерізу

Задача 13. МNKПобудувати переріз куба ABCDA1 B1 C1 D1, який проходить через т. N ∈DC, т. K∈СC1, т. M ∈ А1 В1. Побудова перерізу1. т. N ∈DC, DC ⸦(DD1 С1), т. K∈СC1, CC1 ⸦(DD1 С1), отже KN ⸦(DD1 С1), KN – слід шуканого перерізу. Продовжимо КN до перетину з продовженими D1 C1та D1 D - ребрами куба. КN ∩ D1 C1= т. Х, КN ∩ D1 D= т. Y, де т. X та т. Y – допоміжні точки. XY2. т. X ∈D1 C1, D1 C1⸦(А1 В1 С1),т. М ∈ А1 В1, А1 В1 ⸦(А1 В1 С1), отже ХМ⸦(А1 В1 С1); В1 С1 ⸦(А1 В1 С1), тоді ХМ ∩ В1 С1= т. Р, т. Р ∈ В1 С1, тоді МР ⸦(А1 В1 С1). МР– слід шуканого перерізу. Продовжимо ХМ до перетину з А1 D1, A1 D1 ⸦(А1 В1 С1), XM ∩ A1 D1 = т. Z, т. Z – допоміжна точка. РZ 3. т. Z∈A1 D1, A1 D1⸦(AA1 D1), т. Y ∈DD1, DD1⸦(AA1 D1), отже ZY⸦(AA1 D1). ZY ∩AA1= т. G, ZY ∩AD = т. E, GE⸦(AA1 D1). GЕ - слід шуканого перерізу. GE4. т. Р ∈ В1 С1, В1 С1 ⸦(ВВ1 С1), т. K∈СC1, CC1 ⸦(ВВ1 С1), отже РК ⸦(ВВ1 С1),РК – слід шуканого перерізу.5. т. М∈А1 В1, А1 В1⸦(АА1 В1), т. G∈АА1, АА1⸦(АА1 В1), отже MG ⸦(АА1 В1),MG – слід шуканого перерізу.6. т. E∈AD, AD⸦(ABC), т. N ∈DC, DC⸦(ABC), отже EN⸦(ABC), EN– слід шуканого перерізу. 7. Переріз EGMPKN – шуканий переріз.

Дякую за увагу