Опорні схеми. Лінійні рівняння та їх системи

Тема 3. Лінійні рівняння та їх системи. Рівняння та його розв'язки Рівняння: 3 (х – 4) = 24, при х = 12 3 (12 - 4) = 24 3 · 8 = 24 24 = 24 х = 12 - розв‘язок рівняння Рівняння – це рівність, яка містить змінну Розв'язок рівняння – це значення змінної, при якому рівняння перетворюється у правильну рівність Розв'язати рівняння – це означає знайти його розв'язки або довести, що їх немає Рівносильні рівняння – це рівняння, які мають одні і ті самі роз'язки 3 (х - 4) = 24 і 3х = 36 рівносильні рівняння, їх ров'язок х = 12 34

Деякі властивості рівнянь Якщо з однієї частини рівняння перенести доданки в іншу частину і при цьому змінити знаки доданків на протилежні, отримаємо рівняння, рівносильне даному При діленні ( множенні ) обох частин рівняння на одне і те саме число, отримаємо рівняння, рівносильне даному 3х – 4 + 5х =36; 3х + 5х = 36 + 4; 8х = 40. поділимо обидві частини рівняння на 8: х = 5 – це рівняння рівносильне 8х = 40, їх ров'язок 5 35

Лінійні рівняння Рівняння виду ax = b, де х – змінна, a і b – деякі числа, називається лінійним Розв'язок Лінійні рівняння Не лінійні рівняння 2х = 6; -3,5х + 4 = 7,5; 4 - 5х = 6х + 1; 8х = 0. 36

Розв'язання лінійних рівнянь ax = b a ≠ 0, b – будь-яке число a = 0, b ≠ 0 a = 0, b = 0 x = єдиний розв'язок 0х = - b, немає розв'язків 0х = 0, безліч розв'язків 9х + 3 = 0; 9х = -3; х = -⅓ 0х = -10; -10 на 0 поділити неможливо 7х = 7х; 7х – 7х = 0; 0х = 0, х - будь-яке число 37

Лінійні рівняння з двома змінними Рівняння виду ax +bу+с=0, де х і у – змінні, a, b, с – деякі числа, називається лінійним рівнянням з двома зміннимим Лінійні рівняння з двома змінними Не лінійні рівняння з двома змінними х + 2у - 3 = 0 ; 2х – 3у = -5; 0х + 2у +3=0; 4х +0у +0 =0. 39

Розв'язок лінійного рівняння з двома змінними Будь-яка пара чисел (х;у), яка перетворює рівняння на тотожність Пара (1;2) – розв'язок рівняння, тобто при х = 1, у = 2, отримуємо 1 + 2·2 = 5; 5 = 5 – правильна рівність х + 2у = 5 - рівняння Пара (2;1) – не є розв'язком, оскільки при х = 2, у = 1, отримуємо 2 + 2·1 = 5; 4 = 5 – не правильна рівність Розв'язати рівняння – це означає знайти всі пари чисел (х;у), які є його розв'язком 40

Графік лінійного рівняння з двома змінними ax + bу + с =0 a ≠ 0, b ≠ 0, с ≠ 0 a = 0, b ≠ 0, с ≠ 0 a ≠ 0, b = 0, с ≠ 0 а = 0, b = 0, с = 0 ax +by +c =0; by = - ax + c; 0x +by +c =0; by = - c; ax +0y +c =0; ах = - c; 0x +0y +0=0; Це лінійне рівняння. Графіком є пряма Графіком є пряма паралельна вісі абсцис Графіком є пряма паралельна вісі ординат Графіком є вся координатна площина 41

Побудова графіка лінійного рівняння з двома змінними 2х + у -1=0 0х +2у+4=0 0х +2у+0=0 х +0у -2=0 х +0у +0=0 2у = -4; у=-2. паралельно Ox 2у=0; у=0. вісь Оx х-2=0; х=2. паралельно Оy х = 0 вісь Оy х 0 1 у 1 -1 42

Системи лінійних рівнянь з двома змінними Система рівнянь – це два або кілька рівнянь у яких потрібно знайти всі спільні розв'язки Система двох лінійних рівнянь з двома змінними 2х – 3у = 9, 3х + 2у = 7. Розв'язком такої системи є множина пар чисел ( х;у ) пара чисел (3;-1) є розв'язком системи, бо 2·3 - 3·(-1) = 9 і 3·3 - 2·(-1) = 7. 43

Розв'язки системи лінійних рівнянь Система Не має розв'язків, якщо Має єдиний розв'язок, якщо Має безліч розв'язків, якщо 44

Розв'язки системи лінійних рівнянь. Приклади. 3х – 4у =15, 6х – 8у = 11. 3х – 4у =13, х + у = 9. 3х – 4у =15, 6х – 8у = 30. розв'язків немає єдиний розв'язок (7; 2) безліч розв'яків 45

Типи систем лінійних рівнянь з двома змінними Жодної точки, жодної точки. 0х + 0у = 1, 0х + 0у =2. Система не має розв'язків 1) 2) 3) 4) Вся площина, жодної точки. 0х + 0у = 0, 0х + 0у =-1. Система не має розв'язків Вся площина, вся площина. 0х + 0у = 0, 0х + 0у =0. Система має безліч розв'язків Жодної точки, пряма. 0х + 0у = 6, 2х + 3у =5. Система не має розв'язків 46

Типи систем лінійних рівнянь з двома змінними Вся площина, пряма. 0х + 0у = 0, 2х + 7у =2. Розв'язок – координати будь-якої точки прямої 5) 6) 7) 8) Дві прямі,що перетинаються х + у = 0, х + 3у =-4. Дві паралельні, прямі. х + у = 0, х + у =1. Дві прямі, які співпадають. х + у = 0, 2х + 2у =0. Розв'язок – координати точки перетину прямих Система не має розв'язків Розв'язок – координати будь-якої точки прямої 47

Способи розв'язування систем. Спосіб підстановки. х + 3у = 15. 3х - 4у = 6. КРОК 1 КРОК 2 КРОК 3 Виразимо з першого рівняння змінну х і підставимо в друге: Розв‘яжемо друге рівняння: Підставимо отримане значення у в перше рівняння системи: х = 15 – 3у, 3(15 – 3у) – 4у = 6. 45 – 9у – 4у = 6; 13у = 6 – 45; 13у = - 39; у = 3. х = 15 - 3·3, у = 3. х = 6, у = 3. Відповідь: ( 6;3 ) 48

Способи розв'язування систем. Спосіб додавання. Способом додавання зручно додавати системи, у яких коефіцієнти при одній із змінних – протилежні числа. 2х + 2у = 15, х - 2у = - 3. КРОК 1 КРОК 2 КРОК 3 Додамо почленно обидва рівняння системи: 2х + 2у + х – 2у =15 – 3; 3х = 12; х = 4. Повернемось в систему і підставимо значення х=4 у друге рівняння системи: Розв'яжемо друге рівняння х = 4, х – 2у = - 3. х = 4, 4 – 2у = - 3. х = 4, 2у = 7. х = 4, у = 3,5. Відповідь: ( 4;3,5 ) 49

Способи розв'язування систем. Графічний спосіб. Для розв‘язування системи графічним способом будують графіки всіх рівнянь, які входять в систему. Координати точок перетину є розв‘язок цієї системи. 2х + 3у = 15, 3х - 4у = - 3. КРОК 1 КРОК 2 КРОК 3 Виразимо з першого рівняння у через х: Виразимо з другого рівняння у через х: 2х + 3у = 15; 3у = 15 – 2х; у = 5 - ⅔ х. х 0 3 у 5 3 3х – 4у = -3; 4у = 3х + 3; у = 0,75х + 0,75 х -1 3 у 0 3 Побудуємо графіки обох рівнянь: Відповідь: ( 3;3 ) 50