Матеріали до уроку "Тригранний кут та його властивості"
Матеріал містить короткі теоретичні відомості з теми "Тригранний кут та його властивості", зразки розв'язування вправ та завдання для самостійного розв'язання
Тригранний кут та його властивості
Матеріали до уроку
1. Теоретичні відомості
Розглянемо три промені SA, SB, SC, що виходять з однієї точки S і не лежать в одній площині.
Тригранним кутом SABC називається фігура, утворена трьома плоскими кутами ASB, BSC і ASC.
Ці кути називаюся гранями тригранного кута, а їхні сторони – ребрами. Спільна вершина S плоских кутів називається вершиною тригранного кута. Двогранні кути, утворені гранями тригранного кута, називаються двогранними кутами тригранного кута.
Властивості
1. Величина кожного плоского кута тригранного кута менша від суми величин двох інших його плоских кутів.
< + β; < β + ; β < +
2. Сума величин усіх плоских кутів тригранного кута менша від 360о.
+ β + < 360о
3. Перша теорема косинусів для тригранного кута. Якщо , β, – плоскі кути тригранного кута, 
– його двогранний кут, протилежний , то cos = cos cosβ + sin sinβ cos.
Наслідок. Якщо один із двогранних кутів тригранного кута прямий, то косинус протилежного плоского кута дорівнює добутку косинусів двох інших його плоских кутів.
Якщо = 90о, то cos = cos cosβ.
4. Друга теорема косинусів для тригранного кута. Якщо , β, – плоскі кути тригранного кута, 
, 
, – його двогранні кути, протилежні відповідно , β, , то cos
= – cos cos + sin sin cos.
5. Теорема синусів для тригранного кута. Для тригранного кута відношення синуса двогранного кута до синуса протилежного йому плоского кута є величиною сталою.
2. Приклади розв’язування вправ
1. Два плоскі кути тригранного кута дорівнюють 120о і 130о. У яких межах лежить величина третього плоского кута?
Розв’язання. Позначимо величину третього плоского кута через х. Запишемо властивості, які задовольняють плоскі кути тригранного кута:
х < 120о + 130о
120о < 130о + х
130о < 120о + х
х + 120о + 130о < 360о
Тоді
х < 250о
х > – 10о
х > 10о
х < 360о
Отже, 10о < х < 110о.
2. У тригранного кута два плоских кути по 45о, двогранний кут між ними – прямий. Знайдіть третій плоский кут.
Розв’язання. Якщо = 90о, то cos = cos cosβ = cos45ocos 45o = 
.
Отже, = 60о.
3. Вправи
1. Чи існує тригранний кут із плоскими кутами:
1) 100о, 130о, 20о;
2) 30о, 45о, 60о;
3) 100о, 140о, 120о?
2. Два плоскі кути тригранного кута дорівнюють 60о і 80о. У яких межах лежить величина третього плоского кута?
3. Плоскі кути тригранного кута дорівнюють 45о, 45о і 60о. Знайдіть величину кута між площинами плоских кутів, що дорівнюють 45о.
про публікацію авторської розробки
Додати розробку