Кейс-проєкт "Теорема Вієта. Історія парку "Олександрія""
Кейс - проект «Теорема Вієта. Історія парку «Олександрія»»
Клас - 8
Час заняття - 2 години
Тип кейсу – аналітичний (Case-incident method)
Вид кейсу – учбовий.
Коротка анотація проекту.
Кейс - проект розрахований на 8 клас. Багато задач із математики пов'язані з необхідністю вирішення квадратних рівнянь; часто при вирішенні однієї задачі зустрічаються кілька таких рівнянь, тому корисно знати метод усного рішення квадратних рівнянь, який не тільки допомагає економити час, але й розвиває навички в розкладанні чисел на множники, що буває корисним при усних обчисленнях громіздких арифметичних виразів. Тому мета проекту: познайомити учнів з теоремою Вієта; навчити застосовувати теорему Вієта для складання квадратних рівнянь; сформулювати теорему, зворотню теоремі Вієта, і навчити застосовувати її до вирішення квадратних рівнянь; познайомитися з історією парку «Олександрія», сприяти розвитку пізнавального інтересу, творчих здібностей, вольових якостей, пам'яті,узагальнювати і систематизувати отримані знання; виховувати відповідальне ставлення до навчальної праці, волю та наполегливость для досягнення кінцевих результатів при знаходженні коренів квадратного рівняння.Розробити алгоритми.
Ключове й проблемні питання навчального проекту.
Ключове питання:
Як навчитися швидко вирішувати квадратні рівняння ?
Проблемні питання:
1. Що вам відомо з історії виникнення квадратних рівнянь?
2.Чи можна вирішити квадратні рівняння усно?
3.Як можна за допомогою теореми Вієта знайти корінья квадратного виразу?
4. Що таке алгоритм?
Питання навчальної теми:
1. Що називається рівнянням?
2.Що означає вирішити рівняння?
3.Що називається коренем рівняння?
4.Означення квадратного рівняння.
5.Формули коренів квадратного рівняння.
6.Зведене квадратне рівняння.
7.Теорема Вієта.
8.Теорема, обернена до теореми Вієта.
Буклет учня.
Презентація вчителя.
Презентація учнів.
Приклади продуктів проектної діяльності учнів.
Робота групи "Історики". Презентація.( Історія парку « Олександрія»).
Робота групи "Знавці". Стінгазета (додаток 2).
План проведення проекту.
Перший тиждень: розподіл і обговорення проблемних питань проекту, формування груп; другий тиждень: основна робота учнів,збір всієї необхідної інформації, розподіл обов'язків, робота в Microsoft Word, Prezi.com , Microsoft Publicher; третій тиждень: підготовка до заключної конференції, захист проекту, рефлексія.
Формуюче й підсумкове оцінювання.
До початку проведення проекту:
Анкетування учнів
Формування груп
Під час проведення проекту:
Критерії оцінювання проекту
Після проведення проекту:
Підсумкове оцінювання після конференції
Рефлексія.
Матеріали із супроводу й підтримки проектної діяльності:
Тест
Самостійна робота
Зміст кейса
Алгебра. Підручник для 8 класу під редакцією А.Г.Мерзляк, В.Б.Полонський, М.С.Якір.
Посилання на ресурси Інтернет по темі навчального проекту:
http://uk.wikipedia.org/wiki/Франсуа Вієт
http://uk.wikipedia.org/wiki/Теорема Вієта
http://www.athens.kiev.ua/teorema-vijeta/
http://uk.wikipedia.org/wiki/Державний_дендрологічний_парк_«Олександрія»_НАН_України
http://www.ukrmandry.com.ua/index.php?id=390
Тема уроку: Теорема Вієта
Мета: познайомити учнів з теоремою Вієта; навчити застосовувати теорему Вієта для складання квадратних рівнянь; сформулювати теорему, зворотню теоремі Вієта, і навчити застосовувати її до вирішення квадратних рівнянь; познайомити з історією парку «Олександрія», сприяти розвитку пізнавального інтересу, творчих здібностей, вольових якостей, пам'яті,узагальнювати й систематизувати отримані знання; виховувати відповідальне ставлення до навчальної праці, волю та наполегливость для досягнення кінцевих результатів при знаходженні коренів квадратного рівняння. Розробити алгоритми.
Тип уроку: урок засвоєння нових знань
Комплексне використання: робота в групах, «Мікрофон», тести, проектна технологія.
Обладнання: підручник, мультимедійна дошка, проектор.
Хід уроку
І. Повідомлення теми та мети уроку
Презентація вчителя,яка допоможе визначити тему уроку-проекта, мету. Необхідно зупинитися на ключовому і проблемних питаннях та поставлених навчальних цілях проекту.
ІІІ. Мотивація
Під час вивчення різних тем математики нам постійно доведеться розв’язувати квадратні рівняння. Тому сьогоднішній урок має дуже важливе значення. Це урок- демонстрацій навчальних проектів, підбиття підсумків, оформлення результатів, їх презентація. Мета демонстрації полягає в тому, щоб показати остаточний результат роботи іншим учасникам проекту та розуміння учнями того факту, що результати їх роботи у проекті побачать не лише їх учителі та однокласники, часто стає додатковою мотивацією їх серйозного ставлення до навчання, що, у свою чергу, зумовлює отримання кращих результатів.
ІV. Актуалізація опорних знань
1.Підготовчий етап. Питання до класу.
1) Правильно чи ні,що рівняння виду ax²+bx+c=0 називають квадратним рівнянням?
2) Відомо, що b²-4ac>0. Чи випливає з цього,що квадратне рівняння має один корінь?
3) Яка теорема допомагає швидко розв’язати рівняння:
а) повні; б) неповні; в) зведені?
4)Які властивості коефіцієнтів квадратного рівняння ви знаєте?
5) Дати правильну відповідь формули знаходження коренів квадратного рівняння.
2.Підготовчий етап.
Тест
- Рівність, що містить змінну, називається…
а) виразом; б) рівнянням; в) нерівністю.
- Число, яке задовольняє рівняння, називається його….
а) коренем; б) змінною; в) значенням.
- Знайти всі корені рівняння або довести, що їх немає, - означає..
а) розв’язати рівняння; б) спростити рівняння; в) допустити помилку в рівнянні.
- Рівняння виду ах2 + bх + с = 0 називають…
а) лінійним; б) квадратним; в) степеневим.
- Щоб знайти корені квадратного рівняння, потрібно спочатку знайти…
а) доданок; б) коефіцієнт; в) дискримінант.
- Квадратне рівняння немає коренів коли…
а) D > 0; б) D = 0; в) D < 0.
- Квадратне рівняння має два корені коли…
а) D > 0; б) D = 0; в) D < 0.
- За якою формулою шукаються корені рівняння….
а) 
; б) 
; в) 
.
- За якою формулою шукаються корені рівняння, якщо парний другий коефіцієнт…
а) 
; б) 
; в) 
.
- Рівняння х2 – 7х + 6 = 0 має такі корені…
а) 1; 6; б) -1; 6; в) -6; -1.
Перевірка тесту за допомогою презентації.
V. Перевірка домашнього завдання і постановка проблеми
Удома учні повинні були вирішити квадратні рівняння. У таблицю заздалегідь заготовлену на дошці, уносяться корені для кожного рівняння, які учні вирішили самостійно.
|
Рівняння |
Корені |
Добуток коренів |
Сума коренів |
|
х2-2х -15=0 |
5 і-3 |
-15 |
2 |
|
х2 +3х - 28=0
|
4 і-7 |
-28 |
-3 |
|
х2 - 14х+48 =0 |
6 і 8 |
48 |
14 |
|
х2+15х + 36=0 |
-12 і -3 |
36 |
-15 |
|
2х2 +5х – 3 = 0 |
0,5 і -3 |
1,5 |
2,5 |
|
3х2 - х – 2 = 0 |
|
|
|
|
х2+рх +q =0 |
х1 і х2 |
g |
р |
|
ах2 + вх + с =0 |
х1 і х2 |
|
|
і 1
VІ.Відкриття нових знань
1.Учитель. Порівняйте суму й добуток коренів зведених квадратних рівнянь із коефіцієнтами рівняння. Яка існує залежність? Яке припущення можна зробити? Сформулюйте затвердження та заповніть передостанній рядок таблиці.Висновок (учні виконують самостійно).
2. Виступ групи « Знавці» ( презентація стінгазети)
Учитель. Таким чином ми сформулювали з вами теорему Вієта для зведеного квадратного рівняння.
3. Засвоєння знань
План вивчення нового матеріалу
- Теорема Вієта для зведеного квадратного рівняння: формулювання й доведення.
- Теорема Вієта для квадратного рівняння загального виду: формулювання й доведення:
1) теорема, обернена до теореми Вієта.
2) приклади застосування вивчених теорем.
3. Опорний конспект ( таблиця )
|
|
Опорний конспект Теорема Вієта |
||||
|
1. |
Для зведеного квадратного рівняння: |
||||
|
|
Якщо х2 + рх + q = 0 має корені х1 і х2 (D > 0), то |
|
|||
|
|
|
|
|||
|
|
х1 + х2 = -р; х1 · х2 = q |
|
|||
|
2. |
Для квадратних рівнянь загального вигляду: |
|
|||
|
|
Якщо ах2 + Ьх + с =0 має корені х, і х2 (D >0), то |
|
|||
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|||
|
3. Обернена теорема: |
|||||
|
|
Якщо числа т і п такі, що m + n = -p, mn = q, то |
|
|||
|
|
|||||
|
|
т і п — корені рівняння х2 + pх + q = 0 |
|
|||
|
4. Застосування: |
|||||
|
а) розв'язування зведених квадратних рівнянь «підбором»? |
|||||
|
х2 – 2х – 3 = 0:
х1 + х2 = 2, х1 · х2 = -3 |
|||||
|
б) розв'язування рівнянь ах2 + bх + с = 0, де |
|||||
|
|
а + с = b, |
|
а + с = - b, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x1 = -1, |
|
x1 = 1, |
|
|
|
|
3х2 + 2х – 1 = 0, 3 – 1 = 2,
х1 = -1, |
|
3х2 – 2х – 1 = 0, 3 – 1 = 2 = - (- 2),
х1 = 1, |
|
|
; 
х
4. Формування вмінь
Олександрі́я — державний дендрологічний парк Національної академії наук України. Розташований у північно-східній частині Правобережного Лісостепу, на південь від Києва на північно-західній околиці міста Біла Церква, на висоті 80 — 106 м над рівнем моря.
Це найбільший архітектурно оформлений ландшафтний парк в Україні. Розв’язавши квадратні рівняння за теоремою Вієта, ви дізнаєтеся:
1) відстань від міста Білої Церкви до Києва х2 – 370 х + 23200 = 0 ( 80 км);
2) площу парку « Олександрія» х2 – 99 х + 194 = 0 ( 290 га).
VІІ. Робота в групах
Розв’язати квадратні рівняння, застосовуючи теорему Вієта.
1 група
1) У якому році польський король Август Станіслав Понятовський отримує в довічне володіння від Речі Посполитої тоді найбагатше в Україні Білоцерківське староство, яке 13 грудня того ж року передає разом з будівлями у Варшаві великому коронному гетьману Польщі Францішеку Ксаверію Браницькому, герба Корчак ?
х2 – 90х + 1258 = 0 (1774 рік)
З цього часу Біла Церква стає приватним містом графів Браницьких.
2) У якому році в Санкт-Петербурзі гетьман узяв шлюб з улюбленою камер-фрейліною імператриці Катерини II, племінницею Світлішого князя Григорія Потьомкіна, Олександрою Василівною Енгельгардт?
х2 – 98х + 1377 = 0 (1781 рік)
Деякі історики вважають її позашлюбною донькою Катерини ІІ і Сергія Салтикова. Шлюб Ф. К. Браницького з О. В. Енгельгардт відповідав політичним реаліям того часу. Катерина ІІ бажала стабільного миру з Польщею і заохочувала шлюби між російськими дворянами і польською шляхтою. За О. Браницькою гетьман отримав пристойний посаг — 600 000 карбованців сріблом і велику ділянку землі. Катерина II подарувала подружжю на весілля Шуваловський палац в Петербурзі. Доход К.Браницького з самої тільки Білої Церкви приносив 750 000 золотих. Разом із маєтками — Ставище, Рокитне, Лисянка та іншими він становив приблизно 2 мільйони.
2 група
1) У якому році О. В. Браницька отримала цей маєток у дарунок від свого чоловіка ?
х2 – 101х + 1428 = 0 ( 1784 рік)
2) У якому році помирає князь Григорій Потьомкін?
х2 – 108х + 1547 = 0 ( 1791 рік)
Після його смерті графиня отримує більшу частину спадщини князя. Зважаючи на ту роль, яку зіграв у її житті Г.Потьомкін, Браницька вирішує присвятити будівництво майбутнього парку його пам'яті, а також збудувати в парку його мавзолей. Проект мавзолею виконав у 1795 році відомий архітектор, автор Таврійського палацу Г.Потьомкіна у Петербурзі — Іван Старов. Мавзолей мав стати домінантою всієї нової композиції парку «Олександрія». Він повинен був розповідати про життя та велич Г. О. Потьомкіна
3 група
1) У якому році Ян Бровінський написав поему «Олександрія»?
х2 – 66х + 864 = 0 ( 1848 рік )
Зі старої аустерії, що над трактом стала,
Яка тільки подорожніх щиро вітала,
Як звичайно буває,
Для мандрівників повстала, зненацька
Виріс палац великий, прекрасно умебльований
З дідинцем і будинками довкола,
Цей напис «Аустерія» досі залишається,
Бо в гостинному палаці звичаї залишаються.
2) З якого року «Олександрія» стає основною базою його навчально-дослідного господарства. «Олександрія» отримує нову назву — парк ім.
Ч. Г. Раковського?
х2 – 39х + 378 = 0
Під час громадянської війни 1918—1921 років парк зазнав величезних утрат. Більшість архітектурних споруд була повністю або частково зруйнована. З «Олександрії» вивезли велику кількість цінних мармурових та бронзових скульптур, значні збитки були завдані й парковим насадженням.
5. Виконання письмових вправ
1.Знаходження невідомого кореня та невідомого коефіцієнта квадратного рівняння, якщо відомий другий корінь та два коефіцієнти квадратного рівняння.
1) Знайдіть вільний член q зведеного квадратного рівняння
х2 + px + q = 0, якщо його коренями є числа: 22, 46.
(х2 – 68х + 1012 = 0)
У 1922 році рішенням Київського губернського комітету парк «Олександрія» був проголошений заповідником і до 1946 року входив до складу сільськогосподарського технікуму, а згодом інституту.
2) У рівнянні х2 – рх + 1178 = 0 один із коренів рівняння дорівнює 19.
Знайдіть другий корінь і коефіцієнт р.
( х = 62, р = 81)
У 1962 році на території парку на першому поверсі адміністративного приміщення було відкрито музей. Його експозиція знайомить відвідувачів з історією створення парку «Олександрія», трьома поколіннями його власників — графів Браницьких. Основою експозиції є скульптури з білого італійського мармуру. Декілька з них роботи відомих італійських майстрів 18 століття, авторство інших скульптур не встановлено, але виконані вони на надзвичайно високому художньому рівні. Це лише невелика частина величезного зібрання із колекції Браницьких. Скульптури були придбані власниками парку під час поїздок Європою. Багато робіт було подаровано Браницьким Катериною ІІ та князем Г. О. Потьомкіним. У часи революції, громадянської війни більшість колекції була пограбована або знищена. Збереглося лише 15 прекрасних скульптур італійських митців: Три грації (Антоніо Канова), Хлопчик з собакою та Хлопчик з луком (Памполоні) та інші, які нагадують колишню розкіш палаців та парку.
VІІІ. Підсумок уроку
Учитель робить підсумок уроку. Учні обговорюють презентацію, публікацію,веб-сторінки, дають свої відгуки, оцінюють роботу координаторів груп.
ІX. Домашнє завдання
1.Вивчити зміст та схеми доведення теореми Вієта та оберненої теореми.
2.Розв'язати вправи на застосування вивчених теорем.
1) Кожне з рівнянь має корені. Знайдіть суму й добуток цих коренів:
а) 3х2 – 4х + 1 = 0; б) 10х2 + х – 3 = 0.
2) Знайдіть суму й добуток коренів рівняння:
а) х2 – 37х + 27 = 0; б) у2 + 41у – 371 = 0; в) х2 – 210х = 0; г) у2 – 19 = 0;
д) 2х2 – 9х – 10 = 0; є) 5х2 + 12х + 7 = 0; ж) -z2 + z = 0; з) 3х2 – 10 = 0.
3.Знаходження коренів квадратного рівняння із використанням теореми, оберненої до теореми Вієта.
1) Знайдіть корені рівняння за теоремою, оберненою до теореми Вієта:
а) х2 – 3х + 2 = 0; б) х2 – 5х + 6 = 0; в) х2 + 7х + 12 = 0; г) х2 + 3х + 2 = 0;
д) х2 – 5х + 4 = 0; є) х2 – 8х – 9 = 0; ж) х2 + 4х + 3 = 0; з) х2 – 2х – 3 = 0;
и) х2 + 2х – 15 = 0.
2) Знайдіть шляхом підбору корені рівняння:
а) х2 – 9х + 20 = 0; б) х2 + 11х – 12 = 0;
в) х2 + х – 56 = 0; г) х2 – 19х + 88 = 0.
4.Знаходження невідомого кореня та невідомого коефіцієнта квадратного рівняння, якщо відомий другий корінь та два коефіцієнти квадратного рівняння.
1) Знайдіть вільний член q зведеного квадратного рівняння
х2 + px + q = 0, якщо його коренями є числа: 5; - 3; -2; -6.
2) У рівнянні х2 + рх – 35 = 0 один із коренів рівняння дорівнює 7.
Знайдіть другий корінь і коефіцієнт р.
5.Логічні вправи та завдання підвищеного рівня складності для учнів,
які мають достатній та високий рівні знань.
1) Доведіть, що рівняння 7х2 + bх – 23 = 0 за будь-яких значеннях b має один додатний і один від'ємний корені.
2. Знайдіть пропущене число:
|
х2 – 5х + 6 = 0 |
13 |
|
х2 + 6х + 8 = 0 |
20 |
|
х2 + 2х – 3 = 0 |
? |
про публікацію авторської розробки
Додати розробку