MiHicTepcTB0               i науки УкраТни

                              Департамент               i науки

                                Комунальний                             навчальний заклад

        (Мала                    наук                                     ЩйпропетровськоТ обласноТ ради>>

математики

Секцш: математика

СТМЕЙСТВО ТРОЯНД ГРАНТ

Роботу виконав:

Владислав Максимович, учень 1 1 -Д класу КЛ N2 35

Micbk0T ради

Науковий

Федорченко Олена

Учитель математики

КЛ 35 «тмпульс»

Micbk0T ради

- 2025

2

Мала наук обласноТ ради

Владислав Максимович, учень 1 1 -Д класу

N2 35 Micbk0T ради

Науковий  Федорченко Олена вчитель матема-

тики N2 35 Micbk0T ради

СПЛЕЙСТВО ТРОЯНД ГРАНТ роботу присвячено кривих в полярних координатах на класу кривих, що отримали назву математич-

них троянд

зображення кривих в залежно-

CTi  що входять до Тх

Тх побудови.

                Вивчення полярно; системи координат та побудова в             кривих

допоможе розвинути  заохотить до вивчення тригономе-

трй, а також дозволить отримати естетичну насолоду .

У p060Ti представлена достатня кривих побудованих у GeoGebra.

слова: координати; троянди;

з

змют

ВСТУП

РОЗЩЛ 1. ПОЛЯРНА СИСТЕМА КООРДИНАТ

1.1. Полярна система координат

1.2. Побудова       криво; у Висновки до    1

РОЗЩЛ 2. ТРОЯНДИ ГРАНЩ

2.1. троянд

2.2. Форми троянд                      в

ВИСНОВКИ до                                 215

висновки16

СПИСОК ВИКОРИСТАНИХ ДЖЕРЕЛ17

Додаток А.КШЕМАТИЧНЕ УТВОРЕННЯ ТРОЖЦ ГРАНДЈ18

Додаток Б. МАТЕМАТИЧНЕ «РОСЛИННИЦТВО» ХАБЕННЖТА20

4

ВСТУП

теми.            е одним з  геометричних 06'€kTiB, що мае широке використання в     галузях математики i застосу-

ваннях.              ряд                  краще i будувати в коор-

динат.  координат  за-

мкнутими кривими, що дозволяе  Тх на обмеженому просTOPi. При цьому в полярних координатах, мають неповторну

естетичну

Об'ект кривих в полярних координатах.

Предмет

Мета  зображення кривих

 що входять до Тх

Методи  метод критичного опрацювання фактичного матеджерел, метод i узагальнення.

Результатом е ознайомлення з полярною системою коорди-

нат; зображень кривих зна-

чень

Практичне значення. Дана робота може використовуватись для проведення факультативних занять з математики в 10 — 1 1 класах.

Структура роботи. Дана робота складаеться 3i вступу, основно; частини, та списку використаних джерел. Загальний обсяг роботи — 21 cTopiHka.

5

РОЗЩЛ 1

ПОЛЯРНА СИСТЕМА КООРДИНАТ

1.1. Полярна система координат

Полярна система координат — система координат, в кожна точка на визначаеться двома числами — кутом та Полярна система координат особливо корисна у випадках, коли вщношення точками зобразити у та kYTiB.

Полярна система координат задаеться променем, який називають нульовим або полярною Точка, з яко; виходить цей називаеться початком координат або полюсом. Будь-яка точка на  визначаеться двома полярними координатами: та кутовою. координата (позначаеться р) точки до початку координат. Кутова ко-

ордината, що також зветься полярним кутом або азимутом (позначаеться (Р) i куту полярною та напрямком на точку.

Для позначення полюса використовують координати (0, (Р). Незалежно координати (Р точка з нульовою  полюса завжди перебуватиме на

ньому. Координата р до полюса, зображу-

еться в додатну в протилежному (на 180 ⁰ ). Координата (Р куту проти годинникового напряму полярно; oci, якщо (Р додатний. Азимуту можна дозволити набувати  значень, що повороту

за годинниковою

з важливих особливостей полярно; системи координат е те, що

одна й та сама точка може бути представлена

Це тому, що для визначення азимута точки повернути по-

лярну BiCb таким чином, щоб BiH вказував на точку. Але напрям на точку не 3Miниться, якщо додаткових повних 06epTiB.

На рисунку 1.1 зображено полярну систему координат, в побудовано точки А(3;!), С(—1; ^Д). полярно; системи координат полягае в тому, щоб дати для та кут, в якому напрямку рухатися .

0.4                 о.е                  0.8

                                  Рис. 1.1                                                      Рис. 1.2

           1.2. Побудова               криво; у координат

Для того, щоб побудувати в полярних координатах по точках потpi6H0 заповнити таблицю, в першому рядку якоТ записати значення кута з

жку, що  а в другому -  значення                        .  i

з'еднати точки плавною

Для прикладу розглянемо побудову гра4йка криво; р = sin (Р. Складемо таблицю (таблиця 1.1) значень ф i р (значення р округляемо до сотих):

Таблиця 1.1

	0	тс 12	6	4	тс з	5тт 12	2	77T 12	27T Т	37T 4	5тт	117T 12
р	о	0,26	0,5	0,71	0,87	0,97	1	0,97	0,87	0,71		0,26	о

У  7T < (Р < значення р даемо в протилежному  (на 180⁰) i

137t

побудованими точками. Наприклад, якщо ф = то р = —0,26, тобто точка з 12 координатами (—; —0,26)  З ТОЧКОЮ (² ; 0,26).

1212

На рисунку 1.2 зображено криво; р = sin (Р, побудований у сере GeoGebra. Для побудови криво; в полярних координатах треба ввести команду curve ((sin(cp);

           Висновки до             1

У цьому         розглянуто алгоритм побудови   кривоТ в координат.

7

P03AIJ12

TPOAHAH

2.1. CiMeiiCTB0 TPOHHA rpaHAi

Y XVIII CT. iTaJ1iüCbKHÜ reoMeTp rBino rpaymi, npauroro^tll'1 3 IIOJMPHOYO cuc^rreMOY0 KOOPÅHHaT, BHPi111UB BHPa3HTH aHaJ1iTHHHO 30BHi111Hi 06pucu KBiTiB i CTBOPHB KPHBi JliHii 3 npaBHJ1bHHMV1 11J1aBHHMH 06pmcaMH. B0HH AiMcH0 6YJIH cxoxi Ha KBiTH. CYKY11HicTb umx KPHBHX 6YJ10 Ha3BaHO rBino rpaHAi». Ix npaBHJ1bHi 06pucm-ue He 11pHMxa npmp0AH — BOHH 3YMOBJ1eHi MaTeMaTH^LIHHMH

Tpomuarvm, a60 KPHBHMH FBiA0 rpaHÅi, Ha3HBarOTb CYKY11HiCTb KPHBHX, noJIHPHi  AKHX 3armcy€Tbcq y BHrJ1%Ai p = asin lap, a60 y BVffJ1%Ai

p = a cos lap, Ae a i k - CTaJ1i; HanaJ1i MH 6yneM0 BBaxaTH ix nonaTHHMH HHCJ1aMH.

OCKiJ1bKH cos kw = sin(— + lap) = sin     + —), TO Tpomna, 1110 3anaHa pi2k

BHAHH%M p = a COS kw € iAeHTH^LIH0f0 AO KIDHB0i, 1110 3anaHa PiBHflHHflM p = asin lap, ane  BiAHOCHO nomoca 3a  CTPiJIKOkO Ha KYT

— paniaH. IlPHKJ1aA Ha puc. 2.1: npvr 110BopoTi KPHBOi p = sin 50 BiAHOCHO nomoca 2k

3a FOAHHHHKOBOro cTpiJIK0f0 Ha KYT — OTPHMY€MO KPHBY p = COS 50. 10

                       Puc. 2.1                                                   Puc. 2.2

OCKiJ1bKV1 Icos kcpl 1 i Isin kcpl 1, TO 11paBa qaCTHHa PiBHAHH% He MO)Ke nepeBH111YBaTH BeJIHHHHH a, once KPHBa YMima€TbC51 BcepeAHHi KOJIa 3 paniycoM,

а. На рисунку 2.2 р = sin 29, яко; всекола з  1, та р = 3sin 29, яко; кола

Так як то троянда складаеться з пелюсток, симетричних кожен з яких,  а.

яку форму матиме троянда в значення параметра К.

2.2. Форми троянд  значення К

Якщо К - парне число, то отримаемо математичну троянду з пелюсток 2k. Приклади на рисунках 2.3-2.6.

                         Рис. 2.3                                               Рис. 2.4

Рис. 2.6 Рис. 2.5

щодо oci ординат, oci абсцис i початку координат.

Покажемо, як побудувати криву, задану в координат piвнянням р = sin 29. Перша пелюстка з'явиться при 0 29 тт, тобто

0 (Р —. р = sin 29 на  [0; —] зростае                    0 до 1, а на

—] спадае 1 до 0. Таким чином, ми отримали пелюстку троянди, що лежить в Друга пелюстка з'явиться при 7T 29 27T, тобто — ф т. Але р = sin 29 0, тому полюса  в протилежному

(на 180⁰), i друга пелюстка розташуеться у

п, тому використаемо для побудови криво?

в              чвертях (рис. 2.7).

Якщо К - непарне число, то отримаемо математичну троянду з пелюсток К. Приклади на рисунках 2.8-2.11.

1.2 р = sin 99

1.2 = sin 119

р

                             Рис. 2.10                                                              Рис. 2.11

В одних випадках е пелюстка, спрямована по oci ординат вгору, а в

- вниз. Це залежить значення К. Вниз пелюстка буде направлена при К = З i при BCix наступних непарних через одне число, вгору — при К = 5 i при BCix наступних непарних числах через одне. щодо oci ординат.

Покажемо, як побудувати трипелюсткову троянду, задану р = sin 39. Перша пелюстка з'явиться при 0 39 љ, тобто 0 ф —. Функр = sin 39 на  [0; —] зростае 0 до 1, а на  [—; —] спадае

1 до 0. Таким чином, ми отримали першу пелюстку троянди. Друга пелюстка

27T

з'явиться при 7T 39 21T, тобто — ф —-. Але р = sin 39 0, тому Bi-

Третя пелюстка з'явиться при 2тт 39 31T, тобто — ф тт.

е —, тому пелюстки будуть повторювати три (рис. 2.12).

              Розглянемо випадки, коли К —          ращональне число.

Якщо т = 1, а п — парне, то крива мае вигляд п         схожих на Тду, що перетинаються. oci абсцис i oci ординат. При-

клади на рисунках 2.13-2.15.

-1.2

р = sm

                          Рис. 2.15                                                              Рис. 2.16

               Якщо т = 1, а п — непарне, то крива мае вигляд              схожу на

При п = З отримуемо одну криву, при п > З виходить крива в  сиoci ординат. Приклади на рисунках 2.16-2.18.

р = sin—Q

= sin—9

р

                         Рис. 2.17                                           Рис. 2.18

При кривих р = sin — (Р задавати кутовоТ координати, що функцй, тобто 0 (Р 2мт.

Якщо т i п — HenapHi, то троянда складаеться з т пелюсток; при цьому, кожна наступна пелюстка буде частково покривати попередню. симетри-

oci ординат. Приклади на рисунках 2.19-2.22.

р = sin—9

р = sin—q

                            Рис. 2.19                                                            Рис. 2.20

Значення т пелюсток, а значення п за Тх товщину.

р = sin—q

                             Рис. 2.21                                                          Рис. 2.22

Якщо одне з чисел т i п с парним, то троянда складаеться з 2m пелюсток; при цьому, кожна наступна пелюстка частково покривае попередню. си-

oci абсцис i oci ординат. Приклади на рисунках 2.23-2.26.

р = sin—q

                              Рис. 2.23                                                             Рис. 2.24

Значення т пелюсток, а значення п за Тх товщину.

                            Рис. 2.25                                                             Рис. 2.26

зазначити, що при кривих р = sin — ф для отримання таких троянд  правильно обрати кутовоТ координати ф.

знайти найменше  кратне  функцй та повного оберту 2тт остання точка з початковою i крива замкнеться). функцй

2ттп НСК                   • 27T = 27тп. Як приклад, наведу побудову криво?

77t

р = sin- ф. = —, тот нск= 147T. На рис. 2.27

зображено криву р = sin-(P при 0 ф 2тт та 0 ф 147T.

sin—q

Рис. 2.27

Якщо К - число  то троянда складаеться з без-

Рис. 2.29

Рис. 2.28 числа К немае початковоТ i останньоТ точок, тому немае 3aMkHYTocTi

 Пелюсток  багато; крива незамкнена i заповнюе круг  1 i центром в початку координат. Приклади на рисунках 2.28-2.29. Троянди також можна отримати як Tpa€kTopiT точки, що особливим чином рухаеться на (додаток А).

Зачарований результатами  геометр Xa6eHHixT також

зайнятися математичним <<рослинництвом». Вважаючи, що обрис листа або kBiTk0B0T пелюстки в полярних координатах для кожно; окремоТ рослини

описуеться певною тригонометричних Xa6eHHixT шляхом численних  <<виростив>> експонати (додаток Б).

Висновки до              II

троянд описуеться  в полярних координатах

р = asin Кф, де а i К—  Параметр а за довжину пелюсток. Параметр К i форму пелюсток. Якщо у троянди парна

пелюсток, то вона симетрична початку i осей координат; якщо непарна

oci ординат.

висновки

У 18 геометр що були

 на kBiTkY.  цих кривих було названо

У       p060Ti наведено кривих ровано Тх побудови. троянд          описуеться

в полярних координатах р = asin КР, де а i К— За певних значень парамеTPiB троянди перетворюються в або в ро-

зетки, можуть служити елементами декору або орнаменту.  пелюсток залежить i троянд. При пелюсток крива симетрична  початку координат i осей координат, при

носно oci ординат. Робота гракривих  побудованих у GeoGebra.

При роботи я познайомився з полярною системою координат;

отримав         виконання p06iT на  (при  кривих я використовував математичний додаток GeoGebra).

Перспективи подальшого полягають у  <<найближ-

                                                                                                               а                         а

чих троянд — кривих, заданих  р =або р — , та sin Кф COS Кф чудових кривих.

                        що робота буде                       учням i вчителям, люблять красоту

математики та зможе використовуватися час факультативних занять, при ро60Ti математичних

cnncoK BHKOPHCTAHHX A)KEPEJI

1.        JIHcyHeHK0 A.B. MaTeMaTH^LIHi rBiÅ0 rpaHÅi. BICHHK Mi)KHap0ÅHoro AOCJ1iAHoro ueHTpy  MOBa, KYJ1bTypa, HayK. xypH.: [3a 3ar. Pen. B.B. KOP0flbCbKOF0].- Pin: KÅW, MAI-I  2018.- T0M 42. c.70-82.

2.        ENCYCLOPÉDIE DES FORMES MATHÉMATIQUES REMARQUABLES. URL: https://mathcurve.com/index.htm

3.        IlonqpHi KOOPAHHaTH. URL:

https://math.libretexts.org/Bookshelves/Calculus/Calculus_(OpenStax)/11%3A Para metric_Equations and Polar Coordinates/ 11.03%3A Polar Coordinates

4.        IIpo€KT "I-IYA0Bi MaTeMaTHHHi KPHBi: TPO%HAH i cnipani". URL: https://doslidnyky.com/node/1174

5.        Tpomna (11JIOCKa KPHBa). BiKineAiq: BiJ1bHa EHUHKJ10neÅiq. URL:

https://uk.wikipedia.org/wiki/%DO%A2%D1%80%DO%BE%D1%8F%DO%BD%DO

Додаток А

КШЕМАТИЧНЕ УТВОРЕННЯ ТРОЯНД ГРАНЩ

Троянди також можна отримати як траекторй другоТ точки перетину прямою та колом, що piBH0MipH0 обертаються навколо  3i своТх точок (рис.А.1-А.2), або як траекторй другоТ точки перетину двох  що piBH0MipH0 обертаються навколо 3i своТх точок (рис.А.З-А.4).

                          Рис. А.1                                                                Рис. А.2

                            Рис. А.З                                                             Рис. А.4

Троянди також можна отримати як Tpa€kTopiT точки, пов'язаноТ з колом, яке котиться по нерухомому колу. (рис.А.5-А.8).

                                      Рис. А.5                                                 Рис. А.6

                                  Рис. А.7                                                      Рис. А.8

Троянди також можна отримати за допомогою — це супер яка створюе зображення фломастером на чи kapT0Hi (рис. А.9).

Рис. А.9

Додаток Б

МАТЕМАТИЧНЕ «РОСЛИННИЦТВО» ХАБЕНШХТА

Зачарований результатами  геометр Xa6eHHixT також

зайнятися математичним <<рослинництвом». Вважаючи, що обрис листа або kBiTk0B0T пелюстки в полярних координатах описуеться виразом р = де          для кожно; окремоТ рослини представляе певну тригонометричних Xa6eHHixT шляхом численних «виростив»

експонати. Результати його математичних  форми kBiTiB i листя були ним у TBOPi <<Die analytische Form der Blatter».

Ось Хабе-

HixT0M для геометричних форм, що в CBiTi рослин:

р = 4(1 + cos 39) + 4sin² 39) - лист        звичайноТ (рис.Б. 1); р = 3((1 + cos ² ф) + 2 coscp + sin ² (P — 2sin² 3Q cos ⁴ % — лист плюща

(рис.Б.2)

Рис. Б. 1

Для поряд з побудованим у GeoGebra надаю фото рослин.

Рис. Б.2