Книжка-схема. Методична розробка з розв'язку завдань з математики.

Про матеріал

Розв’язок творчих, нестандартних задач зручно засвоювати за допомогою опорних схем, алгоритмів, які формують стійкий пізнавальний математичний інтерес, розвиває логічне мислення й критичне мислення учнів, просторову уяву, творчі здібності та можуть використовуватися педагогами природничо-математичного напрямку на різних етапах уроку.

Перегляд файлу

Краматорська спеціальна школа №18 Донецької обласної ради

Методична розробка з розв’язку

завдань з математики

Для того, щоб навчитися розв'язувати задачі, треба розібратися

в тому, що вони являють собою, як вони влаштовані, з яких

складових частин вони складаються, які інструменти, за допомогою яких виробляється рішення завдань. Одну і ту ж задачу

можна вирішити різними арифметичними способами. Вони

відрізняються один від одного логікою міркувань, виконуваних у процесі розв’язку задачі.

Учитель вищої кваліфікаційної категорії математики і фізики:

Краматорськ Маханьковська І.В.

Математику вже навіть задля того треба вивчати, що вона розум до ладу приводить.

М. В. Ломоносов

Перша умова, якої треба дотримуватися у математиці,— це бути точним, друга — бути ясним і, наскільки можливо, простим. Л. Карно

4. Співставлення задач на спільну роботу, в яких спільна продуктивність являє собою суму продуктивностей кожного виконавця.

5. Співставлення задач на спільну роботу, в яких спільна продуктивність являє собою різницю продуктивностей виконавців.

1 спосіб розв’язування задач на спільну роботу:

1) знаходимо загальний виробіток одного виконавця; 2) знаходимо загальний виробіток іншого виконавця; 3) відповідаємо на запитання задачі.

2 спосіб

1) знаходимо продуктивність спільної праці; 2) відповідаємо на запитання задачі.

План розв’язування

1) першою дією знаходимо продуктивність;

2) другою дією знаходимо продуктивність виконавця;

3) третьою дією знаходимо продуктивність; 4) четвертою дією відповідаємо на запитання задачі.

Види задач.

• За характером вимог задачі:

1) на знаходження невідомого;

2) на доведення; 3) на перетворення.

• По відношенню до теорії:

1) стандартні; 2) нестандартні.

• За характером об’єктів: 1) математичні; 2) практичні.

Етапи рішення задачі. Сприйняття і осмислення завдання.

Прийоми виконання:

1. Правильне читання задачі (правильне прочитання слів і речень, правильна розстановка логічних наголосів) у випадку, коли завдання задана текстом.

2. Правильне слухання при сприйнятті завдання на слух.

3. Уявлення ситуації, описаної в задачі (створення зорового, можливо, слухового і кінестетичного образу). 4. Розбиття тексту на смислові частини.

- заміна буквених даних числовими;

5. Переформулювання тексту задачі (зміна тексту або побудова словесної моделі):

- заміна терміна змістовним описом;

- заміна змістовного опису терміном;

- заміна деяких слів синонімами або іншими словами, близькими за змістом;

- вилучення частини тексту, яка не впливає на результат рішення;

- заміна деяких слів, термінів словами, що позначають більш загальний або більш приватне поняття;

- зміна порядку слів і (або) речень;

- доповнення тексту поясненнями;

- заміна числових даних іншими, більш наочними;

- заміна числових даних буквеними;

- введення довільних одиниць величин і пов'язані з цим інші зміни тексту.

6. Побудова математичної моделі задачі: - предметної (показ завдання на конкретних предметах).

Послідовність таких етапів:

1) аналіз задачі;

2) побудова моделі;

3) пошук способу рішення ( складання плану рішення );

4) запис рішення;

5) перевірка рішення;

6) дослідження задачі та її рішення;

7) формулювання відповіді;

8) навчально-пізнавальний аналіз задачі і її рішення. Методика розв’язування задач на рух

Під час роботи над задачами на рух можна виділити такі основні поняття, без усвідомлення яких неможливе їх правильне розв'язування. 1. Зустрічний рух:

– швидкість зближення;

– час руху до зустрічі (час зближення), якщо два тіла одночасно (неодночасно) почали рухатися назустріч одне одному з однаковими (неоднаковими) швидкостями.

год – це час, за який можна заповнити

басейн при використанні обох труб разом.

Ще раз проаналізуйте чому так, оскільки багато школярів подібні задачі розв'язують неправильно.

Відповідь: a•b/(a+b) – Г.

Приклад 2. Басейн наповнюється через першу трубу за 4 години,
а через другу – за 6 годин. Яку частину басейну залишиться
наповнити після спільної роботи обох труб протягом 2 годин?

2.Задача на спільну роботу (не дано продуктивність кожного виконавця), в яких спільна продуктивність являє собою суму продуктивностей кожного виконавця.

3. Задача на спільну роботу (не дано продуктивність кожного виконавця), в яких спільна продуктивність являє собою різницю продуктивностей виконавців.

3) 20 · 50 = 1000 (гривень) — татові;

4) 30 · 20 = 600 (гривень) — мамі;

5) 10 · 20 = 200 (гривень) — синові.

Відповідь. 1000 грн — татові; 600 грн — мамі, 200 грн — сину.

ІІ спосіб

Нехай х — це вартість обробки одного рядка (одна частина — коефіцієнт пропорційності), тоді тато заробив 50х (грн), мама — 30х(грн), син — 10х (грн). А за умовою задачі разом вони заробили 1 800 грн. Маємо рівняння:

50х + 30х + 10х = 1800; 90х = 1800; х = 1800 : 90; х =20. Отже, татова частина 50 · 20 = 1 000 грн; мамина — 30 · 20 = 600 грн, синова — 10 · 20. = 200 грн.

Типи задач на спільну роботу

Приклад 1. Басейн заповнюють водою через першу трубу за a години,
а через другу – за b годин.
Через скільки годин можна заповнити басейн при використанні обох
труб разом?

1.Задача на спільну роботу, в яких дано продуктивність кожного виконавця.

Задача 1. З пристані Київ до пристані Кременчук вийшов теплохід, і одночасно йому назустріч з пристані Кременчук вийшов катер. Теплохід ішов зі швидкістю 30 км/год, а катер – 24 км/год. Через 5 год вони зустрілися. Яка відстань між пристанями? Під час повторення змісту задачі вчитель креслить на дошці ілюстрацію:

Бесіда. Що означає: «Через 5 год вони зустрілися»? (Теплохід і катер з моменту виходу до моменту зустрічі були в дорозі 5 год.) Яку відстань пройшов за 5 год теплохід? («Від пристані Київ до прапорця», – показує один учень біля дошки.) Яку відстань пройшов катер за 5 год? (Другий учень показує на кресленні.) То з яких двох частин складається шукана відстань між пристанями? (З відстаней, які пройшов кожен теплохід за 5 год.) Чи можемо ми взнати відстань, яку пройшов теплохід до зустрічі? (Можемо, бо відомо його швидкість і час руху до зустрічі.) Чи можемо взнати відстань, яку пройшов до зустрічі катер? (Можемо.)

А коли обидві відстані будуть відомі, про що зможемо дізнатися? (Про відстань між пристанями.) Давайте запишемо розв'язання виразом. Що знайдемо в першій дії? Якою дією? (Вчитель пише на дошці, а учні в зошитах: 30 • 5.) Про що дізнаємося в другій дії? Якою дією? Поруч з'являється другий запис: 30 • 5; 24 • 5. Про що дізнаємося в третій дії? Чого бракує, щоб скласти остаточний вираз? (Вписують знак «+»: 30 • 5 + 24 • 5.) Чи потрібні дужки? Учні усно обчислюють проміжні результати. Записи мають вигляд: 30 • 5 + 24 • 5 = 150 + 120 = 270 (км).

2. Рух у протилежних напрямках:

– швидкість віддалення;

– час віддалення, якщо два тіла почали одночасно (неодночасно) рухатися з одного пункту у протилежних напрямках з однаковими (різними) швидкостями.

3. Рух в одному напрямі: – швидкість зближення (віддалення); – час зближення (віддалення).

Задача 2. Два літаки одночасно вилетіли з аеродрому в протилежних напрямках. Через півгодини після вильоту відстань між ними була 720 км. Перший літак летів зі швидкістю 15 км/хв. З якою швидкістю летів другий літак? Графічна схема до цієї задачі:

Запитання до учнів під час аналізу задачі:

– Що відомо про рух першого літака і про що можна дізнатися?

– Яка відстань між літаками була через півгодини після вильоту?

– Чи можна знайти відстань, яку пролетів другий літак?

– Про що запитується в задачі?

– Які дії треб виконати, щоб відповісти на запитання задачі?

Розв'язання:

1) 15 • 30 = 450 (км) – пролетів перший літак; 2) 720 – 450 = 270 (км) – пролетів другий літак; 3) 270: 30=9 (км/хв) – швидкість другого літака.

Відповідь. 9 км/хв.

3. Рух за течією чи проти течії:

– власна швидкість катера (моторного човна, тощо);

– швидкість катера за течією;

– швидкість катера проти течії;

– швидкість зближення і час зближення, коли катер наздоганяє пліт; – швидкість зближення і час зближення, коли катер рухається назустріч плоту;

– швидкість віддалення і час віддалення, коли катер і пліт рухаються з одного пункту у протилежних напрямках.

4. Середня швидкість руху:

– середня арифметична величина;

– середня швидкість як середня арифметична величина Запитання до учнів під час аналізу задачі:

– Що відомо про рух першого літака і про що можна дізнатися?

– Яка відстань між літаками була через півгодини після вильоту?

– Чи можна знайти відстань, яку пролетів другий літак?

– Про що запитується в задачі?

– Які дії треб виконати, щоб відповісти на запитання задачі?

Методика ознайомлення учнів із прикладами залежностей між величинами

У початкових класах учні ознайомлюються з вимірюванням деяких величин (довжина, площа, маса, час), встановлюють зв‘язки між величинами під час розв’язування текстових задач: ціна, кількість і вартість; маса одного предмета, кількість предметів і загальна маса; швидкість, шлях і час при рівномірному русі тіла тощо. Якщо названі величини брати попарно, то побачимо різні види залежностей:  прямо пропорційну залежність (вартість і ціна, добуток і множник);

• обернено пропорційну залежність (кількість і ціна, дільник і частка);

• лінійну залежність (сума і доданок, маса товару з тарою і

маса самого товару);

• квадратичну залежність (площа квадрата і довжина його сторони). Приклад. Сім'я Петренків на літо взяла обробити поле цукрових буряків. Тато Петренко обробив 50 рядків, мама Петренко обробила 30 рядків, а синок Петрик Петренко обробив 10 рядків. За літо сім'я Петренків за обробку поля заробила 1 800 гривень. Як ці гроші треба поділити між татом, мамою та їх сином?

Після обговорення задачі доходимо висновку: в задачі треба поділити число 1 800 на 3 нерівних частини, що відповідають (пропорційні) числам 50, 30 і 10.

І спосіб

Тому:1) 50 + 30 + 10 = 90 (рядків) обробили;

2) 1800 : 90 = 20 (гривень) — за 1 рядок;

3) 20 · 50 = 1000 (гривень) — татові;

4) 30 · 20 = 600 (гривень) — мамі;

5) 10 · 20 = 200 (гривень) — синові.

Відповідь. 1000 грн — татові; 600 грн — мамі, 200 грн — сину.

ІІ спосіб

Типи задач на спільну роботу

1.Задача на спільну роботу, в яких дано продуктивність кожного виконавця.

Приклад 1. Басейн заповнюють водою через першу трубу за a години, а через другу – за b годин.

Через скільки годин можна заповнити басейн при використанні обох труб разом?

Обчислення:Нехай 1/a - частина басейну, яку заповнить І труба за

1год;

1/b - частина басейну, яку заповнить ІІ труба за 1год;

- частина басейну, яку наповнять обидві труби за 1 год, працюючи разом.

год – це час, за який можна заповнити

басейн при використанні обох труб разом.

Ще раз проаналізуйте чому так, оскільки багато школярів подібні задачі розв'язують неправильно.

Відповідь: a•b/(a+b) – Г.

Приклад 2. Басейн наповнюється через першу трубу за 4 години,
а через другу – за 6 годин. Яку частину басейну залишиться
наповнити після спільної роботи обох труб протягом 2 годин?