"Ірраціональні рівняння"

Ірраціональні рівняння.𝟑х+𝟐=𝟏𝟑 

Ірраціональні рівняння. Рівняння, у яких змінна знаходиться під знаком кореня або в основі степеня з дробовим показником , називаються ірраціональними рівняннями. Рівняння виду 𝒏𝒇(𝒙)=𝟎 називаються найпростішими ірраціональними. a ≥ 0a < 0𝟐𝒏𝒇(𝒙)=𝒂  𝟐𝒏+𝟏𝒇(𝒙)=𝒂  f(x) = 𝒂𝟐𝒏 Коренів немаєf(x) = 𝒂𝟐𝒏+𝟏 

Основні способи розв'язання ірраціональних рівнянь:за допомогою піднесення обох частин рівняння до одного степеня і звільнення від радикалів;за допомогою заміни змінних;за допомогою застосування властивостей функцій;Метод розкладання на множники.Ірраціональні рівняння

Ірраціональні рівняння При розв’язуванні ірраціональних рівнянь, які містять корені парного степеня треба пам’ятати, що значення таких коренів не можуть бути від’ємними.{5 C22544 A-7 EE6-4342-B048-85 BDC9 FD1 C3 A}𝟒𝒙𝟐+𝟐= -4𝒙−𝟑 + 𝟐 − 𝒙 = -1𝒙−𝟐 = 2 - х. Підкореневий вираз в парному степені завжди додатне число. Сума коренів в парному степені завжди додатне число. Значення кореня 2-х повинно бути невід’ємне як і підкореневий виразx Є Øx Є Ø𝑥 −2 ≥02 −𝑥 ≥0 𝑥 ≥2𝑥 ≤2𝑥 −3 ≥02 −𝑥 ≥0 𝑥 ≥3𝑥 ≤2{5 C22544 A-7 EE6-4342-B048-85 BDC9 FD1 C3 A}Підкореневий вираз в парному степені завжди додатне число. Сума коренів в парному степені завжди додатне число. Значення кореня 2-х повинно бути невід’ємне як і підкореневий виразx Є Øx Є Ø

Спосіб 1. Піднесення обох частин рівняння до одного степеняІрраціональні рівняння. Якщо обидві частини рівняння піднести до непарного степеня, то отримаємо рівняння, рівносильне даному. При піднесенні обох частин рівняння до парного степеня отримане рівняння є наслідком даного.

Ірраціональні рівняння𝟕𝒙𝟐−𝟐=𝟕𝒙 (𝟕𝒙𝟐−𝟐)𝟕= (𝟕𝒙)𝟕 𝒙𝟐−𝟐=𝒙 𝒙𝟐−𝒙 −𝟐=𝟎 𝒙𝟏=−𝟏; 𝒙𝟐=𝟐 Приклад Піднесемо обидві частини рівняння до сьомого степеня

Розв’язати рівняння: 𝒙−𝟓𝒙−𝟐+𝟒=𝟎 𝒙−𝟓𝒙−𝟐+𝟒=𝟎 𝒙+𝟒=𝟓𝒙−𝟐 Розв’язування : х2 + 8х + 16 = 25х – 50,х2 – 17х + 66 = 0,х1 = 11,х2 = 6. Відповідь: 6; 11. Піднесемо до другого степеняІрраціональні рівняння. Приклад

Ірраціональні рівняння. ПАМ'ЯТАЄМО: При піднесенні обох частин рівняння до парного степеня можуть з'явитись сторонні корені, які відсіюють перевіркою або при ОДЗ. При піднесенні обох частин рівняння до непарного степеня одержуємо рівняння, рівносильне заданому, тобто сторонні корені не з'являються.

Спосіб 2. Заміна змінноїІрраціональні рівняння𝑥3+8+4𝑥3+8=6 Нехай 𝟒𝒙𝟑+𝟖=𝒕, отже 𝒙𝟑+𝟖=𝒕𝟐, де 𝒕 ≥ 0  Маємо 𝒕𝟐+𝒕−𝟔=𝟎 𝒕𝟏=−𝟑сторонній корінь;       𝒕𝟐=𝟐 Повернемось до заміни𝟒𝒙𝟑+𝟖=𝟐, Піднесемо до четвертого степеня обидві частини рівняння 𝑥3+8=16;   𝑥3=8; 𝑥=2.  

Ірраціональні рівняння. Приклад Укажіть змінну, яку треба замінити:1. 24𝑥+𝑥=32. 72−𝑥+7(2−𝑥)−1=23. 𝑥−1=𝑥−14. х+3−34х+3+2=05. 𝑥2−3𝑥=𝑥2−3𝑥−26. 516𝑥𝑥−1+5𝑥−116𝑥=2,5 

Ірраціональні рівняння. Спосіб 3. Розкладання на множники. Метод розкладання на множники полягає в розкладанні всіх доданків рівняння на множники, прирівнявши їх до нуля. Потім, знайшовши ОДЗ, маємо розв’язати сукупність множників як окремого рівняння.𝒙+𝟔(𝒙𝟐 - 49) = 0 𝒙+𝟔=𝟎   або   𝒙𝟐 - 49 = 0 х1 = -6, х2 = 7, х3 = -7 - сторонній корінь. ОДЗ: х + 6 ≥ 0; х ≥ -6

Ірраціональні рівняння. Спосіб 4. Графічний спосіб. Графічний метод базується на побудові графіків відповідних функцій, які стоять в обох частинах рівняння, та знаходженні їхніх точок перетину, що є відповідно розв’язками даного рівняння. Недоліком даного методу, є те , що для більшості функцій ми не зможемо знайти точного розв’язку. х−2=3х.  

Завдання ЗНО/НМТ з теми

Домашнє завдання. Знайдіть значення виразу: (−𝟑𝟔)−𝟑𝟔𝟕𝟐𝟏𝟔−𝟓(−𝟔)𝟏𝟖  https://naurok.com.ua/test/vlastivosty-korenya-n-go-stepenya-18515.html. Обчисліть значення виразу:𝟑𝟐(𝟑𝟒 - 5 𝟑𝟑𝟐) Повторити властивості степеня і кореня

Відповіді до тестових завдань: Б Д Б -2 -3