Логарифми та його властивості

Логарифмі його властивості27.02.2025

Проблемне питання𝟒𝒙=𝟏𝟔 𝟒𝒙=𝟔𝟒 Які саме числа будуть коренями цих рівнянь?𝟐 𝟑 𝟒𝒙=𝟓 Чи буде мати розв’язки це рівняння?𝑥 𝑦 𝐴 𝑥0 𝑥0;5 Що можемо сказати про «𝒙𝟎»? 𝒚=𝟒𝒙 𝒚=𝟓 Показник степеня, до якого треба піднести число 4, щоб отримати число 5𝐥𝐨𝐠𝟒𝟓 𝟒𝐥𝐨𝐠𝟒𝟓=𝟓 Отже, розв’язком рівняння 𝟒𝒙=𝟓 буде логарифм числа 𝟓 за основою 𝟒 Записується так: 𝐥𝐨𝐠𝟒𝟓 𝒂𝒙=𝒃 Які обмеження має рівняння 𝒂𝒙=𝒃? 𝒂>𝟎 𝒂≠𝟏 𝒃>𝟎 fillcolorfill.typefill.on

Логарифм і його властивостіЛогарифмом додатного числа 𝒃 з основою 𝒂, де 𝒂>𝟎 і 𝒂≠𝟏, називають показник степеня до якого потрібно піднести число 𝒂, щоб отримати число 𝒃 Означення𝐥𝐨𝐠𝒂𝒃 Основа завжди додатна та відмінна від одиниціЗавжди додатне𝒂>𝟎 𝒂≠𝟏 𝒃>𝟎 

Логарифм і його властивості𝟒𝟑=𝟔𝟒 Відомо. Знайти. Розв’язок𝟒 і 𝟑 𝟔𝟒 𝟒𝟑=𝟔𝟒 Степінь𝟔𝟒 і 𝟑 𝟒 𝟑𝟔𝟒=𝟒 Корінь𝟒 і 𝟔𝟒 𝟑 𝐥𝐨𝐠𝟒𝟔𝟒=𝟑 Логарифм. Як знайти число 64?Як знайти число 4?Як знайти число 3?

Логарифм і його властивостіОбчисліть𝐥𝐨𝐠𝟐𝟖 𝟑 𝟐𝟑=𝟖 𝐥𝐨𝐠𝟏𝟕𝟏𝟒𝟗 𝟐 𝟏𝟕𝟐=𝟏𝟒𝟗 𝐥𝐨𝐠𝟕𝟏𝟒𝟗 −𝟐 𝟕−𝟐=𝟏𝟕𝟐=𝟏𝟒𝟗 Поясніть, чому не існують:𝐥𝐨𝐠𝟑−𝟗 𝐥𝐨𝐠𝟕𝟎 𝐥𝐨𝐠𝟏𝟐−𝟒 Логарифм від’ємного числа і нуля не існує

Логарифми з власними назвами. Деякі логарифми використовували так часто, що їм дали власні назви. Десятковий логарифм. Натуральний логарифм𝐥𝐨𝐠𝟏𝟎𝒂= 𝐥𝐠 𝒂 𝐥𝐨𝐠𝒆𝒂= 𝐥𝐧𝒂 

Основна логарифміча тотожність𝒂𝒙=𝒃 𝒙=log𝒂𝒃  𝒂>𝟎 𝒂≠𝟏 𝒃>𝟎 Який робимо висновок?𝒂log𝒂𝒃=𝒃 𝟏𝟎𝐥𝐠 𝒃= 𝟏𝟎𝐥𝐠 𝒃=𝒃 𝐥𝐨𝐠𝒂𝟏= 𝐥𝐨𝐠𝒂𝟏=𝟎 𝐥𝐨𝐠𝒂𝒂= 𝐥𝐨𝐠𝒂𝒂=𝟏 Логарифм одиниці за будь-якою основою дорівнює нулю. Логарифм числа, яке збігається з основою, дорівнює одиниці𝟐log𝟐𝟑𝟐=𝟑𝟐 𝟓log𝟓𝟎,𝟒𝟓=0,45 𝟕log𝟕𝟒=4 𝟐log𝟐𝟑𝟐= 𝟓log𝟓𝟎,𝟒𝟓= 𝟕log𝟕𝟒= fillcolorfill.typefill.onfillcolorfill.typefill.onfillcolorfill.typefill.onfillcolorfill.typefill.onfillcolorfill.typefill.onfillcolorfill.typefill.on

Основні властивості логарифмів. Якщо 𝒙>𝟎, 𝒚>𝟎, 𝒂>𝟎 і 𝒂≠𝟏, то виконується рівність 𝐥𝐨𝐠𝒂𝒙𝒚=𝐥𝐨𝐠𝒂𝒙+𝐥𝐨𝐠𝒂𝒚 Теорема∀ 𝒂>𝟎, 𝒂≠𝟏 і 𝒙>𝟎, 𝒚>𝟎: «∀» - для будь-якого 𝐥𝐨𝐠𝒂𝒙𝒚=𝐥𝐨𝐠𝒂𝒙+𝐥𝐨𝐠𝒂𝒚 Логарифм добутку додатних чисел дорівнює сумі логарифмів множників. Якщо 𝒙>𝟎, 𝒚>𝟎, 𝒂>𝟎 і 𝒂≠𝟏, то виконується рівність 𝐥𝐨𝐠𝒂𝒙𝒚=𝐥𝐨𝐠𝒂𝒙−𝐥𝐨𝐠𝒂𝒚 𝐥𝐨𝐠𝒂𝒙𝒚=𝐥𝐨𝐠𝒂𝒙−𝐥𝐨𝐠𝒂𝒚 Логарифм частки додатних чисел дорівнює різниці логарифмів діленого і дільника. Логарифм добутку. Логарифм частки

Розв’язуємо гуртом. Знайдіть значення виразу:1) 𝐥𝐨𝐠𝟔𝟑+𝐥𝐨𝐠𝟔𝟐 2) 𝐥𝐨𝐠𝟐𝟓𝟏𝟎𝟎−𝐥𝐨𝐠𝟐𝟓𝟒 3) 𝐥𝐨𝐠𝟒𝟗𝟖𝟒−𝐥𝐨𝐠𝟒𝟗𝟏𝟐 

Розв’язуємо гуртом. Знайдіть значення виразу:1) 𝐥𝐨𝐠𝟔𝟑+𝐥𝐨𝐠𝟔𝟐 2) 𝐥𝐨𝐠𝟐𝟓𝟏𝟎𝟎−𝐥𝐨𝐠𝟐𝟓𝟒 3) 𝐥𝐨𝐠𝟕𝟖𝟒−𝐥𝐨𝐠𝟕𝟏𝟐 1) 𝐥𝐨𝐠𝟔𝟑+𝐥𝐨𝐠𝟔𝟐=log6(3∙2)=log66=1 2) 𝐥𝐨𝐠𝟐𝟓𝟏𝟎𝟎−𝐥𝐨𝐠𝟐𝟓𝟒=𝐥𝐨𝐠𝟐𝟓𝟏𝟎𝟎𝟒=𝐥𝐨𝐠𝟐𝟓𝟐𝟓=𝟏 3) 𝐥𝐨𝐠𝟕𝟖𝟒−𝐥𝐨𝐠𝟕𝟏𝟐=𝐥𝐨𝐠𝟕𝟖𝟒𝟏𝟐=𝐥𝐨𝐠𝟕𝟕=1 

Основні властивості логарифмів. Якщо 𝒙>𝟎, 𝒂>𝟎 і 𝒂≠𝟏, то для будь-якого 𝜷∈ℝ виконується рівність 𝐥𝐨𝐠𝒂𝒙𝜷=𝜷𝐥𝐨𝐠𝒂𝒙 Теорема. Якщо 𝒂>𝟎, 𝒂≠𝟏 і 𝒙>𝟎, то ∀𝜷∈ℝ: 𝐥𝐨𝐠𝒂𝒙𝜷=𝜷𝐥𝐨𝐠𝒂𝒙 Логарифм степеня додатного числа дорівнює добутку показника степеня на логарифм основи цього степеня. Логарифм степеня

Розв’язуємо гуртом. Знайдіть значення виразу:1) 𝐥𝐨𝐠𝟑𝟔𝟒 2)𝐥𝐨𝐠𝟑𝟏𝟖𝟏 1) 𝐥𝐨𝐠𝟑𝟔𝟒=𝐥𝐨𝐠𝟑𝟒𝟑=𝟑𝐥𝐨𝐠𝟑𝟒 2) 𝒍𝒐𝒈𝟑𝟏𝟖𝟏=𝒍𝒐𝒈𝟑𝟑−𝟒=−𝟒𝐥𝐨𝐠𝟑𝟑=-4 

Основні властивості логарифмів. Якщо 𝒂>𝟎, 𝒂≠𝟏, 𝒃>𝟎, 𝒄>𝟎, 𝒄≠𝟏, то виконується рівність 𝐥𝐨𝐠𝒂𝒃=𝐥𝐨𝐠𝒄𝒃𝐥𝐨𝐠𝒄𝒂 Теорема∀ 𝒂>𝟎, 𝒃>𝟎, 𝒄>𝟎 і 𝒂≠𝟏, 𝒄≠𝟏 𝐥𝐨𝐠𝒂𝒃=𝐥𝐨𝐠𝒄𝒃𝐥𝐨𝐠𝒄𝒂 Логарифм додатного числа 𝒃 за старою основою 𝒂 дорівює логарифму цього самого числа 𝒃 за новою основою 𝒄, поділеному на логарифм старої основи 𝒂 за новою основою 𝒄 Перехід від однієї основи логарифма до іншої

Розв’язуємо гуртом. Знайдіть значення виразу:𝐥𝐨𝐠𝟗𝟓𝐥𝐨𝐠𝟐𝟓𝟐𝟕  𝐥𝐨𝐠𝟗𝟓𝐥𝐨𝐠𝟐𝟓𝟐𝟕=𝐥𝐠𝟓𝐥𝐠𝟗 𝐥𝐠𝟐𝟕𝐥𝐠𝟐𝟓=𝐥𝐠𝟓𝟐𝐥𝐠𝟑 𝟑𝐥𝐠𝟑𝟐𝐥𝐠𝟓=𝟑𝟒 Подати логарифм за основою 2, 3:𝐥𝐨𝐠𝟓𝟏𝟎  𝐥𝐨𝐠𝟓𝟏𝟎=𝐥𝐨𝐠𝟐𝟏𝟎𝐥𝐨𝐠𝟐𝟓  𝐥𝐨𝐠𝟓𝟏𝟎=𝐥𝐨𝐠𝟑𝟏𝟎𝐥𝐨𝐠𝟑𝟓 

Основні властивості логарифмів∀ 𝒂>𝟎, 𝒃>𝟎, 𝒄>𝟎 і 𝒂≠𝟏, 𝒄≠𝟏 𝐥𝐨𝐠𝒂𝒃=𝐥𝐨𝐠𝒄𝒃𝐥𝐨𝐠𝒄𝒂 Перехід від однієї основи логарифма до іншоїНаслідок 1 Якщо 𝒂>𝟎, 𝒂≠𝟏, 𝒃>𝟎, 𝒃≠𝟏, то:  𝐥𝐨𝐠𝒂𝒃=𝟏𝐥𝐨𝐠𝒃𝒂 Наслідок 2 Якщо 𝒂>𝟎, 𝒂≠𝟏, 𝒃>𝟎, то ∀𝜷≠𝟎:  𝐥𝐨𝐠𝒂𝜷𝒃=𝟏𝜷𝐥𝐨𝐠𝒂𝒃 

Узагальнення𝐥𝐨𝐠𝒂𝒎𝒃=𝟏𝒎𝐥𝐨𝐠𝒂𝒃 𝐥𝐨𝐠𝒂𝒙𝒏=𝒏𝐥𝐨𝐠𝒂𝒙 Об’єднуючи ці дві властивості, що можемо сказати про:𝐥𝐨𝐠𝒂𝒎𝒙𝒏= 𝐥𝐨𝐠𝒂𝒎𝒙𝒏=𝒏𝒎𝐥𝐨𝐠𝒂𝒙 

Розв’язуємо гуртом1) Подати логарифм за основою 10:𝐥𝐨𝐠𝟓𝟏𝟎  𝐥𝐨𝐠𝟓𝟏𝟎=𝟏𝐥𝐠𝟓  𝐥𝐨𝐠𝟏𝟐𝟖=𝟏𝐥𝐨𝐠𝟖𝟏𝟐 𝐥𝐨𝐠𝟏𝟐𝟖 2) Подати логарифм за основою 8:3) Обчислити:𝐥𝐨𝐠𝟏𝟔𝟐  𝐥𝐨𝐠𝟏𝟔𝟐=𝐥𝐨𝐠𝟐𝟒𝟐=𝟏𝟒𝐥𝐨𝐠𝟐𝟐=𝟏𝟒 

Розв’язуємо гуртом. Чи є правильною рівність:11) 𝐥𝐨𝐠𝟕𝟏𝟒𝟗=−𝟐 2) 𝐥𝐨𝐠𝟐𝟓𝟓=𝟐 3) 𝐥𝐨𝐠𝟓𝟏𝟐𝟓=𝟏𝟑 4) 𝐥𝐨𝐠𝟑𝟏𝟖𝟏=−𝟒 5) 𝐥𝐨𝐠𝟎,𝟎𝟏𝟏𝟎=𝟐 6) 𝐥𝐠 𝟎,𝟎𝟎𝟎𝟏=−𝟒 fillcolorfill.typefill.onfillcolorfill.typefill.onfillcolorfill.typefill.onfillcolorfill.typefill.onfillcolorfill.typefill.onfillcolorfill.typefill.on

www.matnova.com.ua. Розв’язуємо гуртом. Розв’яжіть рівняння:41) 𝐥𝐨𝐠𝟕𝒙=−𝟏 2) 𝐥𝐨𝐠𝟑𝒙=4 3) 𝐥𝐨𝐠𝒙𝟗=𝟐 1) 𝒙 =𝟕−𝟏=𝟏𝟕 2) 𝒙 =𝟑𝟒=81 3) 𝒙𝟐= 9 𝒙=  ±3 𝒙=−3 (не задовольняє,так як 𝑥>0) 

Розв’язуємо гуртом. Знайдіть 𝒙, якщо:  𝐥𝐨𝐠𝟕𝒙=𝟐𝐥𝐨𝐠𝟕𝟖−𝟒𝐥𝐨𝐠𝟕𝟐 𝒍𝒐𝒈𝟕𝒙=𝒍𝒐𝒈𝟕𝟖𝟐−𝒍𝒐𝒈𝟕𝟐𝟒= 𝒍𝒐𝒈𝟕𝒙=𝒍𝒐𝒈𝟕𝟒 𝒙=4 𝐥𝐨𝐠𝟕𝟔𝟒−𝐥𝐨𝐠𝟕𝟖=𝐥𝐨𝐠𝟕𝟔𝟒𝟏𝟔=𝐥𝐨𝐠𝟕𝟒 

Логарифм і його властивостіГра Kahoot. Код гри04392134

Відповідаємо. Сформулюйте означення логарифма додатного числа 𝒃 за основою 𝒂 Чи існує логарифм від’ємного числа або нуля?Сформулюйте основну логарифмічну тотожність. Які логарифми називаються десятковими, а які натуральними?Сформулюйте основні властивості логарифмів. Якою може бути основа логарифма?Запишіть формулу переходу від однієї основи до іншої та наслідки з неї

www.matnova.com.uawww.matnova.com.uawww.matnova.com.uawww.matnova.com.ua. Бажаю творчих успіхів!Домашнє завдання{2 D5 ABB26-0587-4 C30-8999-92 F81 FD0307 C}Опрацювати §1 (ст.20-23)Виконати № 4.3; 4.8 (1,3,5); 4.12; 4.14 Мерзляк А. Г.27.02.2025

www.matnova.com.uawww.matnova.com.uawww.matnova.com.uawww.matnova.com.ua. Бажаю творчих успіхів!Домашнє завдання{2 D5 ABB26-0587-4 C30-8999-92 F81 FD0307 C}Опрацювати §1 (ст.20-23)Виконати № 4.3; 4.8 (1,3,5); 4.12; 4.14; 4.16 (1,4,5,7); 4.22 (1,4); 4.29 (1,2)Мерзляк А. Г.{2 D5 ABB26-0587-4 C30-8999-92 F81 FD0307 C}Опрацювати §4 Виконати № 4.3; 4.7; 4.9; 4.11; 4.15; 4.21; 4.23Істер О. С.{2 D5 ABB26-0587-4 C30-8999-92 F81 FD0307 C}Опрацювати §3 Виконати № 3.2 (2,6,10); 3.3 (3,4,6); 3.4 (1,3,5); 3.5 (2,5); 3.8 (3,4); 3.9 (4,5)Нелін Є. П.{2 D5 ABB26-0587-4 C30-8999-92 F81 FD0307 C}Опрацювати §3 (22-24)Виконати № 106; 109; 110; 122; 125; 127; Бевз Г. П.27.02.2025

Розв’язуємо гуртом. Знайдіть 𝒙, якщо: 1) 𝐥𝐨𝐠𝟗𝒙=𝟏𝟒𝐥𝐨𝐠𝟗𝟏𝟔+𝟐𝐥𝐨𝐠𝟗𝟓 2) 𝐥𝐨𝐠𝟕𝒙=𝟐𝐥𝐨𝐠𝟕𝟖−𝟒𝐥𝐨𝐠𝟕𝟐 log9𝑥=log9416+log952=log92∙25=log950 𝑥=𝟗𝐥𝐨𝐠𝟗𝟓𝟎=𝟓𝟎 log7𝑥=log782−log724=log76416=log74 𝑥=7log74=4 

Розв’язуємо гуртом. Розв’яжіть рівняння:51) 𝟔𝒙=𝟐 2) 𝟎,𝟒𝒙=𝟗 3) 𝟏𝟑𝟏−𝒙=𝟐 

Розв’язуємо гуртом. Знайдіть логарифм з основою 2 числа:21) 𝟏 2) 𝟐 3) 𝟑𝟐 4) 𝟐 5) 𝟎,𝟓 6) 𝟏𝟖 7) 𝟏𝟐 8) 2𝟐 

Розв’язуємо гуртом. Знайдіть десятковий логарифм числа:31) 𝟏 2) 𝟏𝟎𝟎 3) 𝟎,𝟏 4) 𝟎,𝟎𝟎𝟎𝟎𝟏 

Розв’язуємо гуртом. Обчисліть:81) 𝟔𝟒𝟎,𝟓𝐥𝐨𝐠𝟐𝟏𝟐 2) 𝟐𝟑𝐥𝐨𝐠𝟐𝟑𝟖−𝟐 3) 𝟔𝐥𝐨𝐠𝟏𝟔𝟑 4) 𝟏𝟑𝐥𝐨𝐠𝟗𝟐−𝟑 

Розв’язуємо гуртом. Обчисліть:91) 𝐥𝐨𝐠𝟐𝐥𝐨𝐠𝟓𝟖𝟓 2) 𝐥𝐨𝐠𝟐𝟑𝐥𝐨𝐠𝟒𝟗𝟑𝟒𝟑 3) 𝐥𝐨𝐠𝟐𝟓−𝐥𝐨𝐠𝟐𝟑𝟓+𝐥𝐨𝐠𝟐𝟓𝟔 4) 𝟐𝐥𝐠 𝟓+𝟏𝟐𝐥𝐠 𝟏𝟔 

Розв’язуємо гуртом. Обчисліть значення виразу:111) 𝐥𝐨𝐠𝟕𝟐𝟕−𝟐𝐥𝐨𝐠𝟕𝟑𝐥𝐨𝐠𝟕𝟒𝟓+𝐥𝐨𝐠𝟕𝟎,𝟐 2) 𝐥𝐨𝐠𝟑𝐜𝐨𝐬𝟐 𝝅𝟗∙𝐥𝐨𝐠𝐜𝐨𝐬𝝅𝟗𝟗 

Розв’язуємо гуртом. Побудуйте графік функції:1) 𝒚=𝐥𝐨𝐠𝒙𝟏 2) 𝒚=𝟏𝟎𝟏𝐥𝐨𝐠𝒙𝟏𝟎 3) 𝒚=𝟐𝐥𝐨𝐠𝟐𝒙𝟐 13