Конспект уроку геометрії 8 клас. "Теорема Піфагора"

Тема: Теорема Піфагора

Мета:

 Навчальна: встановити залежність між сторонами прямокутного трикутника; довести теорему Піфагора; формувати вміння застосовувати її до розв’язування задач.

 Виховна: Підвищувати інтерес учнів до вивчення математики; формувати пізнавальну активність учнів, вміння колективно працювати над розв’язуванням задач.

 Розвивальна: розвивати логічне мислення, пам’ять, увагу, інтуїцію; Формувати вміння порівнювати, аналізувати, узагальнювати, аргументовано висловлюватись.

Тип уроку: Урок засвоєння нових знань.

Хід уроку.

1. Вступна бесіда вчителя:

  - Сьогодні ми розпочнемо  урок з казки.

За тридев’ять земель в тридесятому царстві жили собі король і королева, і росла в них єдина донька, та така вродлива, що ні в казці сказати, ні пером описати, ще й неабияка розумниця. Плекали вони її, доглядали, як зіницю ока, берегли, та не вберегли. Своєю красою, добротою і розумом дівчинка затьмарила всіх своїх подруг. І одна з них чорно заздрила принцесі. Ця заздрість не давала їй жити. Пішла вона до відьми і зачарувала королівську доньку. І заснула принцеса у високому замку безпробудним сном. Йшов час, але ніхто не міг зняти чари з принцеси. Закляття мало діяти доти, поки не з’явиться принц, який погляне на вікно її спальні з відстані рівно 50 кроків.

Одного чудового дня в місті з’явився молодий прекрасний принц з легендарної Греції. Довідавшись про нещастя, він береться до справи: спочатку вимірює на якій висоті від поверхні землі знаходиться вікно спальні принцеси. У нього вийшло 30 кроків. Потім, зробивши деякі обчислення, він відрахував від стіни замку 40 кроків і поглянув на вікно спальні. Раптом замок засяяв дивним світлом, і за мить на зустріч щасливому принцу з замку вибігла чарівна принцеса.

Запитання: як принц здогадався, що потрібно відійти від замку на 40 кроків?

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 Проблема: для розв’язання задачі необхідно знайти залежність між сторонами прямокутного трикутника.

2. Актуалізація опорних знань.

- Як називають сторони прямокутного трикутника?

- Назвіть катети і гіпотенузу зображеного на малюнку трикутника?

- Як називаються відрізки, на які висота поділяє гіпотенузу?

  

- Чому дорівнює висота прямокутного трикутника, проведена до гіпотенузи?

- Чому дорівнює катет трикутника?

- Як обчислити катет АС? ВС?

3. Дослідницька робота

Вчитель:

  - Як вчені роблять свої відкриття? (Іноді ідеї їм приходять в голову раптово, іноді відкриття їм сняться…)

  - Правильно, але це рідкісні випадки. Більшість вчених проводять тривалі дослідження, експерименти, помічають деякі закономірності і висловлюють гіпотези. Що таке гіпотеза? (Це припущення)

  - Ті гіпотези, які вони можуть довести, стають науковими відкриттями, а ті, які не можуть довести, так і залишаються гіпотезами.

  Ми з вами, як справжні вчені, пройдемо весь шлях відшукання істини: проведемо дослідження, висунемо гіпотезу та доведемо теорему.

 І. Проведення експерименту.

На чистому аркуші паперу в клітинку накреслимо прямий кут С, на сторонах кута відкладемо відрізки АС і ВС, заданої довжини. Сполучимо точки А і В. Одержимо прямокутний трикутник АВС. Виміряємо його гіпотенузу.

 І ряд:   3 см;  4 см;   (5 см)

 ІІ ряд  5 см;  12 см;  (13 см)

 ІІІ ряд  6 см  8 см;   (10 см)

 ІV ряд   8 см  15 см   (17 см)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Занесемо отримані результати в таблицю

	а	b	c
І ряд	3 cм	4 cм	5 см
ІІ ряд	5 см	12 см	13 см
ІІІ ряд	6 см	8 см	10 см
ІV ряд	8 см	15 см	17 см

Чи помітили ви якусь закономірність? (Учні висловлюють свої гіпотези, вчитель коментує їх)

У кожного з вас є набір квадратів, які ви виготовили вдома. Чи мають ці квадрати якесь відношення до прямокутного трикутника, який ви побудували?

Прикладіть ці квадрати до сторін прямокутного трикутника. Вдома ви мали подумати над тим, як пов’язані два менших квадрати з більшим квадратом? (Сума площ менших квадратів дорівнює площі великого)

 

Добудовуємо таблицю:

	а	b	c	а2	b2	c2
І ряд	3 cм	4 cм	5 см	9	16	25
ІІ ряд	5 см	12 см	13 см	25	144	169
ІІІ ряд	6 см	8 см	10 см	36	64	100
ІV ряд	8 см	15 см	17 см	64	225	289

 

 

ІІ. Гіпотеза: а²+b²=с²

 - Як називаються сторони а, b і с в нашому трикутнику?

 - Сформулюйте нашу гіпотезу з використанням термінів «катет» і «гіпотенуза»

ІІІ. Доведення теореми:

Той факт, що квадрат гіпотенузи дорівнює сумі квадратів катетів, знали ще за 2 тисячі років до н.е., але першим, хто зробив її повноцінне доведення був Піфагор – видатний давньогрецький вчений. Це було в VІ ст. до н.е. Тому це твердження називають теоремою Піфагора. Доведемо її, використовуючи раніше вивчений матеріал.

Доведення:

З одного прямокутного трикутника важко встановити якусь залежність. Давайте утворимо кілька прямокутних трикутників, провівши для цього висоту CD. Добудова: СD – висота ΔАВС.

 - Чому дорівнюють квадрати катетів АС і ВС прямокутного трикутника?

 АС²=АВ·АD;  ВС²= АВ·ВD.

Додамо почленно отримані рівності: АС²+ВС²=АВ·АD+АВ·ВD=АВ(AD+DB)=АВ².

Отже:  АС²+ВС²=АВ².

 Традиція записувати доведення теореми у формі «Дано… довести…. доведення…» прийшла до нас із Стародавньої Греції. Абсолютно протилежна традиція – з Давньої Індії. Там де грецький математик списував іноді цілі сторінки, щоб довести твердження, математик-індус наводив креслення і писав єдине слово «Дивись!». Звичайно, не кожен міг розгледіти у малюнку потрібний ланцюжок міркувань. Спробуйте ви розгледіти давньоіндійське доведення нашої теореми.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Дивись!

Бачимо зліва – «вільна від трикутників» фігура є квадратом зі стороною с і його площа дорівнює а с²справа, що «вільна від трикутників» фігура складається з двох квадратів зі сторонами а і b, площа якої дорівнює а²+b². Тому а²+b²=с².

 - Але ми опустили частину доведення. Чому чотирикутник АВСD є квадратом?

(як сума гострих кутів прямокутного трикутника),

(як відповідні кути рівних трикутників).

Отже , тому

 Розглянемо ще один – алгебраїчний метод доведення, використовуючи лише малюнок зліва (площа квадрата зі стороною с дорівнює різниці площ квадрата зі стороною а+b і чотирьох прямокутних трикутників):

    

4. Історична довідка (повідомлення вчителя)

 Ми розглянули три доведення теореми Піфагора. Існує більше 200 доведень цієї теореми. Креслення, яке ми використали при висуненні гіпотези називають жартома «Піфагорові штани». Довгий час це креслення вважалось одним із символів математичної науки і його можна побачити на обкладинках математичних книг.

 Причина такої популярності теореми Піфагора пояснюється її простотою, красою і важливістю. Хоч її знали задовго до Піфагора, але він перший довів її і вивів численні наслідки з неї. Давня легенда свідчить, що на честь цього Піфагор приніс в жертву 100 биків. У франції і Німеччині теорему Піфагора називають «ослячим мостом»: якщо учень не зумів через нього «перейти», то вважався справжнім «ослом».

5. Закріплення вивченого матеріалу.

а) Тепер повернемось до нашої «казкової» задачі. Яким чином принц зняв чари з принцеси?

Розв’язання:

б) Формули для знаходження гіпотенузи і катета:

 а²+b²=c²;       а²+b²=c²

 c²=а²+b²       а²= c² - b²

       

  Порівняйте довжину катета і гіпотенузи. Зробіть висновок і запишіть його. (Гіпотенуза завжди довша за катет).

в) Опорні задачі:

1. Записати теорему Піфагора для даного трикутника.

   p²=m²+n².

2. Знайти гіпотенузу трикутника.

3 Знайти невідомий катет трикутника.

г) Розглянемо цікаву задачу древніх індусів, яка сформульована у вигляді вірша.

  Над озером тихим виднілася гілка.

  Півметра над гладдю води була квітка.

  Враз вітер подув – лотос вже в стороні,

  І квітка та просто пливе по воді.

  Змістилась вона метрів лише за два

  Від місця, де спершу спокійно росла.

  Задумавсь рибалка: «А яка глибина

  У озера того, де він заблукав?»

 - Отже, чи можна, не залізаючи у воду, визначити глибину озера? Рибалка зміг, а ви?

Розв’язання

Нехай ОК=х м. Тоді КN=(х+0,5) м.

З ΔКОN за теоремою Піфагора маємо:

KN²=KO²+ON²,

;

Відповідь. 3,75 м.

 Теорема Піфагора має широке практичне застосування. Вона лежить в основі багатьох геометричних обчислень. Важко назвати розділ геометрії, де вона не застосовується. Це найважливіше твердження геометрії. Саме тому теорему Піфагора називають однією з Перлин геометрії.

[6. Ще один експеримент…

- Як побудувати прямий кут? (За допомогою: косинця; транспортира; циркуля і лінійки без поділок)

 А ось землеміри Стародавнього Єгипту ще за 2 тис. років до н. е. використовували ось таку мотузку (демонструється 12 метрова мотузка з вузлами). Спробуймо знайти цей спосіб побудови прямого кута. Для цього утворимо …. творчих команди. Кожній команді видається зменшена копія мотузки, яку я тримаю в руках. Очікую на ваші ідеї

Після обговорення ідей та побудови трикутника зі сторонами 3 м, 4 м, 5 м із мотузки тою командою, що здогадалась, вчитель задає питання:

 - Чому цей трикутник є прямокутний? (Тому, що 3²+4²=5²)

 - Де розміщений прямий кут? (проти найбільшої сторонни 5 м).

 - Чи вірно, що дане твердження слідує з теореми Піфагора? (Ні, це теорема, обернена до теореми Піфагора).

 - Сформулюйте теорему, обернену до теореми Піфагора.

До речі, трикутник зі сторонами 3, 4, 5 одиниць, який єгиптяни використовували для побудови прямого кута, називають єгипетським.]

[7. Ознайомлення з біографією і творчістю Піфагора Самоського

Піфагор – не тільки найпопулярніший, але й найзагадковіший серед вчених, людина-символ, філософ, пророк. Дізнаємось побільше про цього видатного давньогрецького вченого.

І учень. Достеменно встановити справжню історію його життя і творчості складно, тому що письмових документів про Піфагора не залишилось. Відомо, що народився він на острові Самос в Егейському морі приблизно в 500 році до н.е. Хлопчик був надзвичайно красивий, і ще в дитинстві проявляв неабиякі здібності, особливо захоплювався музикою та поезією. Його вчитель – мудрий Ферекід, одного разу сказав йому: „Ти виріс із Самоса, відправляйся подорожувати – тільки таким чином ти втамуєш жагу пізнання. Пам'ятай: подорож і пам’ять – це два засоби, які підносять людину і відкривають їй ворота мудрості”.

Для жителів острова Самос всі дороги вели в Мілет (грецьку колонію). Там юний Піфагор зустрічається з Фалесом, мудрецем, слава про якого лунала по всій Елладі. Під його керівництвом Піфагор вивчає математику і небесну механіку. Коли Піфагору виповнилось 20 років, Фалес порадив йому відправитись в Єгипет. Там він прожив 11 років і оволодів таємницями єгипетських жерців. Коли в Єгипет вторглись війська перського царя, Піфагор потрапив в полон і опинився у Вавилоні, де прожив 12 років.

Подорожі по різних країнах, спілкування з мудрецями – все збагачувало Піфагора, але час учнівства підійшов до кінця. Можливо, його не задовільняла бездоказовість єгипетської та вавилонської математики, і тому Піфагор вирішив повернутись на батьківщину – на острів Самос, щоб створити свою школу, в якій ясність логіки і міцність доказів стали б основою.

ІІ учень. Коли він повернувся на острів, то так вразив своїми знаннями співвітчизників, що вони вважали його напівбогом. Він збирає довкола себе юнаків з благородних сімей і веде з ними бесіди. Правитель острову, боячись, що проти нього зріє змова, наказує своїм людям стежити за Піфагором. Розгнівавшись, вчений назавжди залишає рідний острів і оселяється в одному із грецьких міст Південної Італії – Кротоні. Там він привертає загальну увагу як людина, що багато подорожувала, дивовижно обдарована і природою, і долею, адже він був благородний, привабливий, розумний. На його виступах збирається багато людей. Про силу його впливу на слухачів говорить такий факт: в результаті його першої лекції 2000 чоловік не повернулись додому, а разом із сім’ями заснували піфагорійську школу, яка була одночасно науково-філософською школою, релігійно- містичним союзом, духовним братством і політичним клубом. Піфагор був дивовижно популярним: коли він одного разу виголосив промову проти розкоші, то всі жінки, які її слухали, віднесли свої дорогі плаття в храм Гери, тому що ні одна з них не наважилась з’явитися на вулиці в дорогому вбранні.

ІІІ учень. Піфагор виробив для себе і своїх учнів особливий розпорядок дня. Прокидались вони до сходу сонця, йшли на морський берег зустрічати світанок, робили гімнастичні вправи, снідали. Завершували день спільними прогулянками, морським купанням і вечерею, а після вечері – молитва і читання. Піфагорійці однаковою мірою турбувались і про фізичний, і про духовний розвиток. їх моральні принципи і правила є актуальними і сьогодні.

Піфагор говорив:

•      біжи від всякої хитрості; відсікай вогнем, залізом, будь-якою зброєю від тіла хворобу, від душі  – неуцтво, від утроби–розкіш, від міста – смуту, від сім’ї – сварку;
•      живи з людьми так, щоб твої друзі не стали недругами, а недруги стали друзями;
•      не роби нічого ганебного ні в присутності інших, ні таємно. Першим твоїм законом має бути повага до себе самого;
•      не заплющуй очей, коли хочеш спати, не проаналізувавши всіх своїх учинків за минулий день.

В основі релігійно-філософського вчення Піфагора лежало уявлення про число, яке є суть всього існуючого у Всесвіті. “Числа - це боги на Землі”,– говорив він. В орден піфагорійців потрапляли тільки після строгого відбору і випробного періоду, коли новачки лише слухали голос вчителя через завісу, а бачити його самого їм дозволялось лише після декількох років аскетичного життя і очищення музикою. Піфагорійці вірили, що в числових закономірностях схована таємниця світу. У вченні про парні і непарні числа вони вважали непарні числа – щасливими, а парні – нещасливими. І донині є традиція дарувати непарну кількість квітів. Вони займались теорією музики, вивчали рух небесних тіл, відкрили новий вид чисел – ірраціональні, і багато іншого. Сам Піфагор мав настільки великий авторитет, що після слів “сам Піфагор сказав” будь-яка дискусія ставала недоречною. За легендою, один із піфагорійців загубив гроші ордена, і йому дозволили відшкодовувати втрату, заробляючи викладанням геометрії. Так геометрія почала поширюватися.

Піфагорійський союз – це союз істини, добра і краси - був улюбленим дітищем великого мудреця. Але таємничість школи, її закритість породжували ненависть громади. Будинок школи був розгромлений, Піфагор був убитий. Йому було 80 років. До речі, Піфагор – це не ім'я, а прізвисько, яке йому дали за те, що він постійно виголошував істину, тому що “Піфагор” означає “той, що переконує мовою”. Піфагор – це великий вчений, неординарна особистість, людина високої духовної природи і, до речі, олімпійський чемпіон з кулачного бою.]

8. Домашнє завдання

 - п. 16, №529(2), 530(2).

 - Розшифруйте доведення теореми Піфагора індійського математика Бхаскари (ХІІ ст.)

•          Задача на дозвіллі:

 

 Проведіть через 4 точки три прямі лінії,

не відриваючи олівця від паперу так, щоб

олівець повернувся в початкову точку

Розв’язання

 Автор цієї задачі психолог Я. Пономарьов запропонував її 600 дорослим, і всі 600 безуспішно шукали розв’язок в середині квадрата, і жоден не здогадався вийти за межі квадрата і утворити трикутник

 

9. Підсумок уроку.