Криві другого порядку

Рівняння кола з центром у початку координат і радіусом (канонічне рівняння кола)

                                              .

Рівняння   кола  з  центром  у  точці      і  радіусом  

Рівняння  еліпса,  осі  якого   співпадають   з   осями   координат  і 

який має півосі та (канонічне рівняння еліпса)

Рівняння еліпса, осі якого паралельні осям координат і який має

півосі та   і центр у точці

, – фокуси еліпса;

– велика піввісь;     – мала піввісь;

; – зв’язок між ,, і ;

– ексцентриситет еліпса;

– директриси еліпса;

Рівняння гіперболи, осі якої співпадають з осями координат і яка

має півосі та (канонічне рівняння гіперболи)

Рівняння  гіперболи,  осі  якої  паралельні осям координат  і  яка

має півосі та і центр в точці

F₁(-c;o), F₂(c;o) – фокуси гіперболи;

А₁(-а;о), А₂(а;о) – вершини гіперболи;

А₁А₂ = 2а – дійсна вісь гіперболи;

, зв’язок між а, b і с;   

– асимптоти гіперболи;

– ексцентриситет гіперболи;

дійсною віссю якої є відрізок осі оу довжиною 2b ;

– рівняння директрис.

Рівняння параболи з вершиною в початку координат і віссю, яка співпадає з додатною піввіссю

де – параметр параболи.

Якщо   вершина   параболи   має   координати   ,   а   вісь

паралельна до осі , то рівняння параболи має вигляд

–директриса параболи;

– фокус параболи.

Вправи для самостійного розв’язання

1.  Знайти координати центра і радіус кола, заданого рівнянням .

2.  Знайти рівняння кола, що проходить через точку і має центр .

3.  Знайти рівняння кола, якщо точки і є кінцями одного з його діаметрів.

4.  Знайти рівняння еліпса, осі якого співпадають з осями координат і який проходить через точки та .

5.  Знайти координати центра і півосі еліпса, заданого рівнянням .

6.  Знайти рівняння гіперболи, осі якої співпадають з осями координат і яка проходить через точки та .

7.  Знайти координати центра і півосі гіперболи, заданої рівнянням .

8.  Знайти рівняння параболи, вершина якої знаходиться у початку координат, а вісь співпадає з віссю , і яка проходить через точку .

9.  Знайти рівняння параболи, вершина якої знаходиться в точці , а вісь паралельна до осі , і яка проходить через точку .

10.  Знайти координати вершини і параметр параболи, заданої рівнянням .

    11. Записати канонічне рівняння кривої другого порядку та знайти її параметри.

 а)

б)

в)

г)

д)

е)

є)

ж)

12. Дано еліпс . Знайти: а) його півосі;  б) фокуси;  в)ексцентриситет;   г) рівняння директрис.

13.Дано гіперболу . Знайти:  а) півосі і ; б) фокуси; в)ексцентриситет;  г) рівняння асимптот;  д) рівняння директрис.

14. Знайти фокус і рівняння директриси параболи .