Функція. Область визначення, область значень і графік функції.

Функція. Областьвизначення, областьзначень і графік функціїАлгебра, 9 клас

Мета уроку• Зрозуміти означення функції та її ключовихкомпонентів• Навчитися знаходити область визначення таобласть значень функції• Визначати найбільше та найменше значенняфункції на заданому проміжку• Оволодіти навичками побудови та аналізу графіківфункцій

Що таке функція?Функція — це залежність між змінними, де кожномузначенням x відповідає єдине значення y. Приклади функціональних залежностей: Залежність пройденої відстані від часу при сталій швидкостіЗалежність площі квадрата від довжини його сторони (S = a²)Залежність об'єму куба від довжини його ребра (V = a³)

Аргумент і значення функціїАргумент (незалежназмінна): Значення функції(залежна змінна): Приклад: Розглянемо функцію у = 2х + 1 Якщо х = 3, то у = 2 · 3 + 1 = 7х = 3 — аргумент, у = 7 — значення функції• Змінна, значення якої миможемо обиратидовільно• Зазвичай позначаєтьсялітерою х• Змінна, значення якоївизначається значеннямаргументу• Зазвичай позначаєтьсялітерою у або f(x)

Способи задання функції1. Аналітичний спосіб2. Табличний спосіб3. Графічний спосіб. Функція задаєтьсяформулою: Функція задаєтьсятаблицею: Функція задаєтьсяграфіком:

Область визначення функції D(f)Область визначення функції — цемножина всіх значень аргументу (x),при яких функція має зміст, тобто можебути обчислена. Позначається: D(f) або D(y).

Приклади знаходження області визначення1. Лінійна функція: y = 3x - 52. Дробово-раціональна функція: y = 1/(x-2)3. Функція з квадратним коренем: y = √(x+3)

Область значень функції E(f)Область значень функції — це множинавсіх значень, яких може набувати залежназмінна (у) при всіх допустимихзначеннях аргументу з областівизначення. Позначається: E(f) або E(y)E(f) = {yyffxyf. E

Приклади знаходження області значень. Функція y = x²Функція y = k/x (де k ≠ 0)Лінійна функція. Квадрат будь-якогодійсного числа завждиневід'ємний. Значення функції ніколине дорівнює нулю. Функція може прийматибудь-які дійсні значення

Графік функції - означення. Це візуальне представленняфункціональної залежності, якедозволяє наочно побачити їївластивості. Графіком функції називаютьмножину всіх точок координатноїплощини, абсциси якихдорівнюють значеннямаргументу, а ординати —відповідним значенням функції.

Побудова графіка функції12341. Знайти область визначенняфункції (D(f))2. Скласти таблицю значень3. Позначити точки накоординатній площині4. З'єднати точки плавною лінією

Приклад побудови графіка. Функція: у = х² - 2х - 31. Область визначення: D(f) = (-∞; +∞)2. Вершина параболи: (1; -4)3. Перетин з віссю Oy: (0; -3)4. Перетин з віссю Ox: (-1; 0), (3; 0)

Читання графіка функціїЗнаходження значення функції зааргументом: • Провести вертикальну лінію від осіOx до графіка • Провести горизонтальну лінію доосі Oy. Знаходження аргументу за значеннямфункції: • Провести горизонтальну лінію відосі Oy до графіка • Провести вертикальну лінію до осіOx

Найбільше і найменше значення функціїНайбільше значення (ymax): Найменше значення (ymin): Найбільше з усіх значень, якихфункція набуває на певномупроміжку. На графіку відповідаєнайвищій точці. Найменше з усіх значень, якихфункція набуває на певномупроміжку. На графіку відповідаєнайнижчій точці.

Приклад аналізу властивостей функціїЗа графіком визначаємо:• 1. Область визначення: D(f) = [-5; 5]• 2. Область значень: E(f) = [-2; 3]• 3. Найбільше значення:ymax = 3 (при x = 5)• 4. Найменше значення:ymin = -2 (при x = -5)

Інші властивості функціїНулі функції: значення аргументу x, при якихзначення функції у дорівнює нулю (f(x) = 0). Награфіку це точки перетину з віссю абсцис. Проміжки зростання та спадання: проміжки, наяких функція відповідно збільшується абозменшується. Проміжки знакосталості: проміжки, на якихфункція зберігає свій знак (тобто, f(x) > 0 абоf(x) < 0). Ці властивості дозволяють повніше описати поведінку функції та її графік.

Практичне завдання. Для функції у = 4/х виконайте наступні завдання:1. Знайдіть область визначення функції.2. Знайдіть область значень функції.3. Побудуйте графік цієї функції. Час виконання: 15 хвилин

Перевірка знань1. Для функції y = √(x-2) область визначення є:а) (-∞; 2)б) (-∞; 2]в) [2; +∞)г) (2; +∞)2. Яке з тверджень є правильним для функції?а) Кожному значенню у відповідає єдине значення хб) Кожному значенню х відповідає єдине значення ув) Функція завжди зростаєг) Функція завжди спадає

Підсумки уроку. Сьогодні на уроці ми розглянули та засвоїли ключові поняття: Функція – залежність, де кожному значенню аргументу відповідаєєдине значення функції. Аргумент – незалежна змінна (x). Значення функції – залежна змінна (у або f(x)). Область визначення функції D(f) – множина всіх допустимихзначень аргументу. Область значень функції E(f) – множина всіх значень, яких моженабувати функція. Графік функції – візуальне представлення функції на координатнійплощині. Найбільше та найменше значення функції – екстремальні значенняфункції на певному проміжку.