Презентація "Теорія ймовірностей"

Основні поняття теорії ймовірностей. Класичне означення ймовірності.

Наука про випадкові події називається теорією ймовірності. Основні поняття теорії ймовірностіПодія. Позначаються: А; В; С і т.д. Випробування (експеримент)Явище, яке може відбутися або не відбутися за певних умов. Умови, за яких відбувається або не відбувається певна подія

Події бувають: ВірогідніВідбуваються обов'язково НеможливіНіколи не відбуваються. ВипадковіМожуть відбутися, а можуть і не відбутися

Випробування. Подія. Вид подіїПідкинули кубик. Випало число 5 Вірогідна. Неможлива. Випадкова. Заглянули в поштову скриньку. Там лист. Вірогідна. Неможлива. Випадкова. Вправа 1

Випробування. Подія. Вид подіїПідкинули монету. Випало число 3 Вірогідна. Неможлива. Випадкова. Закінчився четвер. Настала п'ятниця Вірогідна. Неможлива. Випадкова. Вправа 1

Дві події бувають: Протилежні А і А (не А) Подія не А відбувається тоді, коли А не відбувається. Попарно несумісніПодії, що не можуть відбуватися одночасно. Наприклад: Подія А: «У поштовій скриньці лист»Подія А: «У скриньці листа немає» Наприклад: Подія А: «Підкинули монету і випало число»Подія В: «Підкинули монету і випав герб»

Наприклад: Подія А: «Підкинули гральний кубик і випало число 2»Подія В: «Підкинули гральний кубик і випало число 3»РівноможливіЖодна з подій не має переваг у появі частіше за іншу. Дві події бувають: Чи будуть рівноможливими ці події, якщо кубик буде із зміщеним центром маси?

Маємо мішок з картоплею. Подія А: «Вийняли картоплину»Подія В: «Вийняли кабачок»Випробування: дістаємо з мішка овоч. Вірогідна. Неможлива. Маємо мішок, в якому 20 картоплин і 5 цибулин. Випробування: дістаємо з мішка овоч. Подія А: «Вийняли картоплину»Подія В: «Вийняли цибулину»Обидві події випадкові, але не рівноможливі

Повна група подій – це всі можливі наслідки експерименту. Наприклад: Експеримент: «Підкинули 2 монети»Події: Подія А: «Випало одне число і один герб»Подія В: «Випало число і число»Подія С: «Випав герб і герб»Подія D: «Випав герб і число»

Якщо події утворюють повну групу подій, є несумісними і рівноможливими, то вони утворюють простір елементарних подій. Класичне означення ймовірностіЙмовірністю випадкової події називається відношення кількості елементарних подій, що сприяють цій події до загальної кількості подій простору елементарних подій. Позначається: Р(А) = 𝑚𝑛, де А – випадкова подія; Р(А) – ймовірність; m – кількість сприятливих подій; n – загальна кількість подій. 

Якщо подія А: Вірогідна. Р(А) = 1 Неможлива. Р(А) = 0 Випадкова0 < Р(А) < 1 Р(А) + Р (А) = 1  Р (А) = 1 – Р(А) 

Вправа 2 Яка ймовірність того, що при одному киданні грального кубика випаде число очок, що дорівнює: Двом;2)П'яти;3)Парному числу;4)Числу, яке кратне 6?𝟏𝟔 𝟏𝟔 𝟑𝟔 𝟏𝟐 𝟏𝟔 

Вправа 3 У гральній колоді 36 карт. Навмання вибирається одна карта. Яка ймовірність того, що ця карта: Туз;2)Червовий туз?𝟒𝟑𝟔 𝟏𝟗 𝟏𝟑𝟔 

Вправа 4 В ящику знаходиться 45 кульок, з яких 17 білих. Загубили дві не білих кульки. Яка ймовірність того, що вибрана навмання одна кулька буде білою?𝟏𝟕𝟒𝟑 Розв'язання: Подія А: «Вибрана кулька – біла»m – кількість сприятливих подій, тобто білих кульок – 17;n – загальна кількість подій 45 – 2 = 43;Р(А) = 𝑚𝑛=1743 

Застосування формул комбінаторики до розв'язування складених задач на ймовірність

Задача 1 Серед 30 деталей 8 бракованих. Яка ймовірність того, що взяті навмання 5 деталей будуть без дефекту?Розв'язання:30д. – 8д. = 22д. – кількість деталей без браку. Визначимо скількома способами можна вибрати не браковану деталь. Порядок вибору значення не має, отже маємо комбінацію: C522 =22!5!22−5!= 17!∙18∙19∙20∙21∙225!17!= 263343)Визначимо скількома способами можна вибрати будь-яку деталь. Порядок вибору значення не має, отже маємо комбінацію: C530 =30!5!30−5!= 25!∙26∙27∙28∙29∙305!25!= 1425064)Визначимо ймовірність події: РА=26334142506≈0,18=18% 

Задача 2 На екзамен з математики виносять 50 запитань. Студент підготував тільки 40. Білет складається з 5 запитань, але,щоб одержати відмінно, досить відповісти на 4 запитання. Яка ймовірність того, що студент одержить відмінно?Розв'язання: Визначимо кількість сприятливих подій. А саме, в білеті має бути 4 вивчених запитання і 1 не вивчене, порядок вибору значення не має. Отже, треба застосувати правило добутку і комбінацію: C440∙ 1370852)Визначимо загальну кількість подій. Порядок вибору не має значення, отже, це комбінація: C550= 3178143)Визначимо ймовірність події: РА=137085317814≈0,43=43% C110= 

Задача 3 В ящику лежать 8 білих і 6 чорних кульок. Яка ймовірність того, що з п'яти вибраних навмання кульок три будуть білі?Розв'язання: Визначимо кількість сприятливих подій. А саме, 3 з 8 кульок мають бути білими і 2 з 6 чорними, порядок вибору значення не має. Отже, треба застосувати правило добутку і комбінацію: C38∙ 8402)Визначимо загальну кількість подій. Порядок вибору не має значення, отже, це комбінація: C514= 20023)Визначимо ймовірність події: РА=8402002≈0,42=42% C26= 

Успіхів!