Підготувала

 вчитель математики

Бондар Тетяна Михайлівна

 

 

 

Дорогі діти!

Ви продовжуєте вивчати одну з найдавніших і найважливіших наук – математику.

В оволодінні навчальним матеріалом курсу 6 класу вам допоможе цей посібник.

Він складається з 3 блоків:

1. «Дізнайтеся більше» - матеріал, що допоможе тобі поглибити свої математичні знання;
2. «Це цікаво» -  матеріал, який дійсно тебе зацікавить;
3. тренувальні, письмові вправи, ігри та задачі допоможуть тобі добре розібратися з теоретичним блоком;
4. «Перевірте себе» - це завдання для самостійного розв’язування для підсумкового узагальнення вивченого матеріалу.

 

РОЗКЛАДАННЯ ЧИСЕЛ НА ПРОСТІ МНОЖНИКИ. НАЙБІЛЬШИЙ СПІЛЬНИЙ ДІЛЬНИК. НАЙМЕНШЕ СПІЛЬНЕ КРАТНЕ

Кожне складене число можна розкласти на 2 чи більше простих множників.

                15 = 5 • 3;        24 = 2 • 2 • 2 • 3 = 2³ • 3.

Розклад числа на множники, у якому всі множники – прості числа, називається розкладом числа на прості множники.

Щоб розкласти складене число на прості множники, виконуй дії, подібні до прикладу:     

        2100   2

        1050   5

          210   5

           42    2

           21    3

             7    7

             1                             

 

  2100 = 2² • 3 • 5² • 7

Найбільшим спільним дільником кількох натуральних чисел (НСД) називають найбільше натуральне число, на яке ділиться кожне з даних чисел.	НСД (6; 8) = 2; НСД (12; 18) = 6
Щоб знайти НСД кількох чисел достатньо: 1) розкласти дані числа на прості множники; 2) виписати всі спільні прості множники в знайдених розкладах  і обчислити їх добуток.	12 = 2 ∙ 2 ∙ 3 18 = 2 ∙ 3 ∙ 3 НСД (12;18)= 2 ∙ 3 =6
Два натуральних числа, НСД яких дорівнює 1, називають  взаємно простими числами.	НСД (6; 25) = 1

НСД (210; 75) = 3  • 5 = 15

210. 2         75     3               

105. 3         25     5                         

35     5           5     5

7. 7           1

1

210 = 2 • 3  • 5  • 7;        75 = 3  • 5²

Найменшим спільним кратним кількох натуральних чисел (НСК) називають найменше натуральне число, яке ділиться на кожне з даних чисел.	НСК (10,15) = 30 НСК (12; 24) = 24
Щоб знайти НСК двох чисел достатньо: 1) розкласти дані числа на прості множники; 2) доповнити розклад одного з них тими множниками розкладу другого числа, яких не вистачає в розкладі першого; 3) обчислити добуток знайдених множників.	12 = 2 ∙ 2 ∙ 3 18 = 2 ∙ 3 ∙ 3 НСК (12; 18) = 2 ∙ 2 ∙ 3 ∙ 3 = 4 ∙ 9 = 36

НСК (212; 75) = 2 • 3 • 5 • 5 • 7 = 1050

212     2         75     3               

106. 3         25     5                         

35     5           5     5

8. 7           1

1

212 = 2 • 3  • 5  • 7;        75 = 3  • 5²

НСК двох взаємно простих чисел є добуток цих чисел.      

НСК (4; 9) = 36

ДІЗНАЙТЕСЯ БІЛЬШЕ

НСК (a; b) · НСД (a; b) = ab, якщо НСД (a; b) = 1 (a, b — взаємно   прості), то НСК(a; b) = ab.	НСД (12; 13) = 1 (послідовні числа), тому НСК(12; 13) = 12 · 13. НСД (12; 13) · НСД(12; 13) = 12 · 13.
Якщо а ділиться на b,  то НСК(a; b) = а; НСД (a; b) = b.	24 12, тому НСК (24; 12) = 24; НСД (24; 12) = 12.

 

ЦЕ ЦІКАВО!

Алгоритм Евкліда  — ефективний метод обчислення найбільшого спільного дільника (НСД). Названий на честь грецького математика Евкліда, котрий описав його в книгах VII та X Начал.

• У дитячому віці Евклід навчався у популярного і шанованого тоді філософа Платона, який також вчив Аристотеля. Варто сказати, що сам Платон свого часу навчався у Сократа.
• Один з найважливіших наукових праць великого математика — «початку», що містила в собі всі знання про планіметрії, стереометрії і теорії чисел. Збірка книг не втратила свою популярність і в наш час.
• Геометрія, що вивчається в рамках шкільної програми, і в наш час носить ім’я Евкліда.

 

 

Алгоритм Евкліда

Щоб знайти НСД двох натуральних чисел, треба спочатку більше число розділити на менше, потім менше число ділимо на остачу від ділення, а потім остачу від першого ділення ділимо на остачу від ділення другого і т. д. Остання в цьому процесі остача, яка не дорівнює нулю, і буде НСД даних чисел.

Приклад: Знайти НСД (270; 186). Поділимо 270 на 186 з остачею:

270 : 186 = 1 (ост. 84).

Потім поділимо дільник на остачу і т.д.:

186 : 84 = 2 (ост. 18),

84 : 18 = 4 (ост. 12),

18 : 12 = 1 (ост. 6),

12 : 6 = 2 (ост. 0).

Найбільшим спільним дільником чисел 270 і 186 є остання, відмінна від нуля остача, тобто число 6.

Приклад: Знайти НСД (234; 180).

1) 234 : 180 = 1 (ост. 54),

2) 180 : 54 = 3 (ост. 18),

3) 54 : 18 = 3 (ост. 0).

Значить, НСД (234; 180) = 18.

 

 

 

Тренувальні вправи

1. Поставте позначку « +» або «–» у відповідній клітинці таблиці:

 

	Твердження	« +» або «–»
1	Число 14 має дільники 1 і 14, отже воно просте
2	Число 6 має дільники 1, 2, 3, 6, отже воно складене
3	Числа 10 і 30 мають спільний дільник 5, отже, НСД(10;30) = 5
4	Найбільшим спільним дільником чисел 12 і 13 є число 1, отже, числа 12 і 13 – взаємно прості
5	Число 5 – дільник числа 35, отже, НСК(5;35)=5
6	Найменше натуральне число, яке ділиться на 10 і на 15, дорівнює 30, отже, НСК(10;15)=30

2. Які з чисел взаємно прості?

а ) 16 і 10;       б ) 28 і 23;       с ) 12 і 24;     д ) 21  і 25.

3. Яке з тверджень правильне?

а) число 21 кратне числу 11;          

б) 3- дільник числа 53;           

в) НСК(5;6)=60;           

г) НСД(30;45)=15;

д) число 4 кратне числу 11;         

є) 7- дільник числа 49;         

ж) НСК(8;12)=60;          

з) НСД(20;45)=15.

 

Письмові вправи

1. Розкладіть на прості множники числа 1260; 820.
2. Знайдіть НСД чисел 55 і 132.
3. Знайдіть НСК чисел 56 і 35.
4. Знайдіть НСК чисел 12, 15 і 18.
5. Знайдіть НСД чисел 28, 84 і 98.

Установіть відповідність між парою чисел та їх НСД.     А Б В Г Д 1           2           3           4           1) 15 і 16        А.   1        А Б В Г Д 1           2           3           4           2) 25 і 75        Б.   25     3) 12 і 18        В.   8   4) 16 і 48        Г.   16                     Д.   6

7. Установіть відповідність між парою чисел та їх НСК.     А Б В Г Д 1           2           3           4           1) 16 і 24        А.   25      А Б В Г Д 1           2           3           4             2) 15 і 10        Б.   48     3) 5 і 25        В.   5   4) 12 і 48        Г.   30                     Д.   36

 

 

ЗАДАЧІ

1. Між учнями 6 класу поділили порівну 155 зошитів і 62 ручки. Скільки в цьому класі учнів?
2. На автомобілі навантажили 96 контейнерів з картоплею та 64 контейнери з капустою. Скільки було автомобілів, якщо відомо, що їх не менше ніж 20 і на всіх автомобілях була однакова кількість контейнерів з картоплею та однакова кількість контейнерів з капустою?
3. Між шкільними бібліотеками поділили                      92 тлумачних і 138 орфографічних словників української мови. Скільки було шкіл, якщо відомо, що їх не менше ніж 25 і всі школи отримали однакові комплекти зі словників двох видів?
4. Для новорічних подарунків придбали 96 шоколадок,     72 апельсини та 84 банани. Яку найбільшу кількість однакових подарунків можна з них 5. Найбільший спільний дільник 41 скласти, якщо треба використати всі продукти? Скільки окремо шоколадок, апельсинів і бананів буде в кожному подарунку?

 

ПЕРЕВІРТЕ СЕБЕ!

• https://learningapps.org/6870681
• https://learningapps.org/7949719
• https://learningapps.org/9182030