Довідковий матеріал до теми "Подібність трикутників"

 ГЕОМЕТРІЯ, 8             ТЕМА 2.  П О Д І Б Н І С Т Ь  Т Р И К У Т Н И К І В

Означення. Відрізки називають пропорційними, якщо пропорційні їх довжини.

Відрізки a і b пропорційні відрізкам c і d, якщо правильна пропорція 

                                                                    Узагальнена теорема Фалеса

Паралельні прямі, що  перетинають  сторони  кута, відтинають на його сторонах пропорційні відрізки.

Якщо BB₁ || CC₁ і кут CAC₁ (BAC і CAC, а B₁AC₁ і C₁AC₁ ), тоді    або 

Наслідок 1.  .                                                       Наслідок 2. 

Подібні трикутники

Означення. Два трикутники називають подібними, якщо їх кути відповідно рівні і сторони одного трикутника пропорційні відповідним сторонам другого трикутника.

                А₁ = A, B₁ = B, C₁ = С,

Лема. Пряма, паралельна стороні трикутника, відтинає від нього трикутник, подібний даному.

566. Знайдіть відстань між двома садибами (позначимо їх А і В),
які розташовані на протилежних берегах річки (див. рис.),
якщо АМ || BH і CA = 4 м, CM = 5 м, MH = 35 м. 

Ознаки подібності трикутників

За двома сторонами і кутом між ними             За двома кутами                                      За трьома сторонами

             А₁ = A,                       А₁ = A,   B₁ = B                            

Властивість медіан та бісектриси трикутника

Якщо О – точка перетину медіан ABC, то.  Якщо AL – бісектриса ABC, то

Ознаки подібності прямокутних трикутників

                    За двома катетами                               За гострим кутом                                     За гіпотенузою і катетом

Середні пропорційні відрізки у прямокутному трикутнику

Відрізок k називають середнім пропорційним відрізків m і n, якщо k² = m n.

Лема. Висота прямокутного трикутника, проведена з вершини прямого кута, розбиває трикутник
на два подібних прямокутних трикутника, кожний з яких подібний даному трикутнику.

ACH CBH, CH² = AH HB.        ACH ABC, AC² = AB AH.        ABC CBH, BC² = AB BH.

Теорема. У будь-якому трикутнику центр описаного
кола О, точка перетину медіан М (центроїд) і точка перетину висот трикутника H (ортоцентр) лежать
на одній прямій.

Теорему про пряму, названу його ім’ям, Леонард Ейлер сформулював, довів й опублікував у 1765 р.

                                                                                                                       Леонард Ейлер (1707-1783)