1

                                                                MiHicTepcTB0                  i науки УкраТни

                     Департамент             i науки

Комунальний

математики математика

ДЕЯМ МЕТОДИ ПОБУДОВИ ГРАФЖIВ функщй

Роботу виконав:

Владислав Максимович, учень 10-Д класу

КЛ 35 «тмпульс»

Micbk0T ради

Науковий

Федорченко Олена

Учитель математики

КЛ N2 35 «1мпульс»

Micbk0T ради

- 2024

змтст

ВСТУП

РОЗЩЛ 1. ОСНОВШ ВЦОМОСП про ФУНКЦИ

     1.1.                   та П

     1.2.                    основних

Висновки до                      I

РОЗЩЛ П. ПОБУДОВА ГРАФЈЮВ ФУНКЩЙ

2.1. Побудова

f(x)

2.2. Побудова   суми .. 12

2.3. Побудова добутку .. 15

2.4. Побудова .. 18

Висновки до .. 22

висновки23

СПИСОК ВИКОРИСТАНИХ ДЖЕРЕЛ24

з

ВСТУП

— це одне з основних математичних понять,

що виражае величинами. Кожна область знань мае своТ об'екти вивчення, встановлюе взаемозв'язки цих 06'€kTiB.

Серед задання функцй значного поширення набув ний Перевагою  способу задання е  що дозволяе

встановити читати                   необ-

майбутньому TexHikY, ek0H0MicTY,  Тому  воло-

простими способами побудови

Об'ект

               Предмет побудова                         суми та добутку  гра-

складеноТ

Мета встановлення способу побудови суми та добутку складеноТ без використання вищоТ математики.

Методи метод критичного опрацювання фактичного мате-

джерел, метод                   i узагальнення.

Наукова новизна kypci алгебри розглядаеться побудови  за допомогою геометричних перетворень. У навчають будувати з використанням А ми  способи побудови            суми та добутку

складеноТ функцй без iHcTpyMeHTiB математичного

Результатом е узагальнення та систематизаци знань про гра(l)ikPI та елементарних ознайомлення з одним i3 побудови без використання — виконання арифметичних

Практичне значення. Дана робота може використовуватись для проведення факультативних занять з математики в 10 — 1 1 класах.

Структура роботи. Дана робота складаеться 3i вступу, основно; частини, та списку використаних джерел. Загальний обсяг роботи — 25 cTopiH0k.

4

P03AIJ11. OCHOBHI BIAOMOCTI npo

1.1. ^rra macTHBOCTi

[IUCJ106010 Wymcqiczo (a60 3aJ10KHiCTK)) HUHBarOTb ^rraKY 3aR)KHiCTb Mix ABOMa 3MiHHHMH, AKiM KO)KHOMY 3HaqeHmo He3aJ10KH0i 3MiHHOi 3 nemcoi MHO)KHHH BiA110Bina€ 3a neBHHM npaBHJIOM €AHHe 3HaqeHH% 3aJ10KH0i 3MiHHOi. Oönacnuo 61131-taqel-ll-l% d)YHK11ii y=f(x) Ha3HBafOTb MHO)KHHY BCix 3HaqeHb, AKHX MO)Ke Ha6YBaTH apryMeHT X.

06nacnuo 3HaqeHb (l)YHK11ii y=f(x) HUHBaYOTb MHO)KHHY, 1110 CKJ1aÅa€TbC51 3 ycix qucenf(x), Ae x c DU).

3HaqeHHA apryMeHTY X, 51KHX 3HaqeHHA y=f(x) HYJ1ro, HUHBarOTb Wymcqii.

IIPOMi)KOK, Ha %KOMY 36epira€ 3HaK, Ha3HBafOTb np0MiDWK0M 31-tmcocmanocmi (l)YHKAii.

ØYHKuiyo y=f(x) HUHBaYOTb mocmawqmo Ha Ae%KOMY np0Mi)KKY, AKIUO 6iJ1b1110MY 3HaqeHM0 apryMeHTY 3 1-Iboro np0Mi)KKY BiA110Bina€ 6iJ1b111e 3HaqeHHA (l)YHKuii. (OYHK11iro y=f(x) HUHBafOTb cnaönmo Ha ne%KOMY np0Mi)KKY, AKIUO 6iJ1b1110MY

3HaqeHHfO apryMeHTY i3 UbOFO np0Mi)KKY BiÅ110BiÅae MeH111e 3HaqeHH%

ØYHK11iyo y=f(x) HUVIBafOTb monomonnmo Ha ne%KOMY np0Mi)KKY, %KIUO BOHa Ha UbOMY np0Mi)KKY a60 3pocTa€, a60 cnana€.

ØYHKuif0 y=f(x) Ha3HBafOTb napnozo, •IT 06J1aCTb BH3HaqeHH% curvre^rrpvr^rma BiÅHOCHO i KO%CHOFO X 3 06J1acTi BH3HaqeHHA cnpamxy€Tbcq PiBHiCTb: f(-x) —f(x). napH0i CHMeTPH^LIHHM1 BiAHOCHO oci Oy.

(DYHK11iro y=f(x) Ha3HBafOTb nenapnmo, AKIUO 06naCTb BH3HaqeHH% CHMeTPH^LIHa BiAHOCHO HYJI% i KO)KHOFO X 3 06nacTi BH3HaqeHHfl  PiBHiCTb f(-x)=-f(x). rpad)iK HenapH0i (l)YHK11ii CHMeTPH^LIHHü BiAHOCHO noqaTKY KOOPAHHaT.

AKIUO y =f(x) Ha nporvlimcy [a;b] e HenepepBH0Y0 JliHi€yo, TO y

MHO)KVIHi 3HaqeHb (l)YHKAii € Hai6iJ1b111e ^LIHCJIO i HaiMeH111e HVICJIO. Ili qucna HUMBafOTb naüöiJ11,ucuM i naÜJWHLUUM 31--taqenn%yuu Wymcqii Ha np0Mi)KKY [a;b].

5

1.2.  основних

називають множину BCix точок (х;у) координатно; площини, у яких абсциси належать визначення  а ординати обчислюють за формулою y=f(x).

 вигляду y=kx+b, де К i Ь - числа, називають  Граy=kx+b е пряма (рис. 1.2.1 - 1.2.3).

           Рис. 1.2.1                                    Рис. 1.2.2                                       Рис. 1.2.3

              е парабола,                 яко; вгору, а верши-

ною е точка (0;0) (рис. 1.2.4).

Рис. 1.2.4

х е

тноТ площини (рис. 1.2.5).

		6 4 2										х
												х
	-2	-2		2		4		6		8		10

Рис. 1.2.5

параболи, що лежить у I координа-

к

 х (К  яко; лежать у I i III чве-

ртях, якщо К > 0 (рис. 1.2.6), i у II i IV чвертях, якщо К < 0 (рис. 1.2.7).

к         (К>О х

К

                           Рис. 1.2.6                                                           Рис. 1.2.7

у = ах ² + bx + с, де а 0, е парабола з вершиною в то А(хо; уо). Координати вершини параболи: хо = ¯77'Уо = у(хо). Якщо а >

0 -              параболи  вгору, якщо а < 0— униз (рис. 1.2.8).

ах ² + bx + с

Рис. 1.2.8

яка е  функцй у = sin х, називають синусоТдою (рис. 1.2.9).

-10

Рис. 1.2.9

                 яка                                       у = cos х, називають косинусоТдою

(рис. 1.2.10).

-10

Рис. 1.2.10

Висновки до              I

У цьому систематизовано ocH0BHi  область визначення; область значень; i монотонноCTi. Наведено  елементарних

P03AIJ111. IIOBYAOBA

1

2.1. 1106YA0Ba y =

1

(bYHKui51 y = — 06epHeH0-nponopuiMma no d)YHKÅii y = f (x). T06T0 BiA110-

1

BiAHi OPAHHaTH TOHOK rpad)iKa y = — i                    y = f (x) 3B'%3aHi 06epHeH0 npo-

f(x) nopuiüHoro 3aJIOKHic^rrro. ManeHbKi (3a a6COMOTH0f0 BeJIH^LIHH0f0) opAHHaTH nepmoro nepeTBomowrbcq Ha BeJIHKi opAHHaTH npyroro i, HamaKH, BeJIHKi opAHHaTH nepmoro Ha ManeHbKi OPAHHaTH npyroro. Tox MO)KHa 3P06HTH BHCHOBOK, 11-10

1

IIPH 3POCTaHHi d)YHKL1ii y = f (x) y = — cnana€ i HaB11aKH. IIPOMi)KKH 3HaKOCTaJIOCTi cnimanaYOTb. ToqKH, OPAHHaTH AKHX ± I , € He3MiHHHMH TOMKaMH

1

060x rpad)iKiB. Tpe6a TaKO)K naM'maTH, 1110                 y —      Mae BePTHKaJ1bHi

aCHM11TOTH B y = f (X).

1

IIpHRJ1'dA 2.1.1. 1106yny€M0 byny€M0  y = x ² + x — 2. Lle napa60na 3 BeP111HH0f0 y Toqui

A(-0,5;-2,25); riJIKH Hanp%MJ1eHi Bropy; nepeTHHa€ BiCb Ox y TOMKax (l ;0) i (-2;0).

1

ÅJI% 1106YAOBH rpad)iKa y (puc.2. I. 1) BpaXOBY€M0 HacTY11He: x ² -ex—2

BePTHKaJ1bHHMH aCHM11TOTaMV1 € 11P%Mi X = —2 i X = 1. ToqKH, OPAHHaTH AKHX e He3MiHHHMV1 TOMKarv1H       060X rpad)iKiB.

AKIUO X + —2 — TO y + +00. AKIUO X + —2 -k, TO y + —00.         X + 1 — TO y + —00. AKIUO X + 1 +, TO y + +00.

ØYHKui% y = x ² + x — 2 cnana€ Ha 11130Mi)KKY (—00; —0,5], i 3pocTa€ Ha npo-

1

Mi)KKY [—0,5; +00), T0MY  3pocTa€ Ha 11POMimcax (—00; —2), (—2; —0,5]i cnana€ Ha 11POMimcax [—0,5; I), (I; +00).

1--1aüMeH111e 3HaqeHHA (l)YHKuii y = x ² + x — 2 AopiBH}0€ -2,25 IIPH x — -0,5.

                                                                              1                                                                  4

Tox HaM6iJ1b111e 3HaqeHHA (l)YHK11ii y — x2+X—2 Ha np0Mi)KKY (-2; 1) AopiBHY0€

Рис. 2.1.1

              Приклад 2.1.2. Побудуемо                 функцй у1

Будуемо у = х ² + 2х + З. Це парабола з вершиною у

А(-1 ;2),            яко;  вгору, та яка не перетина€ BiCb Ох.

1

Для побудови (рис.2.1.2) враховуемо, що:

Вертикальних асимптот не мае.

 х ² + 2х + З 2, то 0 < —. Тобто BiCb Ох е горизонта-

1

льною асимптотою                функцй у —

у = х ² + 2х + З спадае на  (—оо; —1], i зростае на про-

1

 [—1; +00), тому  (—оо,• —1] i спадае на  [—1; +00).

Найменше значення функцй у = х + 2х + З 2 при х = -1. тож

1           1 у = Х ² +2х+3

Рис. 2.1.2

1

             Приклад 2.1.3. Побудуемо                 функцй у —

sinx

Будуемо у = sin х.

1

Для побудови  функцй у — — (рис.2.1. З) враховуемо наступне: sin х

            Вертикальними асимптотами е                   х = тт, п Е Z. Точки, ординати яких

+1, е точками для обох

                   Якщо х -» 27тп + та х тт —, то у +00. Якщо х -» 2тт — та х                     +,

37t

у = sin х спадае на [— + 27тп; — + 27тп], п Е Z i зростае

1

на [— — + 27тп; — + 27тп], п Е Z тому у —           зростае на про-

sinx

                                                                                                                    37t                                                                                

+ 2nn , п Е Z, тт + 27тп; — + 2тт , п Е Z i спадае на

жках —— + . п EZ.

2

               Найменше значення у = sin х при х =             + 27тп, п Е Z,

2

1

-1. Тож у = — на  (—т + 27тп; 2тт), п Е sin х

Z значення функцй у = sin х при х = — + 2ттп, п Е Z, до-

1

piBHroe 1. Тож найменше значення функцй у  1 на sin х

(2ттп; тт +                Е Z.

Рис. 2.1.3

1

               Приклад 2.1.4. Побудуемо графй<                  у —

о-=Т-2'

                Будуемо у =                    — 2. визначена на

[1; +00).                перетинае BiCb Ох у           (5;0).

1

Для побудови                                         функцй у — (рис.2.1.4) враховуемо: а=т-2

Вертикальною асимптотою е пряма х = 5. Точки, ординати яких ±1, е неточками для обох

Якщо х -» 5 —, то у —оо. Якщо х 5 +, то у +00.

                      у =                      — 2 зростае на  [1; +00), тому

1

спадае на  [1; 5), (5; +00). а-=т-2

              Найменше значення                      у  -2 при х = 1. Тож

1

                                у — на  [1; 5)  —0,5.

67-2

Рис. 2.1.4

2.2. Побудова               суми

Щоб побудувати функцй у = f(x) + д (х), спочатку побудувати у = f(x) i у = д (х), чого виконати алгебраТчне додавання ординат  Застосування цього способу коли доданки е елементарними При цьому поTPi6H0 насамперед звернути увагу на xapakTepHi точки у = f(x) i у = д(х) i в цих точках обчислити значення функцй у = f(x) + д(х).

kpiM того            врахувати  M0H0T0HHicTb  що вхо-

дять у суму, й будувати                 у  Тх областей визначення.

             Приклад 2.2.1. Побудувати                  функцй у = х + cos х.

Будуемо у = х i у = cos х, чого виконуемо алгебраТчне додавання ординат (рис.2.2.1).

При  варто звернути увагу на  Так як lcos xl 1, функцй у = х + cos х прямими у = х — 1 та у = х + 1. У тих точках, де cosx = 0, у = х + cos х лежать на у = х. У тих точках, де cosx = 1,  точки  функцй

у = х + cos х лежать на      у = х + 1. У тих точках, де cosx = —1, точки функцй у = х + cos х лежать на         у = х — 1.

Рис. 2.2.1

Приклад 2.2.2. Побудувати у = — sin х визначена для х Е [0; +00).

Будуемо  у = у = sinx на [0; +00), чого виконуемо алгебраТчне додавання ординат (рис.2.2.2).

При  варто звернути увагу на Так як lsinxl 1, функцй у = — sin х кривими у = — 1 та у = + 1. У тих точках, де sinx = 0,  у = — sinx ле-

жать на                                     у = б. У тих точках, де sinx = 1, точки

                    х — sin х лежать на              =      — 1. У тих точках, де sinx = -1,

                     точки                                 у =         — sin х лежать на               у =         + 1.

Рис. 2.2.2

Приклад 2.2.3. Побудувати функцй у — х2+х—2 визначена для х Е ( —00; —2) U (—2; 1) U (1; +00).

             Запишемо у                  суми простих                  використовуючи метод

невизначених

Ах+2А+Вх-В          (А+В)х+(2А-В) х—1 х+2 (х—1)(х+2)     (х—1)(х+2)

Отже, (А + В)х + (2А — В) = 2x + 1,

тому перепишемо задану  у

                   1       1

виглядт у

                                                                    1             1

               Тепер будуемо  у = — i у —                           чого виконуемо

х—1 алгебраТчне додавання ординат (рис.2.2.З).

При  варто звернути увагу на те, що при х = —0,5

        1             1

х—1приймають значення, тому х = —0,5 е нулем фу-

2х+1 нкцй у =

Рис. 2.2.3

2.3. Побудова добутку

Щоб побудувати у = f(x) • д(х), спочатку побудувати у = f(x) i у = д (х), чого

ординати перемножити. Застосування цього способу  коли множники

е елементарними насамперед звер-

нути увагу на xapakTepHi точки  у = f(x) i у = д(х) i в цих точках обчислити значення у = f(x) • д (х). kpiM того врахувати паpHicTb,  M0H0T0HHicTb що входять у суму, й будувати у  Тх областей визначення.

f(x)

у — — е часткою  у = f(x) i у = д(х). Але д(х) для побудови функцй розглянути П як добуток двох функ-

11

 у = f(x) iy — Будуються  у = f(x) i у — 

ординати для характерних i контрольних точок перемножуються.

Приклад 2.3.1. Побудувати у = х • cos х.

область визначення D (у) = R симетрична нуля i для ко-

жного х з       визначення справджуеться piBHicTb: у(—х) — —у(х), то функе непарною. Побудуемо    функцй у = х • cos х на  [0; +00), а

його симетрично початку координат.

Будуемо у = х та у = cos х. Множення ординат цих спрощуеться завдяки тому, що у = cos х приймае значення piBHi 0, 1 та -1.

У точках з координатами х = — + тт, п Е Z, тах = 0  у = х • cosx перетинае BiCb абсцис.

У точках з координатамих = 27тп, п Е N отримуемо, що cosx = 1. Biточки у = х • cos х належать у = х.

cos х = —1 у точках з координатами х = тс + 2ттп, п Е Z, п 2 0.

точки належать                     у

Отже, функцй у = х • cos х прямими у = х та у функцй зображено на рис.2.З.1.

             Приклад 2.3.2. Побудувати              функцй у — х2+х—2'

2х+1

             Область визначення функцй у =                 е об'еднання

00; —2), (—2; 1), (1; +00).

Рис. 23 1

Розглянемо дануяк добуток двох  та

1

1

функцй у — було побудовано у 2.1.1. х2+х—2

1

На  (—оо; —2) бачимо, що 2х + 1 < 0, х 2+х—2 > 0, отже

2х -4-1

набуватиме  значень. На  (1; +00) бачимо, що

Х ² 4Х—2

1

 х2+х—2 > 0, отже    набуватиме додатних значень. При х — —0,5  у = 2х + 1 = 0, отже   перетинатиме BiCb абсцис.

На  (—2; —0,5) та (—0,5; 1) набуватиме

Х ² 4Х—2 додатних i значень.

функцй зображено на рис.2.З.2.

Рис. 2.3.2

2.4. Побудова складено7 функцй

            Складеною             називають               функцй

у = (х)). Тобто називаеться складеною, якщо 17 аргумент, у свою чергу, е Цей аргумент називаеться аргументом, або жною фунюјею.

Якщо позначити и = д(х), отримаемо, що у = f(u).

и = д (х), називають

Наприклад:

4х + 1 : и = 4х + 1, а  у =

2) у = cos : у = cos и;

Тснуе загальний геометричний побудови складеноТ у = f(g (х)). Цей дае  без обчислень  oci абсцис, що належить визначення задано; поставити у  то-

чку шуканого

           З                      метою будуемо  у = f(x) та у = д(х) i проводимо

1 i З координатних kYTiB — пряму у = х. Через точку (х; 0) проводимо перпендикуляр до oci абсцис, який перетинае функцй у = д(х) у

А (х; д (х)). Через точку А проводимо пряму, паралельну oci абсцис. Точка перетину прямо; i  — точка В(д(х); д(х)). Через точку В проводимо пряму, паралельну oci ординат, яка перетне функцй у = f(x) у

С(д(х); f(g(x)). Через точку С проводимо пряму, паралельну oci абсцис. Точка перетину 14i€T прямо; з перпендикуляром, проведеним у (х; 0), матиме координати (х; f(g (х))), тобто належатиме шуканому

1 Приклад 2.4.1. Побудуемо функцй у — Область визначення D(y) = R.

1 Будуемо  функцй д(х) = х ² + 2х + З та f(x) — За наведеним

х вище алгоритмом знаходимо точки шуканого зображено на рис.2.4.1.

Приклад 2.4.2. Побудуемо функцй у = СЛЋЯ. визначена на  на яких sinx 0, тобто коли

                 sin(x + 27T) =             = sin(x — 27T) , то

ною з  2тт.

Будуемо д (х) = sin х та f(x) = Й. За наведеним вище алгоритмом знаходимо точки шуканого  Зробимо це на  [0; п]

(рис.2.4.2).

Рис. 2.4.2

										10	12		14		16

Рис. 2.4.3

Так як на  [0; п] 0 sinx 1, то  sin х. Тобто функцй у = розташований вище за функцй д (х) = sinx.

         Приклад 2.4.3. Побудуемо             функцй у = sin х.

Область визначення функцй: D(y) = R.

1—cos 2х

Оскальки sin х побудуемо             фуHkIliT.

Рис. 2.4.4

															in
								0.5								х
				-2.5		-1.5			0.5			1.5	2.5		3.5			4.5

Рис. 2.4.5

Будуемо функцй д (х) = sin х та f(x) = х ² . За наведеним вище алгоритмом знаходимо точки шуканого  Зробимо це на  [0; п]

(рис.2.4.4).

функцй у = sin² x зображено на рис.2.4.5.

Так як на  [0; п] 0 sinx 1, то sin ² x sin х. Тобто функцй у = sin ² x розташований нижче за д(х) = sinx.

Висновки до II

              Виявляеться, що  дй можна виконувати не                  з числами,

виразами, а й з  При

1

виду У —        у = f(x) + д(х), у = f(x) • д(х), у = f(g(x))  знати

f(x)' у = f(x), у = д (х),та  Тх

також враховувати

висновки

В сферах нашого життя використовуеться  Завжди, коли  з'ясувати характер

наочним способом задання функцй. Тому                   будувати ес-

ki3                     е для людей багатьох

В p060Ti систематизовано знання про i елементарних розглянуто методи побудови суми та добутку функцй

1

ВИДУ — , складених двох Виявляеться, що

f(x) дй можна виконувати не         з числами,  виразами, а й

з  При цьому дано; функцй суттево  а значить можна <<прочитати>> за

При роботи я повторив  i елементарних функ навчився будувати  отримав виконання p06iT на  я використовував математичний додаток GeoGebra).

У p060Ti представлена достатня що розкривають споci6 побудови  без залучення iHcTpyMeHTiB математичного анаJIi3Y.

Перспективи подальшого полягають у розглянутих у p060Ti побудови та побудови за допомо-

гою

                       що робота буде                учням i вчителям,          люблять розв'я-

зувати нестандартними способами та зможе використовуватися час проведення ypokiB математики, факультативних занять, при p060Ti математичних

СПИСОК ВИКОРИСТАНИХ ДЖЕРЕЛ

1.        Гельфанд И. М., Глаголева Е. Г., Шноль Э.Э. Функции и графики (основные приемы).—7-е изд., стереотипное.—М.• МЦНМО, 2006.—120 с.: ил.

2.        ICTep О.С. Алгебра i початки : piBeHb) : для 10-го кл. закл. заг. серед, / О. С. Тстер, О. В. — КиТв : Генеза, 2018.

448 с. :

З.  Т.Й. Функцй, Тх  (навч.-метод.

 - Х.: Основа, 2009. - 123 с.

4. Шунда Н.М. Функцй та Тх — 2-ге вид., доп.

- К.: Радянська школа, 1983. — 190с.,

5.  та побудова Тх  URL: https://vseosvita.ua/li-

brary/naukovo-doslidnicka-robota-doslidzenna-funkcij-ta-pobudova-ih-graflkiv-