Інтелект-шоу в 8 класі по темі: "Діофантові рівняння"

        Інтелект-шоу в 8 класі по темі:

" Діофантові рівняння"

з переважно середніми та низькими здібностями до вивчення математики був задуманий як урок-експеримент по вивченню деяких сторін загального інтелекту учнів за параметрами:

       І – числові індикатори-бали

ІІ – характеристика процесів розумової діяльності.

Форма проведення уроку-математичне кафе «Зустрічі, зустрічі...».

• з однокласницею, але через складання тотожностей
• з вченими минулого: Ейлером, Діофантом, Піфагором...
• з задачами з наукового багажу цих вчених, але на рівні     можливостей учнів 8 класу
• з незвичними рівняннями
• з квадратами, які звуться магічними
• з трійками, але піфагорійськими.

Додаю сценарій цього уроку, завдання, якого можна ускладнювати в залежності від рівня класу.

    Оформлення кабінету

• кабінет перетворюється у затишне кафе з кавою та печивом; новорічне оформлення;

музика Р. Паулюса.

• столик для жюрі, на якому листки з прізвищами учнів і назвою конкурсів, з вказаним максимальним числовим індикатором.
• на столах учнів листки досліджень інтелекту в яких фіксуються всі етапи розумової діяльності учнів та ще стіл мозкової атаки для бажаючих прийняти участь у “ важких ” конкурсах.

1. Хід уроку

Вступне слово учителя, після чого об’явлюється: конкурс №1 –

“Склади тотожність”

Ті пари, що склали тотожність за визначений час, підходять до столу жюрі і одержують бали.

І – пара по 5 балів

ІІ – пара по 4 бали

ІІІ – пара по 3 бали

IV – пара по 2 бали

Всі інші, які правильно склали тотожність, одержують по 1 балу.

Тим, хто розгубився, консультанти у жюрі допомагають знайти пару.

• Конкурс №2 “ Діофантове рівняння ”

а) Учень одягнутий під Діофанта розповідає його біографію-вірш, з якого учні повинні скласти рівняння і розв’язавши його знаходять скільки років прожив Діофант. Цей вірш був написаний на його могильній плиті:

Подорожній! Поховано тут Діофанта. І числа розкажуть тобі;

Який довгий шлях він пройшов. Шосту частину його становило веселе дитинство. Минула частина дванадцята – й пухом покрилося його підборіддя. Сьому в бездітному шлюбі прожив Діофант. Минуло п’ять літ. Ощасливлений він був народженням пер венця –сина. Якому судилося лише половина життя його батька. І в глибокій журбі старець закінчив свій шлях на землі, ще проживши років 4 з часу, коли сина не стало. Скажи: Віку якого досягши славетний прожив Діофант?

( 1/6х + 1/12х + 1/7х + 5 + 1/2х + 4 = х; х = 84 )

За певний час жюрі оцінює роботу.

Інформація вчителя. Діофант написав велику працю під загальною назвою “ Арифметика ”, що складається з 13 книг. Особливо цікавою була теорія рівнянь з цілими коефіцієнтами, розв’язки яких цілі, або раціональні. Ось діофантове рівняння першого ступеню: ах + by = c { a,b,c }ЄZ.

Розглянемо простеньку задачу, з умови якої можна скласти діофантове рівняння:

Скільки марок вартістю 40 коп. і 25 коп. можно купить на     5 грн., якщо у продавця немає здачі.

Позначимо х – кількість марок номіналом

40 коп.у – кількість марок номіналом 25 коп.

За умовою задачі х > 0, у > 0 I { х, у } Є N.

Рівняння:

40 х + 25 у = 500

8 х + 5 у = 100

у = ( 100 – 8 х ) / 5

Враховуючи допустимі значення х і у можна знайти тільки 2 розв’язки.

( х, у ) / { (5; 2) ; ( 10; 4 ) }

Конкурс №3

Пропонуються задачі на дослідження двох рівнів складності на діофантові рівняння

• а) Якими способами можна заплатити 79 грн., якщо маємо купюри 2 грн. та 5 грн. номіналу.
• б) На складі є цвяхи у ящиках місткістю 16 кг, 17 кг, 40 кг. Чи може комірник видати 100 кг цвяхів не розкриваючи ящиків.

Задачу б) розв’язують за столиком мозкової атаки, є можливість спілкування.

По закінченню певного часу жюрі перевіряє та оцінює роботи.

Вчитель оголошує відкрите засідання

 “піфагорійської школи ”.

За стіл мозкової атаки сідають учні з зірковими п’ятикутниками на одягу , це ознака піфагорійців.

Засідання веде учень

Розглядається Піфагорові рівняння або діофантове рівняння ІІ степеня х² + у² = z² { х, у,z } Є N. (1)

Використовуючи теорему – кожне непарне число є різницею послідовних квадратів, знаходять піфагорійські трійки           ( множину розв’язків рівняння (1)).

1 4 9                    36 49 64 81 100 121 

3 5 7                   11 13 15 17 19 21 23 

В нижній строчці знаходимо “квадратні” числа та знаходимо Піфагорійські трійки ( множину розв’язків ).

( х, у,z ) / { ( 3, 4, 5 ); ( 12, 5, 13 ) ....}

Якщо х непарне, краще знаходити за формулами:

Y = ( x² – 1 ) /2; z = ( х² + 1 ) /2;

Наприклад ( 9, 40, 41).

В загальному випадку складаються таблиці піфагорових трійок; використовуються інші формули:

х² + у² = z²

х² = ( х + у ) ( z – у )

Приклад:

Конкурс №4 “Де риба?”

Два птаха сидять на верхівках дерев висотою 10 м та 15 м., що ростуть по різних берегах річки шириною 25 м.

На якій відстані від берегів  виринала на поверхню риба, якщо птахи одночасно опинилися біля неї?

 Позначимо ДО = х; ОС = у тоді

х = у = 25; х = 25 – у, але АО² = АD² + DО²;

ОВ² = ВС² + ОС²

АО = ОВ   15² + х² = 10² + у²; х = 10, у = 15

Відповідь: ДО = 10 м.; ОС = 15 м.

Жюрі оцінює

Подається печиво, кава

Оголошується математичне меню

Конкурс №5 “ Математичне меню ”

1 страва

суп харчо, який не їв ніхто

Щоб його замовити, треба підрахувати кількість складових частин: 1 морква, 2 цибулини, 3 картоплини...

1+ 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + ... + 50

2 страва “ Салат “Фантазер” – для його замовлення треба обрати на дошці вдалу відповідь на запитання

Відповіді: (1– 2); (2 – 4); (3 – 5); (4 – 3); (5 – 1)

2. Страва – “ коктейль Фантазер ”

Для його замовлення треба виконати математичний танець           

тим хто зробив замовлення – нараховуються бали.

Слово жюрі – оголошуються результати

3. Страва – десерт – “Корона”:

Жюрі оголошують результати конкурсів.

Вручаються сувеніри: сова, як символ мудрості, грамоти, солодкі призи, учні танцюють під музику Вівальді.

Збираються листки досліджень на інтелект для обробки одержаної інформації.

При наявності часу можна ознайомити учнів з деякими цікавими задачами, які вперше ввів

Леонард Ейлер ( 1707 – 1783 ).

Вони пов’язані з магічними та латинськими квадратами, теорією графів.

Інформує учитель

Магічні квадрати – це квадратні таблиці натуральних чисел розміром п х п , в яких певним чином розташовані числа: суми чисел по горизонталі, по вертикалі та по діагоналі рівні. Цікаво те, що магнічного квадрату розміром 2 х 2 не існує, а розміром 3 х 3 існує тільки один:

Конкурс № 1 : 3 магічного квадрату розміром 3 х 3 ( мал. 1) одержати інші відображення від осей симетрії, або поворотом біля центру.

Латинські магічні квадрати характеризуються тим, що числа в квадраті не повторюються. Якщо при наладанні двох латинських квадратів один на одного, всі одержані пари чисел різні, такі латинські квадрати вважають ортогональними.

З ортогональними латинськими квадратами пов’язана задача, яку вперше розв’язав Ейлер:

Серед 25 офіцерів порівну уланів, драгунів, гусарів, кавалеристів та гренадерів, а також порівну генералів, полковників, майорів, капітанів, поручиків причому кожний рід військ представлений офіцерами всіх 5 рангів. Чи можна вистроїти цих офіцерів в квадрат 5 х 5, щоб в кожній колоні і  в кожній шерензі зустрічались офіцери всіх 5 рангів.

На цю задачу краще підготувати кольоровий плакат.

Аналогічна задача для 36 офіцерів не була розв’язана Ейлером, але в 1901 р. було доведено, що ортогональних квадратів розміром 6 х 6 не існує.

Теорія латинських квадратів знайшла застосування не тільки в самій математиці, а і у галузях народного господарства.