Квадратна нерівність. Графічний спосіб розв'язування квадратних нерівностей.

Квадратна нерівність. Графічний спосіб розв'язування квадратних нерівностей. Заняття № 5

Вивчаючи тему, ви дізнаєтесь:

Крім чисто наукового інтересу квадратична функція та побудова її графіка мають своє практичне застосування: побудова графіка квадратичної функції є одним із засобів розв'язування нерівностей відповідного виду. Такі нерівності мають назву квадратних нерівностей (або нерівно­стей другого степеня).

Нерівності виду ах2 + bх + с > 0 (<0; ≥ 0; ≤ 0) називаються квадратними, якщо а = 0. Приклади квадратних нерівностей: 3х2 – 2х – 1 > 0, x2 – 9 ≥ 0, х2 – 2х < 0, -х2 > 0 .

Для розв'язування квадратних нерівностей використовують ескіз графіка квадратичної функції у = ах2 + bх + с . Для побудови ескізу достатньо знати, куди напрямлені вітки параболи - вгору чи вниз, та абсциси точок перетину з віссю Ох.xx1x2 Ескіз

xx1x2 Розглянемо, що може бути розв‘язком квадратної нерівності на прикладі нерівності ax2+bx+c 0.x2x11. Проміжок x[x1;x2]x1x5. Порожня множина x x4. x(-; +)x2. Об'єднання проміжків x(-;x1] [x2; +)x3. Число x = x1

Розв‘язок будь-якої квадратної нерівності можна звести до одного з випадків, розглянутих в таблицях.

Алгоритм розв'язування квадратних нерівностей (графічний спосіб).1. Визначити напрямок віток параболи в залежності від знака коефіцієнта а.2. Знайти дискримінант D , а потім корені квадратного тричлена (якщо вони існують).3. Побудувати ескіз графіка квадратичної функції у = ах2 + bх + с (з урахуванням знака коефіцієнта а та знай­деного знака дискримінанта D і коренів). !!! Для випадку > 0 відповідно отримаємо проміжок, для якого точки параболи лежать вище осі Ох, для випадку < 0 відпо­відно отримаємо проміжки, для яких точки параболи лежать нижче осі Ох.4. Записати відповідь.

Розглянемо розв‘язок квадратної нерівності 2x2-7x+6 0.1,5x  𝑦=2𝑥2−7𝑥+6 1)Вітки параболи напрямлені вгору, оскільки 𝑎=2>0. 2) 𝑦=0,  2𝑥2−7𝑥+6=0𝐷=𝑏2−4𝑎𝑐=49−48=1𝐷=1𝑥1=−𝑏−𝐷2𝑎=7−12∙2=1,5 𝑥2=−𝑏+𝐷2𝑎=7+12∙2=2 Відповідь: x(-;1,5] [2; +)  2++

Розглянемо розв‘язок квадратної нерівності  −𝟗𝒙𝟐+𝟏𝟐𝒙−𝟒<𝟎.  𝑦=−9𝑥2+12𝑥−4 1)Вітки параболи напрямлені вниз, оскільки 𝑎=−9<0.2) 𝑦=0, −9𝑥2+12𝑥−4=0 – – 𝐷=𝑏2−4𝑎𝑐=144−144=0x=−𝑏2𝑎=−12−18=23 Відповідь: x(-; 𝟐𝟑 )  (𝟐𝟑 ; +) x23 

Розглянемо розв‘язок квадратної нерівності  𝒙𝟐−𝟑𝒙+𝟒>𝟎. y = 𝑥2−3𝑥+41)Вітки параболи напрямлені вгору, оскільки 𝑎=1>0.2) 𝑦=0,  𝑥2−3𝑥+4=0 𝐷=𝑏2−4𝑎𝑐=9−16=−7 𝐷<0, рівняння коренів не має . Графік функції не перетинає вісь Ох. + + Відповідь: x(-; +) x

Розглянемо розв‘язок квадратної нерівності  −𝒙𝟐+𝟒𝒙−𝟓>𝟎. y = −𝑥2+4𝑥−51)Вітки параболи напрямлені вниз, оскільки 𝑎=−1<0.2) 𝑦=0,  −𝑥2+4𝑥−5=0 + 𝐷=𝑏2−4𝑎𝑐=16−20=−4 𝐷<0, рівняння коренів не має . Графік функції не перетинає вісь Ох. Для будь-якого x з області визначення у<0. Відповідь: x  x

Дякую за увагу!