Лабораторія життєвих кейсів: PISA-підхід .Площі у повсякденні.

Геометрія 11 клас Циліндр , конус ,куля .

Лабораторія життєвих кейсів: PISA-підхід .Площі у повсякденні.

• Кейс 1 (Група «Архітектори»): «Дизайнерський дах»
  Завдання: Необхідно покрити металочерепицею дах вежі, що має форму конуса. Висота даху 3 м, а діаметр основи — 8 м. Скільки квадратних метрів матеріалу потрібно замовити, якщо на підрізання та шви додається 10% від площі даху?

  • Розвиток логіки (Традиція): Учні мають здогадатися, що дах — це лише кришка, тому нижня основа конуса нам не потрібна. Шукаємо тільки бічну поверхню.

  • Розв'язок: Якщо \(D = 8\) м, то \(R = 4\) м. За теоремою Піфагора твірна \(L = \sqrt{3^2 + 4^2} = 5\) м.
    \(S_{\text{біч}} = \pi \cdot R \cdot L = \pi \cdot 4 \cdot 5 = 20\pi \approx 20 \cdot 3,14 = 62,8\) м².
    З урахуванням 10% запасу: \(62,8 \cdot 1,1 = 69,08\) м².

• Кейс 2 (Група «Логісти/Технологи»): «Захист резервуара»
  Завдання: На нафтобазі необхідно пофарбувати захисною емаллю зовнішню частину наземного циліндричного резервуара. Висота резервуара становить 5 м, а радіус основи — 3 м. Скільки банок фарби знадобиться, якщо одна банка розрахована на покриття 15 м² поверхні?

  • Розвиток логіки (Пастка життєвого контексту): Оскільки резервуар стоїть на землі, його дно фарбувати не потрібно! Отже, фарбуємо лише бічну поверхню та одну (верхню) основу.

  • Розв'язок: \(S_{\text{фарбування}} = S_{\text{біч}} + S_{\text{осн}} = 2\pi RH + \pi R^2\)
    \(S = 2\pi \cdot 3 \cdot 5 + \pi \cdot 3^2 = 30\pi + 9\pi = 39\pi \approx 39 \cdot 3,14 = 122,46\) м².
    Рахуємо банки фарби: \(122,46 : 15 = 8,164\).
    Математичний висновок: Округлюємо в більшу сторону з життєвої логіки, щоб фарби вистачило. Потрібно купити 9 банок.

📥 Додаткові завдання для практичного блоку учнів

🔹 Бліц-картки (Для самостійної експрес-роботи або «розігріву»)

Ці завдання учні розв'язують усно або у два рядки, закріплюючи базові поняття.

• Завдання 4 (Елементи сфери): Гіпотенуза прямокутного трикутника дорівнює 10 см. Цей трикутник вписано у сферу так, що всі його вершини лежать на її поверхні. Знайдіть радіус сфери, якщо відстань від її центра до площини трикутника дорівнює 12 см.

  • Підказка учням: Навколо прямокутного трикутника описано коло, радіус якого дорівнює половині гіпотенузи (\(r = 5\) см). Центр сфери, центр кола та вершина трикутника утворюють прямокутний трикутник. За теоремою Піфагора радіус сфери \(R = \sqrt{12^2 + 5^2} = \sqrt{144 + 25} = 13\) см.

  • Відповідь: 13 см.

• Завдання 5 (Площа сфери): Як зміниться площа поверхні кулі (сфери), якщо її радіус збільшити у 3 рази?

• Пастка НМТ: Багато учнів автоматично відповідають «у 3 рази». Але площа залежить від квадрата радіуса (\(R^{2}\)). Отже, площа збільшиться в \(3^2 = 9\) разів.

• Відповідь: Збільшиться в 9 разів.

👥 Парний тренажер «Знайди помилку» (Робота в парах)

Чудовий інтерактивний прийом для НУШ. На екрані з'являється розв'язок задачі, виконаний «неуважним учнем». Пара має знайти математичну помилку.

• Завдання 6: Умова: Радіус основи циліндра дорівнює 5 см, а висота — 4 см. Знайдіть площу повної поверхні.

• Розв'язок «неуважного учня»: \(S_{\text{повн}} = S_{\text{біч}} + S_{\text{осн}} = 2\pi \cdot 5 \cdot 4 + \pi \cdot 5^2 = 40\pi + 25\pi = 65\pi\) см².

• Де помилка? Учень забув, що у циліндра дві основи! Формула має бути: \(S_{\text{повн}} = S_{\text{біч}} + 2S_{\text{осн}}\).

• Правильний розв'язок: \(40\pi + 2 \cdot 25\pi = 90\pi\) см².

🌟 Завдання підвищеної складності (Для сильних учнів / Рівень 190+ на НМТ)

Поки весь клас працює над базовими задачами, 2-3 сильних учні можуть розв'язувати це завдання біля бічної дошки.

• Завдання 7 (Комбінація тіл): У циліндр вписано кулю (куля дотикається до основ та бічної поверхні циліндра). Знайдіть відношення площі повної поверхні циліндра до площі поверхні кулі.

• Математичний інсайт (Традиція): Якщо кулю вписано в циліндр, то висота циліндра дорівнює діаметру кулі (\(H = 2R\)), а радіус основи циліндра дорівнює радіусу кулі (\(R\)).

• Крок 1: Площа кулі \(S_{\text{кулі}} = 4\pi R^2\).

• Крок 2: Площа повної поверхні циліндра:
  \(S_{\text{цил}} = 2\pi R \cdot H + 2\pi R^2 = 2\pi R \cdot (2R) + 2\pi R^2 = 4\pi R^2 + 2\pi R^2 = 6\pi R^2\).

• Крок 3: Знаходимо відношення: \(\frac{S_{\text{цил}}}{S_{\text{кулі}}} = \frac{6\pi R^2}{4\pi R^2} = \frac{6}{4} = 1,5\).

• Відповідь: 1,5 (або 3:2).