Конспект уроку "Застосування похідної до розв’язування прикладних задач."

Застосування похідної до розв’язування прикладних задач.

Тип уроку: дослідницький урок-огляд знань..

Мета уроку:перевірити сформованість умінь учнів використовувати поняття похідної для дослідження властивостей функцій, виявляти точки підозрілі на екстремум, формування навичок застосовувати метод диференціального числення до розв’язування прикладних задач, розвивати логічне мислення учнів; показати значення математики в житті та розвитку різних наук,розвивати пізнавальний інтерес, формувати навички взаємоконтролю та самоконтролю.  

Обладнання: плакати, малюнки, таблиці.

Хід уроку

І. Організаційний момент(поділ учнів на 4 групи.)

ІІ. Мотивація навчальної діяльності

Колесо історії(доповідь учня ,який отримав індивідуальне домашнє завдання): Похідна – одне з фундаментальних понять математики.

ІІІ. Актуалізація опорних знань

Запитання до класу:

1. Що таке похідна?
2. Який геометричний, фізичний зміст похідної?
3. Як пов’язані між собою моторність функції та її похідна ?
4.  Що відбувається з похідною функції в точці її екстремуму ?
5. Вкажіть проміжки неперервності функцій:

а)
6. Який кут, тупий чи гострий, утворює з додатним напрямком осі ОХ дотична до графіка функції ?

а) у=-0,5х+6;   б)у= √х ;  в) у= 5х³+6х

7. При яких значеннях змінної х, графіки похідних яких зображені на малюнку,мають точки максимуму та мінімуму ? Покажіть ці точки.

ІІІ*Самостійна робота:

1. Точка рухається за законом (м). Знайти значення прискорення точки на 2с після початку руху.

2. У якій точці дотична до графіка перпендикулярна  до прямої   у=-0,5х-3.

1. Точка рухається за законом (м). Знайти значення прискорення точки на 2с після початку руху.

2. У якій точці дотична до графіка паралельна прямій у=2х-3.

(на картках,тривалість 10хв.)

ІV. Постановка проблеми. Повідомлення теми та мети уроку.

Як розв’язати практичну задачу за допомогою диференціального числення?

Розрахувати розмір консервної банки заданого об’єму V см³, за умови, що на її виготовлення, витрачається найменша кількість жесті.

V. Обговорення задач прикладного характеру.(колективне розв’язування)

Задача 1.Розрахувати розмір консервної банки заданого об’єму V см³, за умови, що на її виготовлення, витрачається найменша кількість жесті.

1-ий етап. Моделювання

Позначимо діаметр основи банки через х, висоту через h. Тоді повна поверхня банки: оскільки об’єм відомий, то , подамо S через змінну х:

де х>0.

. Знайти найменше значення S(x), де x>0.

2-ий етап. Розв’язування всередині математичної моделі

1)

2)

Отже найменше значення поверхня набуває, коли

3-ий етап. Критичне осмислення отриманого результату

Коли то повна поверхня буде найменшою, тоді тобто висота дорівнює діаметру основи, а це означає, що осьовий переріз має форму квадрата, при цьому витрати жесті для виготовлення консервної банки будуть мінімальні.

V. Підсумок уроку

Висновок: Перш ніж будь-яке явище природи або процес економічного, сільсько - господарського характеру піддати математичному вивченню, його необхідно спростити. Потім здійснити моделювання цих процесів, що можна зробити  слідуючим чином:

1) перевести задачу на мову математики;

2) сконструювати математичну задачу;

3)  виділити провідну математичну ідею;

4) критично осмислити результати.   

VІ. Домашнє завдання.

Поділ учнів на чотири групи. Кожна група отримує додому одну з чотирьох задач, учням, що знають математику на високому рівні, пропоную розв’язати задачу №1*

1.Залежність пройденого тілом шляху S від часу t дається рівнянням:
    S=A+Bt+Ct²+Dt³, де С= 0,14, D= 0,01. Через який час після початку руху

    тіло буде мати прискорення, рівне 1 м/с²?
2.Робота, що виконується при стисканні пружини на величину х задається

   рівнянням: А(х) = 230х+2х³. Яка сила пружності виникає в пружині при її         стисканні на 2см?
3. Заряд в провіднику опором 2 Ом змінюється з часом за законом q(t) =5t-2t²+4t³.  Визначити напругу на кінцях провідника через 2с після початку відліку часу.
4.  Кулька масою 5г коливається відповідно закону  х =0,04cos(2ωt+05)
Період коливань π секунд. Чому дорівнює максимальне значення сили, що діє на кульку?