Методична розробка лекційного заняття "Показникова функція, її графік та властивості. Методи розв'язування показникових рівнянь та нерівностей"

МЕТОДИЧНА РОЗРОБКА

Викладача ІІ категорії

Ющенко Ірини Миколаївни

Показникова функція, її графік та властивості. Методи розв'язування показникових рівнянь та нерівностей 

Методичні рекомендації до проведення лекційного заняття

Методична розробка заняття на тему «Показникова функція, її графік та властивості. Методи розв'язування показникових рівнянь та нерівностей» розглянута та затверджена на засіданні циклової комісії загальноосвітніх дисциплін.

АНОТАЦІЯ

Математика – це всеосяжна наука, без знання якої неможливо ні пізнати оточуючий нас світ, ні забезпечити науково-технічний прогрес. Одним із понять математики є показникова функція. На її вивчення приділяється 2 год. лекцій та 4 год. практичних занять.

Мета: ввести поняття показникової функції, показникового рівняння та нерівності, розглянути властивості показникової функції  та  її графік; розвивати навики використання властивостей показникової функції при виконанні вправ, побудові графіків показникової функції  та |навичок| розв’язання показникових рівнянь і нерівностей; виховувати культуру математичного запису, охайність, уважність, культуру математичного мовлення, вміння робити висновки.

Отже, для досягнення поставленої мети необхідно розглянути такі питання: показникова функція, її графік та властивості; методи розв’язування показникових рівнянь та нерівностей.

Методична розробка включає зміст, вступ, план заняття, хід заняття, висновки, список використаних джерел.

Методична розробка заняття може бути корисна викладачам математики закладів фахової передвищої освіти.

ЗМІСТ

ВСТУП

У сучасних умовах найважливішим для держави є виховання не лише людини інноваційного типу мислення та культури, а, в першу чергу, формування патріотичної особистості здобувача освіти, його нових життєвих орієнтирів, в тому числі і засобами математики.

У процесі вивчення даної теми здобувачі освіти систематизують, узагальнюють і поглиблюють знання про функції, засвоюють поняття показникової функцій, її властивості та графік, навички та вміння виконувати тотожні перетворення виразів показникової функції, розв’язувати показникові рівняння та нерівності.

Розв’язуванню задач, де використовуються дані поняття, приділяється  також увага на НМТ. Розгляд цієї теми дуже важливий, тому під час вивчення даної теми доречно використовувати різноманітні технології, щоб сприяти кращому вивченню і засвоєнню відповідного матеріалу.

Саме ці міркування обумовили вибір теми та актуальність заняття: "Показникова функція, її графік та властивості. Методи розв'язування показникових рівнянь та нерівностей ".

Заняття включає інформаційний матеріал теми, мультимедійну презентацію, запитання для узагальнення нового. Заняття супроводжується розповіддю, демонстрацією і т.д.

ПЛАН ЗАНЯТТЯ

Тема заняття: Показникова функція, її графік та властивості. Методи розв'язування показникових рівнянь та нерівностей

Вид заняття: лекція з елемантами бесіди

Мета заняття:

•          ввести поняття показникової функції, показникового рівняння та нерівності, розглянути властивості показникової функції  та  її графік, розглянути методи розв’язування показникових рівнянь та нерівностей;
•          розвивати навики використання властивостей показникової функції при виконанні вправ, побудові графіків показникової функції та |навичок| розв’язання показникових рівнянь і нерівностей;
•          виховувати культуру математичного запису, охайність, уважність, культуру математичного мовлення, вміння робити висновки.

Кваліфікаційні вимоги до знань, умінь та навичок:

Знати: означення показникової функції, властивості показникової функції, означення показникового рівняння та нерівності, методи розв’язування показникових рівнянь та нерівностей.

Вміти: будувати графіки показникових функцій і на них ілюструвати властивості, правильно визначати вид показникових рівнянь та нерівностей, розв'язувати показникові рівняння та нерівності і записувати їх розв’язки.

Забезпечення заняття:

Наочні засоби: мультимедійна презентація, опорний конспект.

Технічні засоби: мультимедійна система.

Література:

1.     Алгебра. 11 клас: підруч. для загальноосвіт. навчальн. закладів: академ. рівень, проф. рівень / А.Г. Мерзляк, Д.А. Номіровський, В.Б. Полонський, М.С. Якір. – Х.: Гімназія, 2011. – с. 154-180.
2.     Математика. Комплексна підготовка до ЗНО і ДПА / Уклад. А.М. Капіносов [та ін.]. – Тернопіль: Підручники і посібники 2017. – с. 144-164.

Структура заняття:

1. Організаційний момент

Перевірка готовності групи до заняття. Перевірка присутніх. Налаштування здобувачів освіти на роботу.

2. Мотивація навчальної і пізнавальної діяльності. Повідомлення теми і мети

Шановні здобувачі освіти! Сьогодні ми розглянемо тему "Показникова функція, її графік та властивості. Методи розв'язування показникових рівнянь та нерівностей".

Показникова функція є однією з найважливіших функцій у математиці та зустрічається у багатьох областях науки та техніки. Вона є основою для розуміння багатьох інших функцій та може бути застосована у різних сферах життя, таких як фінанси, економіка, фізика, хімія та інші.

На занятті ми розглянемо основні властивості показникової функції. Також ми ознайомимось з методами розв'язування показникових рівнянь та нерівностей, що дозволить нам зрозуміти, як застосовувати цю функцію для вирішення різноманітних задач.

Вивчення цієї теми є важливим кроком у вашому математичному розвитку, оскільки показникова функція є необхідною для розуміння більш складних математичних концепцій та є ключовим елементом у будь-якому курсі математики.

 Отже, я сподіваюся, що це заняття стане для вас цікавим та корисним. Давайте розпочнемо!

3. Вивчення нового матеріалу

План

1. Екскурс в історію.
2. Показникова функція, її властивості та графік.
3. Розв’язування показникових рівнянь.
4. Розв’язування показникових нерівностей.

Література

1. Алгебра. 11 клас: підруч. для загальноосвіт. навчальн. закладів: академ. рівень, проф. рівень / А.Г. Мерзляк, Д.А. Номіровський, В.Б. Полонський, М.С. Якір. – Х.: Гімназія, 2011. – с. 154-180.
2. Математика. Комплексна підготовка до ЗНО і ДПА / Уклад. А.М. Капіносов [та ін.]. – Тернопіль: Підручники і посібники 2017. – с. 144-164.

1. Екскурс в історію

Історія показникової функції починається з далеких часів.

Відома легенда про арабського царя, у якого винахідник шахівниці зажадав за свій винахід зерна. Причому за першу клітку — 1 зерно (2⁰), за другу — два просив винахідник (2¹), за третю — чотири (2²), за четверту — вісім (2³), за п'яту — шістнадцять (2⁴), за шосту — тридцять два (2⁵) і т. д. Чимало часу цар витратив на підрахунок. Коли ж підрахували — розплакалися: вийшло вісімнадцять квінтильйонів чотириста сорок шість квадрильйонів сімсот чотири трильйони сімдесят три більйони сімсот дев'ять мільйонів п'ятсот п'ятдесят одна тисяча шістсот п'ятнадцять (число двадцятизначне). Цього зерна вистачило, щоб засіяти всю сушу та їсти його довелося б мільйони років.

Ще за стародавніх часів було поширене  лихварство — віддавання грошей у позику під відсотки. Селянин у разі неврожаю, ремісник, майно якого знищила пожежа, розорений торгівець змушені були йти до лихваря, обіцяючи наступного року повернути суму значно більшу, ніж узята в позику. Наприклад, у Давньому Вавилоні лихварі брали по 20% лихви на рік. Якщо боржник не міг повернути борг наступного року, йому треба було платити відсотки не тільки з позиченого капіталу, а й з відсотків, що виросли за рік. Тому через 2 роки слід було заплатити не 40 %, а 44 % лихви, адже 1,2²=1,44. За 5 років сума боргу збільшувалася в 1,2⁵ разів, тобто майже в 2,5 рази, а за 10 років—більш, ніж у 6 разів. Зрозуміло, що більшість боржників були не в змозі повернути борг і, давно виплативши основну суму боргу, були змушені все життя працювати на те, щоб виплатити зростаючі відсотки. Нарешті, зубожілі боржники ставали рабами хижого лихваря.

У XIV—XV ст. у Західній Європі почали з'являтися банки (франц. «banque» — лава, контора) — установи, які давали гроші в позику князям і купцям, фінансували за великі відсотки далекі мандрівки та завойовницькі походи. Щоб полегшити розрахунки складних відсотків, складали таблиці, за якими відразу можна було дізнатися, яку суму треба виплатити через  п років, якщо була взята сума під % річних. Легко підрахувати, що сума, яку треба заплатити, виражається формулою:

.

Якщо р — стале, то  А_n є функцією від  п. Такі таблиці давали значення показникової функції при різних значеннях основи і натуральних значеннях п.

Отже, показникова функція не випадково народилася, органічно увійшла у життя і знайшла широке застосування. Показникові функції трапляються в найрізноманітніших галузях науки — фізиці, хімії, біології, економіці, інформатиці, медицині, лісництві, картографії, будівництві тощо.

2. Показникова функція, її властивості та графік

Оберемо  деяке додатне число а, відмінне від 1. Кожному дійсному числу х можна поставити у відповідність додатне число

Тим самим задано функцію де , з областю визначення .

Цю функцію називають показниковою.

Отже, функція де , називається показниковою (з основою a).

Властивості показникової функції:

1.     Областю визначення показникової функції є множина всіх дійсних чисел.
2.     Областю значень показникової функції є множина (0; +∞).
3.     Функція ні парна, ні непарна.
4.     Показникові функція не має нулів, і проміжок (−∞; +∞) є її проміжком знакосталості.
5.     Зростання / спадання:

6.     Показникова функція є неперервною.
7.     Оскільки показникові функція є або зростаючою або спадною, то вона не має точок екстремуму.
8.     Показникові функція є диференційованою.
9.     Асимптоти:

1. Якщо , то графік функції має горизонтальну асимптоту у = 0 при ;
2. Якщо , то графік функції має горизонтальну асимптоту у = 0 при .

10.     Показникова функція не періодична.
11.     Особливості графіка функції: проходить через точку (0;1).

Графік показникової функції

Спочатку побудуємо графік функції .

Для цього складемо таблицю значень  функції:

Далі побудуємо графік функції .

Складемо таблицю значень  функції:

3.     Розв’язування показникових рівнянь

Рівняння називають показниковим, якщо воно містить змінні  лише в показниках степенів.

Наприклад, показниковими є рівняння: 2^х = 8; 3^х + 9^х = 2; тощо.

Розглянемо деякі види показникових рівнянь та методи їх розв’язування.

Найпростішим показниковим рівнянням є рівняння