Презентація "Комбінаторика. Найпростіші комбінаторні задачі"

Комбінаторика, як розділ математики. Сполуки без повторень. Найпростіші комбінаторні задачі.

Впорядкована множина Множина, кожному елементу якої поставлений у відповідність певний номер називається впорядкованою. Будь-яку впорядковану множину, що містить більше одного елемента можна впорядкувати декількома способами. Впорядковані множини вважаються різними, якщо вони складаються з різних елементів або мають різний порядок одних і тих же елементів. Різні впорядковані множини, що відрізняються лише порядком елементів (тобто можуть бути отримані з однієї множини) називаються перестановками цієї множини.

Задача 1 Скількома різними способами можна розставити 3 різнокольорових кубики?123456

Розділ математики, який досліджує можливі способи утворення різних підмножин з елементів деякої множини за певних умов, називається комбінаторикою. Задачі, в яких потрібно знайти кількість можливих способів утворення таких підмножин, називаються комбінаторними.

Для розв’язування комбінаторних задач доцільно використовувати таблиці або будувати «дерево». Наприклад: Скільки натуральних трицифрових чисел можна скласти з цифр 1, 2, 3, використовуючи в запису числа кожну з них не більше одного разу? {5 C22544 A-7 EE6-4342-B048-85 BDC9 FD1 C3 A}На місцісотень123 На місцідесятків231312 На місціодиниць323121 Складемо таблицю123456

Розглянемо розв’язування даної задачі побудовою «дерева» варіантів111112222233333 Отже, всього 3∙2∙1 = 3! = 6

В основі розв’язування багатьох комбінаторних задач лежать два основних правила – правило суми і правило добутку.𝑛!ен факторіал − добуток послідовних натуральних чисел від 1 до 𝑛. Наприклад,  3!=1∙2∙3=6;    5!=1∙2∙3∙4∙5=120. 

Правила суми і добутку можна застосовувати при виборі довільної скінченної кількості елементів. Правило суми: якщо доводиться вибирати або перший елемент, або другий, або третій і т. д. елемент, кількості способів вибору кожного елемента додають. Правило добутку: коли доводиться вибирати набір у який входить і один, і другий, і третій, і т. д. елемент, кількості способів вибору перемножають.style.colorfillcolorfill.typestyle.colorfillcolorfill.typestyle.colorfillcolorfill.type

Перестановки множини А (позначається Pn) – це множини, що складаються з тих самих елементів, що й А, але розставлених у різному порядку. Pn=n! =1∙2∙3∙…∙n=n∙(n-1)∙(n-2)∙…∙1)Перестановки

Будь-яка впорядкована підмножина з k елементів даної n-елементної множини називається розміщенням з n елементів по k. Розміщення

Комбінацією з n елементів по k називається будь-яка невпорядкована, k - елементна підмножина даної n - елементної множини. Комбінації

Потренуйтеся працювати з комбінаторними формулами:1. Обчислити:а) Р5+Р4 Р3; б) Р10−Р9 Р8; в) Р10∙Р9 Р8∙Р11;  г)С8; 4 ґ)С7; 6 д)С22; 20 є)А15+А14. 45 А15 3 е)А8; 22. Розв'язати рівняння: а)А𝑥=20; 2б)А𝑥+1=156; 2 в)С𝑥=153; 2 г)С𝑥+2=8(𝑥+1); 3 ґ)𝑛+1!𝑛−1! =30. 

Вибір формули у задачах. Чи враховується порядок?(Чи є множина впорядкованою?)Усі елементи приймають участь?Так. НіТак. НіПерестановки. Розміщення. Комбінації

Потренуйтеся розв'язувати комбінаторні задачі у вигляді тестів на наступних слайдах.

З 30 учасників зборів треба вибрати голову і секретаря. Скількома способами це можна зробити?87030!15435інша

Скількома способами можна вибрати трьох чергових з групи в 20 чоловік?114020!66840інша

Скількома способами можна вісім учнів вишикувати в колону по одному?40320825664інша

У коробці знаходяться 10 білих і 6 чорних куль. Скількома способами з коробки можна витягти одну кулю будь-якого кольору?1610660інша

Маємо чотири різні конверти без марок і 3 різні марки. Скількома способами можна вибрати конверт і марку для відправки листа?12743інша

Успіхів!