Презентація "Основи математичної статистики"

Основи математичної статистики

Статистика. Слово “статистика” походить від латинського слова “status”, что означає “стан, розташування явищ”. Від цього кореня виникли слова “stato” (держава), “statista” (статистик-знаток держави), “statistica” (статистика — певна сума знань, відомостей про державу, форма практичної діяльності людей).

Статистика – це наука про збирання, обробку та вивчення різноманітних даних, пов’язаних з масовими явищами, процесами і подіями.

Завдання математичної статистики – створення методів збору і обробки статистичних даних для отримання наукових і практичних висновків. Математичною статистикою – називається розділ математики, в якому вивчаються та досліджуються кількісні характеристики масових явищ.

Статистика. Описова. Пояснювальна. Добір кількісної інформації, цікавої для суспільства. Висновки, прогнози

Складові статистичного методу: Масове спостереження;Групування даних;Обчислення середніх величин;Побудова графіків та інше представлення результатів.

Основні поняття математичної статистики: Групу об’єктів, поєднаних за якоюсь якісною чи кількісною ознакою, називають статистичною сукупністю. Сукупність усіх об’єктів, що підлягають дослідженню називають генеральною. Якщо із генеральної сукупності вибрати тільки деякі елементи випадковим чином, то одержимо вибіркову сукупність, яку називають вибіркою.

Вибірка. Випадкова. Механічна. Вибір здійснюється жеребкуванням. Сукупність розбивається на групи і від кожної вибирають представника. Типова. Вибір у певному порядку (наприклад, кожен десятий)

Всі зібрані дані заносять в таблиці, які називаються статистичними. У математичній статистиці найпоширенішими є частотні та інтервальні таблиці. Кожен елемент вибірки називають її варіантою: 𝒙𝒊Кількість елементів кожної варіанти називають її частотою: 𝒏𝒊Упорядкована вибірка називається варіаційним рядом. Різниця між крайніми членами варіаційного ряду – розмах вибірки: r. Сума всіх частот досліджуваної вибірки називається об'ємом цієї вибірки: n. Відношення частоти значення до об'єму вибірки називається відносною частотою : 𝝎𝒊=𝒏𝒊𝒏 

Приклад 1 Для дослідження найпоширенішого розміру чоловічого взуття опитали 20 чоловіків і одержали вибірку:41;41;40;39;43;41;44;44;45;40;42;41;43;44;45;42;42;40;42;42. Впорядкуємо її у напрямку зростання і одержимо варіаційний ряд:39;40;40;40;41;41;41;41;42;42;42;42;42;43;43;44;44;44;45;45.

З даного варіаційного ряду побудуємо частотну таблицю: Об'єм вибірки n = 20 Варіанта, 𝑥𝑖 Частота, 𝑛𝑖 Відносна частота, 𝜔,% 39404142434445139;40;40;40;41;41;41;41;42;42;42;42;42;43;43;44;44;44;45;45.345232120 5%320 15%15 20%14 25%110 10%320 15%110 10%

Центральні тенденції вибірки. Мода (Мо)Медіана (Ме)Середнє арифметичне, 𝑥 Середні значення. Середнє квадратичне відхилення, 𝛿𝛿2−дисперсія Середнє геометричне або середнє пропорційне,𝑚𝑐 

Варіанта, 𝑥𝑖 Частота, 𝑛𝑖 Відносна частота, 𝜔,% 39404142434445139;40;40;40;41;41;41;41;42;42;42;42;42;43;43;44;44;44;45;45.345232120 5%320 15%15 20%14 25%110 10%320 15%110 10%Мода – це значення варіанти, яка трапляється найчастіше. Медіана – це середня величина змінюваної ознаки, яка міститься всередині варіаційного ряду (число, яке ділить варіаційний ряд навпіл або середнє арифметичне двох чисел) Ме = 42

Якщо маємо не варіаційний ряд, а ряд розподілу, то порядковий номер медіани знаходимо за формулою: 𝑛2+0,5 Наприклад: Об'єм вибірки n = 45 Варіанта, 𝑥𝑖 Частота, 𝑛𝑖 1618232527303346559115452+0,5=22,5+0,5=23 Розмах вибірки: r = 33 – 16 = 17

Середнє арифметичне значення знаходять за формулою: 𝑥=𝑥1+𝑥2+…+𝑥𝑛𝑛 Відхилення знаходять за формулою: (𝑥𝑖−𝑥) Середнє квадратичне відхилення знаходять за формулою: 𝛿=𝑖=1𝑛(𝑥−𝑥)2𝑛 ; 𝛿2−дисперсія.  Середнє геометричне знаходять за формулою: 𝑚𝑐=𝑥1∙𝑥2∙…∙𝑥𝑛 .  

Варіанта, 𝑥𝑖 Частота, 𝑛𝑖 Відхилення,394041424344451345232 Знайдемо середнє арифметичне:(𝑥𝑖−𝑥)  𝑥=39+40∙3+41∙4+42∙5+43∙2+44∙3+45∙220=84120=42,05 -3,05-2,05-1,05-0,050,951,952,95 Знайдемо середнє квадратичне відхилення: 𝛿=(−3,05)2+(−2,05)2∙3+−1,052∙4+(−0,05)2∙5+0,952∙2+1,952∙3+2,952∙220  𝛿=56,9520=2,8475≈1,69 Знайдемо дисперсію:𝛿2≈2,86 

Наочне подання статистичної інформації

Для наочного зображення інформації про вибірку у статистиці використовують: Стовпчасті діаграми зі з'єднаних прямокутників, які називають гістограмами. Якщо з'єднати відрізками середини верхніх основ послідовних прямокутників гістограми, то побудуємо полігон частот.Інші види діаграм (кругова, полярна) та графіки.

Варіанта, 𝑥𝑖 Частота, 𝑛𝑖 394041424344451345232 Побудуємо гістограму і полігон частот для нашого прикладу: Варіанта, 𝑥𝑖 Частота, 𝑛𝑖 3940414243444512345

Підсумок: Які головні завдання математичної статистики?Що таке вибірка? Якими способами її можна здійснити?Що таке варіаційний ряд і частотна таблиця?Які ви знаєте центральні тенденції вибірки і як їх знайти?Які ви знаєте наочні способи подання інформації про вибірку?

Абітурієнти на вступному іспиті з математики одержали такі бали: 10, 10,11, 9, 7, 9, 8, 7, 6, 5, 5, 5, 7, 8, 11, 5, 6, 9, 9, 10, 5, 11, 6, 5, 7, 7, 6, 7, 8, 10, 5, 7, 9, 11, 10, 5, 5, 5, 6, 11. Побудуйте частотну таблицю та знайдіть моду, медіану, об'єм вибірки та відносну частоту. Зобразіть інформацію у вигляді гістограми.