Квадратна нерівність. Графічний спосіб розв'язування квадратних нерівностей

Квадратна нерівність. Графічний спосіб розв'язування квадратних нерівностей

НЕРІВНОСТІ ЛІНІЙНІКВАДРАТНІ РАЦІОНАЛЬНІІРРАЦІОНАЛЬНІ

ПРИГАДАЙТЕ

ЛІНІЙНІ НЕРІВНОСТІОзначення: Запис виду a > b; а ≥ b або а < b; а ≤ b називається нерівністю. Нерівності виду а ≥ b, а ≤ b називаються нестрогими. Нерівності виду a > b, a < b називаються строгими.

ЛІНІЙНІ НЕРІВНОСТІПравило 1 Будь-який член нерівності можна переносити з одної частини нерівності в іншу, змінив його знак на протилежний, при цьому знак нерівності не зміниться.

Лінійні нерівностіПравило 2 Обидві частини нерівності можна помножити або поділити на одне й те саме додатне число, при цьому знак нерівності не зміниться.

Лінійні нерівностіПравило 3 Обидві частини нерівності можна помножити або поділити на одне й теж від'ємне число, при цьому знак нерівності зміниться на протилежний.

Квадратні нерівностіВизначення: Квадратною нерівністю називаютьнерівність, ліва частина якого −квадратний тричлен, а права частинадорівнює нулю: ах²+bх+с>0 ах²+bх+с≥0 ах²+bх+с<0 ах²+bх+с≤0

Логічна розминка. Ось Вам дві мо­нети ( 50 к. і 25 к.). Я вгадаю, у якій руці яка монета. Числове значення монети, яка у тебе у правій руці помнож на 4, а числове значення монети, що лежить у лівій руці, помнож на 7. Додай ці числа і скажи: парне чи непарне число ти отримав.

Що таке квадратна нерівність?Якщо лівою частиною нерівності є вираз виду ах²+bx+c , де а не дорівнює 0 , b, c — дані числа, а правою — нуль, то таку нерівність називають квадратною нерівністю. Квадратні нерівності зручно розв’язувати за допомогою графіків квадратичних функцій. Для цього треба:1) знайти корені тричлена ах²+bx+c або з’ясувати, що їх немає;2) зобразити схематично графік функції у=ах²+bx+c , звертаючи увагу тільки на точки перетину з віссю Ox і напрям віток параболи залежно від знака коефіцієнта а;3) знайти на осі Ox проміжки, для яких виконується дана нерівність.

Нерівність, ліва частина якої є квадратний тричлен, а права – нуль, називають нерівністю другого степеня з однією змінною, або квадратною нерівністю.ах + вх + с2><0

Нерівності виду ах2 + bх + с > 0 (<0; ≥ 0; ≤ 0) називаються квадратними, якщо а = 0. Приклади квадратних нерівностей: 3х2 – 2х – 1 > 0, x2 – 9 ≥ 0, х2 – 2х < 0, -х2 > 0 .

Для розв'язування квадратних нерівностей використовують ескіз графіка квадратичної функції у = ах2 + bх + с . Для побудови ескізу достатньо знати, куди напрямлені вітки параболи - вгору чи вниз, та абсциси точок перетину з віссю Ох.xx1x2 Ескіз

Що може бути розв'язком квадратної нерівності?проміжок або об'єднання проміжківчислопорожня множина xx1x2xx1x2ax2+bx+c0xx2x1x[x1;x2]x(-;x1] [x2; +)x1x=x1xx xx(-; +)x

у = ах2 + вх + с Визначає напрямок віток параболи. Ордината точки перетину з віссю Оу. D= в2 -4ас Наявність і кількість нулів функції

Графічний спосіб. Розв'язування квадратної нерівності як дослідження квадратичної функції. З'ясування при яких значеннях х функція набуваєдодатного (невід'ємного)або від'ємного (не додатного) значення

Будуємо зображення параболи відносно осі ОХ. а) знаходимо нулі функції;- х² + 5х – 6 > 0- х² + 5х – 6 = 0x´=2, x´´=3б) визначаємо розміщення віток параболи.а>0, вітки направлені вверха<0, вітки направлені вниз

23( 2; 3 )

Нерівності. Розв'язування квадратних нерівностей

Приклад квадратної нерівності На ескізі графіка функції у=2х²-7х+6(див. рисунок) знайдемо проміжки, на яких у>0. Відповідь: (-∞;1,5)U(2;+∞).

 Вітки - вгору х(х-3) = 0х = 0; х = 3х 03 Вітки - вгорух = 0; х = -5х -50х(х+5) = 0  № 477 Письмово

 Вітки - униз х(х+7) = 0х = 0; х = -7х -70№ 477 Вітки - унизх = 0; х = 8х08х(х-8) = 0   Письмово

 Вітки - угору  х = -4; х = 4х -44№ 479 Вітки - угорух = 2; х = -2х-22(х-2)(х+2) = 0   Письмово

№ 479 Вітки - унизх = 5; х = -5х-55(х-5)(х+5) = 0   Вітки - унизх = 1; х = -1х-11(х-1)(х+1) = 0   Письмово

І) а) - 3х² - 5х - 2<0; б) 4 х² +4х +1>0; в) 4 х² +4х +1≤0; г) -2 х² +6х >0. Розв'язати нерівність:

Метод інтервалів1) Знаходимо нулі функції.- х² + 5х – 6 > 0x´=2, x´´=32) Позначаємо знайдені значення на координатній прямій.23

4) З'ясовуємо знаки утворених проміжків.23++_5) Вибираємо інтервал, на яких значення функції мають вказаний в умові знак.>0 знак +<0 знак

Розв'язати нерівність:ІІ) а) х² - 7х + 12 > 0; б) 4 х² + 12 х + 9 ≤ 0; в) - х² + 2 х + 15 > 0; г) - 5х² + 11 х - 6<0. І) а) (х -4)(х-6) <0; б) (х+8)(х+5) ≤ 0; в) (5 – х)(х+0,8)≥0; г) (2х -4)х > 0.

Метод “пелюстків”( х + 8 )(х – 2)( х +4)( х -0,5) > 0 Знаходимо нулі функції.2) Позначаємо знайдені значення на координатній прямій.- 8- 40,52

4) З'ясовуємо знаки утворених проміжків.- 8- 40,52+++__5) Вибираємо інтервал, на яких значення функції мають вказаний в умові знак.>0 знак +<0 знак_

(х – 2)²(х² - 8х+ 7)(х + 5)³ ≤ 0 Знаходимо нулі многочлена: -5, 1, 2, 7 і позначаємо на прямій і визначаємо знаки проміжків 721- 5++++____і

Розв'язати нерівність:І) а) (x-5)³(x+7)(x-1)>0; б) (x+8)(x-1,2)²(x+1)<0в) (9 –х)(2х +4)(х -3)х² ≥0ІІ) а)

124563

Розв‘язок будь-якої квадратної нерівності можна звести до одного з випадків, розглянутих в таблицях.

xx1x2 Розглянемо, що може бути розв‘язком квадратної нерівності на прикладі нерівності ax2+bx+c 0.x2x11. Проміжок x[x1;x2]x1x5. Порожня множина x x4. x(-; +)x2. Об'єднання проміжків x(-;x1] [x2; +)x3. Число x = x1

14532 Аа>0 с<0 D>0 Ба<0 с<0 D<0 Ва>0 с=0 D=0 Га>0 с>0 D=0 Да<0 с=0 D>012345

Алгоритм розв'язування квадратних нерівностей (графічний спосіб).1. Визначити напрямок віток параболи в залежності від знака коефіцієнта а.2. Знайти дискримінант D , а потім корені квадратного тричлена (якщо вони існують).3. Побудувати ескіз графіка квадратичної функції у = ах2 + bх + с (з урахуванням знака коефіцієнта а та знай­деного знака дискримінанта D і коренів). !!! Для випадку > 0 відповідно отримаємо проміжок, для якого точки параболи лежать вище осі Ох, для випадку < 0 відпо­відно отримаємо проміжки, для яких точки параболи лежать нижче осі Ох.4. Записати відповідь.

Що таке квадратний тричлен?Квадратним тричленом називається многочлен виду ах²+bx+c , де x — змінна, a, b і c — деякі числа, причому а не дорівнює 0 . Коренем квадратного тричлена називається таке значення змінної, яке перетворює квадратний тричлен на 0. Щоб знайти корені квадратного тричлена, треба розв’язати квадратне рівняння ах²+bx+c=0. Теорема. Якщо х1 і х2- корені квадратного тричлена ах²+bx+c, то ах²+bx+c=а(х-х1)(х-х2) Приклад: 2х2+7х-4=0; а=2;b=7; с=-4; D=b2-4ac=49-4•2•-4=49+32=81=9; х1=0,5; х2=-4;

Рівняння, що зводяться до квадратних. Рівняння виду ах4+bx2+с=0,де а не дорівнює 0, називається біквадратним. Для його розв’язання вводять нову змінну: х2=у, у≥0. Приклад: 4х4-25х2+144=0;Нехай х2=у, у≥0; у2-25у+144=0;Розв’язавши це квадратне рівняння, знайдемо: у1=9; у=16; у=9; у=16; х2=9; х2=16; х1=3, х2=-3, х3=4, х4=-4;Відповідь: х1=3, х2=-3, х3=4, х4=-4;

Розв’язування систем рівнянь. Розглянемо системи рівнянь, в яких одне або обидва рівняння другого степеня. Щоб розв’язати систему рівнянь графічним способом, треба побудувати в одній системі координат графіки обох рівнянь системи й знайти координати точок перетину графіків. Ці точки і будуть розв’язками системи рівнянь. Наприклад: Графіком першого рівняння є коло з центром в точці О(0;0) і радіусом 5 одиничних відрізків. Графік другого рівняння — парабола, вітки якої напрямлені вниз. Точки перетину з осями координат: (0; 5); Система має чотири розв’язки: Перевірка показує, що третій і четвертий розв’язки точні, а не наближені.

х -58 Вітки - вгору. За теоремою Вієтах₁ = -5; х₂ = 8  № 481 Вітки - вгорух₁ = 3; х₂ = 5х35   За теоремою Вієта. Письмово

№ 481 Вітки - унизх₁ = -1; х₂ = 7х-17  За теоремою Вієта Вітки - унизх₁ = -1; х₂ = -4х-4-1  За теоремою Вієта Письмово

Графічний спосіб. Розв'язування квадратної нерівності як дослідження квадратичної функції. З'ясування при яких значеннях х функція набуваєдодатного (невід'ємного)або від'ємного (не додатного) значення

Що таке квадратична функція?Квадратичною функцією називається функція, яку можна задати формулою виду ах²+bx+c, де x — незалежна змінна, a, b, c — довільні числа, причому а не дорівнює 0. Графіки функцій ах²+bx+c і ах² — рівні параболи, які можна сумістити паралельним перенесенням. Приклад: У=1,9х2-22х-3,1; 

Графічний спосіб. Розв'язування квадратної нерівності як дослідження квадратичної функції. Наприклад:- х² + 5х – 6 > 0 Будуємо зображення параболи відносно осі ОХ.( для цього) а) знаходимо нулі функції;x´=2, x´´=3б) визначаємо розміщення віток параболиа<0, вітки направлені вниз23 Відповідь:( 2; 3 )в) Записуємо відповідь за знаком < або > даної нерівностіЯкщо у>0, то знаходимо відповідний х є (2;3)

Схема побудови квадратичної функціїПри побудові параболи користуються такими загальними формулами та властивостями квадратичної функції.1. Напрям віток параболи залежить від знака коефіцієнта a .а<0, вітки параболи напрямлені вниз.а>0 вітки параболи напрямлені вгору.2. Точки перетину параболи з осями координат є такими: Абсциса точки перетину параболи з віссю Oy дорівнює 0, тоді ,у(0)=с,(0;с) . Ордината точок перетину параболи з віссю Ox дорівнює 0, тоді, щоб знайти абсциси цих точок, треба розв’язати квадратне рівняння ах²+bx+c=0.3. Координати вершини параболи у=ах²+bx+c; Аналізуємо:1.)D(y); хєR(-∞;+∞) 2.)Е(у); ує [0;+∞) а>0 ує(-∞;0] а<0 3.)х=0; у=0 (0;0)-пер.3ох 3оу4.) Точки перетину графіка з осями координат. 5.)Зростання ;спадання6.)Найбільше,найменше значення функції min;max.

Розглянемо розв‘язок квадратної нерівності 2x2-7x+6 0.1,5x  𝑦=2𝑥2−7𝑥+6 1)Вітки параболи напрямлені вгору, оскільки 𝑎=2>0. 2) 𝑦=0,  2𝑥2−7𝑥+6=0𝐷=𝑏2−4𝑎𝑐=49−48=1𝐷=1𝑥1=−𝑏−𝐷2𝑎=7−12∙2=1,5 𝑥2=−𝑏+𝐷2𝑎=7+12∙2=2 Відповідь: x(-;1,5] [2; +)  2++

Приклад квадратичної функціїПобудувати графік функції у=х2-4х+3;1.)х>0 вітки параболи напрямлені вгору.2.)Вершини (-2;-1)3.)(1;0),(3;0)Аналізуємо: у1.)D(y) хєR(-∞;+∞)2.)Е(х) ує(-1;-∞) 2 3.)у=0 при х=1 і х=3;х=0 при у=3; -1 х 4.)5.)(-∞;2)-зростає. (2;+∞)-спадає6.)х max= 2 y max=-1{5 C22544 A-7 EE6-4342-B048-85 BDC9 FD1 C3 A}х-1012345у830-1038

Розглянемо розв‘язок квадратної нерівності  −𝟗𝒙𝟐+𝟏𝟐𝒙−𝟒<𝟎.  𝑦=−9𝑥2+12𝑥−4 1)Вітки параболи напрямлені вниз, оскільки 𝑎=−9<0.2) 𝑦=0, −9𝑥2+12𝑥−4=0 – – 𝐷=𝑏2−4𝑎𝑐=144−144=0x=−𝑏2𝑎=−12−18=23 Відповідь: x(-; 𝟐𝟑 )  (𝟐𝟑 ; +) x23 

Розглянемо розв‘язок квадратної нерівності  𝒙𝟐−𝟑𝒙+𝟒>𝟎. y = 𝑥2−3𝑥+41)Вітки параболи напрямлені вгору, оскільки 𝑎=1>0.2) 𝑦=0,  𝑥2−3𝑥+4=0 𝐷=𝑏2−4𝑎𝑐=9−16=−7 𝐷<0, рівняння коренів не має . Графік функції не перетинає вісь Ох. + + Відповідь: x(-; +) x

Розглянемо розв‘язок квадратної нерівності  −𝒙𝟐+𝟒𝒙−𝟓>𝟎. y = −𝒙𝟐+𝟒𝒙−𝟓1)Вітки параболи напрямлені вниз, оскільки 𝒂=−𝟏<𝟎.2) 𝒚=𝟎,  −𝒙𝟐+𝟒𝒙−𝟓=𝟎 + 𝑫=𝒃𝟐−𝟒𝒂𝒄=𝟏𝟔−𝟐𝟎=−𝟒 𝑫<0, рівняння коренів не має . Графік функції не перетинає вісь Ох. Для будь-якого x з області визначення у<0. Відповідь: x  x

1)X²+x-30 < 0Δ=121  , √Δ=11 X1=(-1-11)/2=-6        , x2=(-1+11)/2=5---------o--------o------- >          Xxxxxxx        -6           5 X ∈ (-6;5)2) 2x²-50x>0  // :2   X²-25>0 X(x-5)>0 X1=0    ,  x2=5 Xxxxxxx         xxxxxx---------o--------o------- >          0       5 X ∈ (-∞;0) U (5;+∞)3)x²+10x+25 ≥0(x+5)² ≥0 X1,2=5------------*---------- >            5 X ∈ R4)3x²-x+2 ≤0Δ=1-24 < 0  коренів немаєX ∈ ∅5)(x+2)² < 13-(x-3)²X²+4x+4 < 13-x²+6x-92x²+10x< 0  // :2 X²+5x < 0 X(x-5)<0 X1=0  ,     x2=-5     -----o  --------o ----     -5  xxxxx 0 X∈ (-5;0)

1. Г2. Б3. В

Вітки - вгорух(х−6) = 0х = 0; х = 6х 061) х2−6х < 0 х2−6х = 0 Вітки - вгорух(х+2) = 0х = 0; х = -2х -202) х2+2х ≥ 0 х2+2х = 0 № 478 Перевіряємо Д/З

Вітки - унизх(х-7) = 0х = 0; х = 7х 073) -х2+7х > 0 х2-7х = 0 Вітки - унизх(х+1) = 0х = 0; х = -1х -104) -х2-х ≤ 0 х2+х = 0 № 478 Перевіряємо Д/З

 Вітки - вгору(х+10)(х−10) = 0х = -10; х = 10х-10102) х2−100 ≤ 0  № 480 Перевіряємо Д/ЗВітки - вгору(х+6)(х−6) = 0х = -6; х = 6х-661) х2−36 > 0   

 Вітки - униз(х+3)(х−3) = 0х = -3; х = 3х-334) 9−х2 ≥ 0  № 480 Перевіряємо Д/ЗВітки - униз(х+8)(х−8) = 0х = -8; х = 8х-883) -х2+64 < 0   

Метод інтервалів. Розв`яжемо нерівність (х+3)(х+2)(х-6)<0;Знайдемо нулі функції. (х+3)(х+2)(х-6)=0;Х+3=0; х+2=0; х-6=0;Х=-3; х=-2; х=6; - + - + -3 -2 6 Відмітимо знаки функції на утворених проміжках (на крайньому праворуч знак +, на решті проміжків - такі знаки, щоб, рухаючись справа на ліво, ці знаки чергувались). Множиною розв`язків нерівності є об`єднання проміжків (-∞;-3) і (-2;6)Відповідь: (-∞;-3)U(-2;6)

Метод інтервалів1) Знаходимо нулі функції.- х² + 5х – 12> 0x´=3, x´´=42) Позначаємо знайдені значення на координатній прямій.34

4) З'ясовуємо знаки утворених проміжків.34++_5) Вибираємо інтервал, на яких значення функції мають вказаний в умові знак.>0 знак +<0 знак

Метод “пелюстків”( х + 6 )(х – 2)( х +4)( х -0,5) > 0 Знаходимо нулі функції.2) Позначаємо знайдені значення на координатній прямій.- 6- 40,52

4) З'ясовуємо знаки утворених проміжків.- 6- 40,52+++__5) Вибираємо інтервал, на яких значення функції мають вказаний в умові знак.>0 знак +<0 знак_

(х – 2)²(х² - 8х+ 7)(х + 5)³ ≤ 0 Знаходимо нулі многочлена: -5, 1, 2, 7 і позначаємо на прямій і визначаємо знаки проміжків 721- 5++++____і

Математичний диктант Користуючись рисунком із зображенням графіка функції, у=х²-2х-3, записати множини розв'язків нерівностей у завданнях 1-4х²-2х-3>0х²-2х-3≥0х²-2х-3<0х²-2х-3≤0

Математичний диктант. Користуючись рисунком із зображенням графіка функції, у=х²-2х+1, записати множини розв'язків нерівностей у завданнях 1-45. х²-2х+1<06. х²-2х+1≥07. х²-2х+1≤0

Математичний диктант. Відповіді:

Вітки - вгору. За теоремою Вієта:х = 3; х = 4х 341) х2-7х+12 ≤ 0 х2-7х+12 = 0 Вітки - вгору. За теоремою Вієта:х = -4; х = 6х -462) х2-2х-24 > 0 х2-2х-24 = 0 № 482 Перевіряємо Д/З

Вітки - униз. За теоремою Вієта:х = -3; х = 2х -323) -х2-х+6 ≥ 0 х2+х-6 = 0 Вітки - униз. За теоремою Вієта:х = -2; х = 5х -254) -х2+3х+10 < 0 х2-3х-10 = 0 № 482 Перевіряємо Д/З

Розв'язати нерівність:х2 – х – 6 ≥ 0;х2 + 3х – 4 ≤ 0;х2 + 4х > 0.style.colorfillcolorfill.type

1.х-23х є (-∞;-2]U[з;∞)2.-41хх є [-4;1]3.-40хх є (-∞;-4)U(0;∞)

1. Розглянемо функцію у=-х2+8х-12. 3. Нулі функції: -х2+8х-12=0 Відповідь:4. Ескіз графіка функції///////////////////2. Графіком функції є парабола, вітки якої напрямлені вниз, оскільки а=-1, -1<0. Y ≥ 0 , якщо x Є[2;6]x26[2;6]Розв'язати нерівність - x2 +8x-12 ≥ 0 Розв'язання

 Вітки - вгору(х+10)(х−10) = 0х = -10; х = 10х-10102) х2 >100  х2−100 > 0 № 485 Письмово. Вітки - вгору(х+2)(х−2) = 0х = -2; х = 2х-221) х2< 4   х2−4 < 0

№ 485 Письмово. Вітки - вгорух(х−7) = 0х₁ = 0; х₂ = 7х07    Вітки - унизх(х−3) = 0х₁ = 0; х₂ = 3х034) -х2 >-3х -х2+3х > 0 х2-3х = 0

№ 489 Письмово. Вітки - униз. За теоремою Вієта:х = -4; х = 3х-43  -х2-х+12 > 0х2+x−12 = 0 Вітки - вгору. За теоремою Вієта:х = -3; х = 1х-31 х2+2x−3 ≥ 0х2+2x−3 = 0 

№ 493 Письмово. Вітки - вгоруx = (5+1)/4 = 1,5х11,51) 2х2−5х+3 ≤ 0  D = 25–4·2·3 = 12х2−5х+3 = 0 x = (5–1)/4 = 1х = 1 Вітки - унизx = (9+7)/4 = 4х0,542) 9х−2х2−4 ≥ 0  D = 81–4·2·4 = 492х2−9х+4 = 0 x = (9–7)/4 = 0,5х = {1;2;3;4}

Знайти помилку

Знайти помилку

Розв'язати нерівність:1. (5х + 7)(х – 2)< 2х2 – - 11х – 13; 2. -х2 – 1/3х – 1/36 < 0

Відповіді: Х є ( - ∞; ¼) U (¼; + ∞);2. Х є ( - ∞; -1/6) U (1/6; + ∞);

Знайти область визначення функції:у = √12х – 3х2;у = ______1_________ √2х2 – 12х + 18

Відповіді: D(у) = [ 0; 4]2. D(у) = ( - ∞; 3) U (3; + ∞);

Знайти помилку

Дякую за увагу!