Методична розробка уроку алгебри "Квадратична функція"

Про матеріал

Конспект першого уроку з теми "Квадратична функція" у 9 класі. На уроці застосовуються різні прийоми і методи роботи: робота з підручником, робота у групах (створення проекту), при йоми "незакінчене речення", встанови відповідність" та інші, що допомагає зробити урок продуктивним, живим.

Перегляд файлу

Алгебра

9 клас

Квадратична функція

Урок 1

Тема уроку. Функція

Мета. Повторити і розширити знання учнів про функцію, способи її задання та властивості.

Хід уроку

Повідомлення теми і мети уроку.

У повсякденному житті ми часто спостерігаємо процеси, в яких при зміні однієї величини змінюється інша. Так найпростішим прикладом такої зміни є зміна затраченого часу при збільшенні швидкості, чи зменшення часу на виконання роботи при підвищенні продуктивності праці і таке інше. Для вивчення цих процесів потрібно створити математичну модель. І однією з таких моделей є функція. Отже, темою сьогоднішнього уроку є «Функції». На домашнє завдання ви повторювали матеріал за восьмий клас, який викладено у п.31-37 на стор. 291-294 підручника. Пригадаємо деякі важливі моменти.

Актуалізація опорних знань.

Робота з підручником . Завдання: прочитати п.7 і виділити основні моменти згідно запитань у підручнику у вигляді блок-схеми.

Метод «Незакінчене речення»

1)У формулі для обчислення шляху S=vt швидкість є … (Незалежною змінною).

2) Правило, за допомогою якого за кожним значенням незалежної змінної можна знайти єдине значення залежної змінної називають … (Функцією)

3) Незалежну змінну інакше називають …(Аргументом)

4) Усі значення, яких набуває незалежна змінна (аргумент), називається…(Областю визначення функції)

5) Усі значення, яких набуває залежна змінна, називається… (Областю значень функції)

6) Геометричну фігуру, яка складається з усіх тих і тільки точок координатної площини, абсциси яких дорівнюють значенням аргументу, а ординати – відповідним значенням функції, називають…(Графіком функції)

7) Спосіб задання функції за допомогою речень називається…(Описовим)

8) Спосіб задання функції за допомогою дворядкової таблиці називають…(Табличним)

9) Спосіб задання функції за допомогою формули називається…(Аналітичним)

Прийом «Встанови відповідність і заповни проміжки» (використовується мульти медійний проектор)

Функція	Область визначення	Область значень	Графік
А)у = kx	?	?	А) парабола
Б) yk ≠0	?	?	Б) пряма
В) y = x²	?	?	В) гіпербола
Г ) y =	?	?	Г) парабола

Робота в групах за підручником

Перша група виконує №228

Друга група виконує №229

Перша і друга групи в процесі виконання завдання дають відповіді на запитання:

Яким способом задана функція?

Яка область визначення даної функції?

Яка область значень даної функції?

Які координати точок перетину графіка з осями координат?

Для якого значення незалежної змінної значення функції найбільше? Найменше? Чи має функція, на вашу думку, найменше значення?

Третя група виконує №226

Четверта група виконує №227

Третя і четверта групи в процесі виконання завдання дають відповіді на запитання:

Яким способом задана функція?

Як називається дана функція?

Які область визначення і область значень функції?

Скільки точок перетину з осями має дана функція?

Чи має функція найбільше і найменше значення?

Групи звітують про виконане завдання.

Розв’язування вправ.

Прийом «Мікрофон»

Усно №230 з коментуванням. Приклад коментування:

5) у=

Функція задана формулою, у правій частині якої дріб. Дробовий вираз має зміст, якщо знаменник відмінний від 0. У знаменнику ми маємо квадратний корінь, який визначений, якщо підкореневий вираз невідє’мний. Але квадратний корінь у знаменнику, тому підкореневий вираз є додатний. Маємо нерівність, яка визначатииме область визначення даної функції, 1-х 0. Отже, область визначення даної даної функції D( f ): х .

Пригадаємо, які координати мають точки , що лежать на координатних осях. Як , не виконуючи побудови графіка функції, знайти точки перетину графіка з осями координат? (Відповіді учнів)

Учні виконують №234 на дошці. Встановити, якщо можливо, який вигляд матиме графік функції, і якою буде область значень функції.

Зразок запису у зошитах і на дошці:

2) f(x)=

D(f): 3x-50, x≠1; х

Якщо х=0, то f(x)=-4. Точка перетину з віссю ординат (0;-4).

Якщо у=0, то =0, 20-4х=0, х=5. Отже, точка перетину з віссю абсцис (5;0). Графік не перетинатиме пряму х=1, тому областю значень буде множина дійсних чисел, виключаючи число -1.

Робота в групах. Проект «Функція».

Мета: Узагальнити знання про функцію. Задати функцію описом, формулою , накреслити її графік, описати її, узагальнивши знання, здобуті під час уроку.

Завдання першій групі (група достатнього рівня).

Задати функцію, область визначення якої є множина всіх дійсних чисел, крім тих, які є коренями рівняння х²-7х+12=0. Графіком не має бути парабола.

Завдання другій групі ( група високого рівня).

Задати функцію, область визначення якої є множина дійсних чисел, крім тих , які є коренями рівняння =0.

Завдання третій групі (група достатнього рівня).

Задати функцію, областю визначення якої є множина усіх чисел, які більші за 4, крім числа 8.

Завдання четвертій групі (група середнього рівня).

Задати функцію, область визначення якої – множина дійсних чисел. крім числа 3.

4. Звіт груп про проведену роботу. Захист проектів.

5. Підсумок уроку . Чи досягнута мета вашого проекту? Які моменти викликали труднощі?

6. Домашнє завдання:§2, п.7, №№238, 239,245.

А. Г. Мерзляк, В. Б Полонський , М. С. Якір. Алгебра. Підручник для 9 класу загальноосвітніх навчальних закладів.

Урок 2

Тема уроку. Властивості функції

Мета . Розширити знання учнів про властивості функцій. Ввести поняття нулів функції, зростання і спадання функції, проміжків знакосталості функції. Навчити учнів описувати властивості функції.

Технічне оснащення уроку. Мультимедійний проектор. Презентація «Графіки функцій. Де ми з ними зустрічаємось?»

Хід уроку

Актуалізація опорних знань.

Учитель пропонує учням звірити своє виконання домашнього завдання із тим, що спроектоване на інтерактивну дошку. Якщо є завдання, які викликали труднощі, то вони розбираються на уроці.

Тест «Чи правильно, що…» (5 хвилин)

1.…незалежну змінну називають функцією? (Ні)

2. …множину значень незалежної змінної називають областю визначення функції? (Так)

3.….графіком лінійної функції є гіпербола? (Ні)

4.….областю визначення функції у= є множина додатних чисел? (Ні)

5.…графіком оберненої пропорційності є гіпербола? (Ні)

6.….абсциса точки перетину графіка функції з віссю ординат дорівнює нулю? (Так)

7. ….що областю значень функції у=х² є всі додатні числа? (Ні)

8. …що функцію виду у= називають лінійною? (Ні)

9. …що областю значень функції у= є множина невідємних чисел? (Ні)

10. …зображенням функції може слугувати її графік? (Так)

Взаємоперевірка. Кожна правильна відповідь оцінюється одним балом.

Повідомлення теми, мети уроку. Мотивація навчання.

Учні часто запитують: «Навіщо нам треба вивчати властивості функцій?» У повсякденному житті ми часто, того не помічаючи. Маємо справу з функціями. Ви приходите на прийом до кардіолога і робите кардіограму. Кардіограма – це той самий графік залежності, за яким лікар визначає стан вашого здоров’я. Сейсмологи користуються таким пристроєм як сейсмограф, який видає нам теж графік – сейсмограму , вивчаючи який сейсмологи можуть спрогнозувати землетруси, визначити, де був землетрус і якої сили.

Демонструється презентація «Графіки функцій. Де ми з ними зустрічаємось?»

Сприймання нового матеріалу.

Учням демонструється графік функціональної залежності.

Означення 1.

Значення аргументу, при якому значення функції дорівнює 0, називають нулем функції.

Важливо! Нуль функції – це абсциса точки перетину графіка з віссю абсцис, а не сама точка! Функція може не мати нулів, якщо рівняння у=0 не має коренів. Графік такої функції не перетинає вісь абсцис.

Приклад1.

Функція у= 2х має один нуль х=0.

Приклад 2.

Функція у= не має нулів, бо рівняння = 0 не має коренів.

Приклад 3.

Функція у= (9-х) має два нулі х₁=4 і х₂=5. Отже графік перетинає вісь абсцис у двох точках (4;0) і (5; 0).

Означення 2.

Кожний з проміжків, на якому функція набуває значень однакового знаку, називається проміжком знакосталості функції.

Важливо! Прийнято вказувати проміжки максимальної довжини. Якщо функція набуває додатних значень на деякому проміжку, то на цьому проміжку графік знаходиться над віссю абсцис, якщо від’ємних, - то під віссю

Приклад 1.

Лінійна функція у=2х набуває додатних значень на проміжку , а від’ємних на проміжку .

Приклад 2.

Функція у= набуває додатних зн҆҆҆҆ачень на проміжку .

Алгоритм дослідження функції на знакосталість

1)Знайти нулі функції.

2) Розбити числову вісь на проміжки, позначивши на ній нулі функції.

3) Визначити знак функції на кожному з проміжків, підставивши у функцію значення х із даного проміжку.

Означення 3.

Функція називається зростаючою на деякому проміжку, якщо для будь-яких значень аргументу з цього проміжку більшому значенню аргументу відповідає більше значення функції:

х₁х₂f(x₁) f(x₂).

Означення 4.

Функція називається спадною на деякому проміжку, якщо для будь-яких значень аргументу з цього проміжку більшому значенню аргументу відповідає більше значення функції:

х₁х₂_⇒f(x₁)f(x₂).

Якщо функція зростає (спадає) на всій області визначення, то вона називається зростаючою (спадною).

Алгоритм дослідження функції на зростання і спадання

1) Взяти два значення аргументу з області визначення функції х₁і х₂, таких що х₁х₂.

2) Знайти різницю f(x₁) – f(x₂) і порівняти її з нулем. Якщо ця різниця додатна, то функція зростаюча. Якщо різниця від’ємна, то функція спадна .

4. Усвідомлення нового матеріалу.

1)Робота з підручником. Прийом «Мікрофон»

Учні дають відповіді на запитання вправ №№250, 252,253, використовуючи малюнки 21, 23, 24.

2)Розв’язування вправ за зразком

Дослідити на зростання (спадання ) функцію №255 (1, 5,6).

1.Зразок оформлення №255

Зростаючою чи спадною є функція у=-4х+10?

Розв’язання

D(f): х

Нехай х₁х₂ з області визначення. Знайдемо різницю f(x₁) – f(x₂) = - 4х₁+ 10- (-4х₂) – 10 = - 4 (х₁- х₂) . Оскільки х₁х₂_,то f(x₁) – f(x₂) 0. Отже, функція спадна.

2.Знайти нулі функції:

1) f(x) = ;

2) g(x) = x³ - 3x;

3) t(x) = x²+1;

4) f(x) = .

3) Знайти проміжки знакосталості функції. №258 (2, 3, 4):

2) у = -7х – 28;

3) у = х² - 2х +1;

4) у = .

5. Підсумок уроку

Прийом «Незакінчене речення»

1.Нулем функції називають…

2. Проміжки знакосталості –це проміжки , на яких функція…

3.Функція називається зростаючою на деякому проміжку, якщо…

4.Функція називається спадною, якщо…

5.Якщо функція не має нулів, то її графік…

6.Графік знаходиться під віссю абсцис на деякому проміжку. Тоді функція на цьому проміжку набуває…

6. Домашнє завдання. п.8, №257, №259, №262.

Для учнів, що мають високий рівень підготовки, №273, № 275.

Урок 3

Тема. Розв'язування вправ

Мета уроку. Формувати вміння і навички дослідження властивостей функцій, застосування набутих вмінь у нестандартних умовах.

Технічне забезпечення уроку. Мультимедійний проектор. З допомогою якого проектуються тексти тесту, схема дослідження функції, завдання.

Хід уроку

1. Актуалізація опорних знань.

1) Перевірку домашнього завдання здійснюють учні-консультанти перед уроком. На обговорення виносяться вправи, які викликали труднощі.

2) Тест (10 хв.)

1.Нулями функції у = є числа:

а ) 3 і 0; б) 0; в) функція не має нулів; г)3.

2.Графік функції у = х²-2х перетинає вісь ординат у точці:

а) (0;2);б) (2;0); в) (2;2); г )(0;0).

3. Функція у= є зростаючою на проміжку:

а) ; б) ; в)

4. Функція у = набуває на області визначення:

а)тільки додатних значень; б) тільки від’ємних значень; в) тільки невід’ємних значень; г)тільки недодатних значень.

5.Графіку функції у = - 2х належить точка:

а) (-4;-8); б) (-4;4); в) (-4;12); г)(-4;-12).

6. Функція у=2х-3 набуває додатних значень на проміжку:

а)

7. Точка А(-1;4) належть графіку функції:

а) f(х) = 2х-2; б) у =; в) у = г) у =1+ .

8.Графік функції у = - х перетинає вісь абсцис у точках:

а) (-1; 1); б) (1; -1); в) (0;1) і (0;-1); г) (0;0); (1;0); (-1;0).

9. Функція у = спадною на проміжку:

а) .

10. Областю значень функції у = є проміжок:

а) ; б) ; в); г) .

Перевірка результатів (результати - на екрані)

2. Повідомлення теми, мети уроку.

3. Розв’язування вправ.

Колективне розв’язування вправ на дослідження функції за схемою

Схема дослідження властивостей функції

Знайти область визначення функції.
Знайти нулі функції.
Знайти проміжки знакосталості функції. Вказати, як буде розміщений графік на цих проміжках по відношенню до осі абсцис.
Знайти точки перетину з осями координат.
Дослідити функцію на монотонність.

Вправа 1. (один учень записує на дошці)

Дослідити властивості функції у = .

1. Область визначення D(f): х +1 0, х.

2. Нулі функції. Розв’яжемо рівняння у =0. Маємо = 0.

3 – 0,2х = 0; 0,2х = 3; х = 15.

3. Розіб’ємо область визначення на проміжки ; ; . Дослідимо знак функції на кожному з проміжків:


3 – 0,2х	+	+	–
х+1	–	+	+
у	–	+	–

Отже, функція набуває додатних значень на проміжку , від’ємних значень на проміжках і Для всіх значень х із проміжку графік буде розміщений над віссю абсцис, на проміжках – під віссю абсцис.

4. Точка перетину з віссю абсцис (15;0). Знайдемо точку перетину з віссю ординат: х – 0, тоді у = 3. Отже, маємо точку (0;3).

5. Дослідимо функцію на монотонність. Нехай х₁=2, х₂=3, тоді f(2) = = = ; f(3) = = = = = 0,6. Оскільки 2, а f(2) f(3), то функція спадна на всій області визначення.

Спробуйте схематично побудувати графік, використовуючи отримані властивості функції. Чи має значення , якщо х = -1? Проведіть пряму х = -1. Чи перетинатиме цю пряму графік функції? Ця пряма називається вертикальною асимптотою. Але про неї ми більше дізнаємось у старших класах.

Вправа 2.

№264

Побудуйте графік функції

F(x) =

Користуючись графіком, вкажіть область визначення і область значень, нулі даної функції, її проміжки знакосталості, проміжки зростання і спадання.

Вправа 3.

№269

При якому найбільшому цілому значенні т функція у = (8 – 3m)х – 7 є зростаючою?

Розв’язання:

Функція є лінійною. Отже, зростаючою вона буде, якщо коефіцієнт при х буде додатним. Тому маємо нерівність 8 – 3m 0, звідки m 2 . Най більшим цілим значенням, яке є розв’язком цієї нерівності є число 2.

Самостійне розв’язування вправ. (10 хвилин)

І варіант

1.Побудувати графік функції і описати її властивості:

у =

2. №266. При яких значеннях a функція у = х² + (2a -1)х + a²+ a має два нулі?

ІІ варіант

1. Побудувати графік функції і описати її властивості:

у = ,

2. №267. При яких значеннях п функція у = х² + 6х + п не має нулів?

Перевірка виконаної роботи. Прийом «Мікрофон»

4. Підсумок уроку. Домашнє завдання.

№272, 263. Для учнів з високим рівнем підготовки задати функцію. Що має властивості, описані у №263, аналітично і дослідити цю функцію.

Урок 4

Тема. Найпростіші перетворення графіків функцій. Побудова графіка функції у = kf(x), якщо відомо графік функції y=f(x)

Мета. Навчити учнів будувати графік функції у = k f(x). Ввести поняття розтягу і стиснення графіка. Розширити уявлення про параболу.

Технічне забезпечення. Мультимедійний проектор.

Хід уроку.

1. Актуалізація опорних знань.

У 8 класі ви ознайлмились з функцією у = х² і дізналися, що її графіком є фігура, або крива, яка називається параболою.

Як ви думаєте, що буде графіком функцій у = 4х², у = - х², у = -3х²? Сьогодні ми дізнаємось, як побудувати графік функції у = k f(x), знаючи. як будується графік функції y = f(x).

2. Сприймання нового матеріалу.

Побудуємо в одній системі координат графіки трьох функцій, склавши таблицю (кожний графік зображаємо іншим кольором):

х	-3	-2	-1	- 0,5	0,5	1	2	3
у = х²	9	4	1	0,25	0,25	1	4	9
у= х²	4,5	2	0,5	0,125	0,125	0,5	2	4,5
у= 2х²	18	8	2	1	1	2	8	18

Бесіда з учнями. Чи змінилась форма графіка? Що змінилось? Кожне значення функції при тому ж самому значенні аргументу зменшилось для другої функції і збільшилось для третьої. Графічно – вітки параболи наблизились до осі Ох у першому випадку (k = і віддалились у другому (k = 2), причому вершина параболи лишилась на місці. , а 2 . Кажуть, що у першому випадку виконано стиснення графіка у = х²до осі Ох в рази, у другому випадку - розтяг у 2 рази від осі абсцис. Як ви думаєте, що буде, якщо k? Як зміняться значення у? На протилежні. Отже, графік такої функції – теж парабола. Але вітки напрямлені вниз, тобто «дзеркально» відобразиться відносно осі абсцис. Отже, графік функції виду у = aх² - парабола. Точка (0;0) є вершиною усіх таких парабол.

Парабола зустрічається у навколишньому житті. Так рух тіла, кинутого вгору, відбувається по параболі. Архітектори теж використовують у своїй творчості конструкції, що мають форму параболи.

Робота з підручником.

Знайдіть у підручнику відповідь на запитання 1 і запишіть у зошитах.
Розгляньте у підручнику мал.29, мал. 30, мал. 34 і скажіть, як отримали зображені графіки. Чи змінились нулі функції? Чи змінились проміжки зростання і спадання функцій?

3.Усвідомлення нового матеріалу.

1)Усні вправи з коментарем №288, 289.

Приклад коментара за мал. 36, а.

На малюнку зображено графік функції у = ах² . Візьмемо будь-яку точку цього графіка, наприклад, (2;2). Тоді а2²= 2, звідки а = 0,5, тобто графік отримано стисненням до осі абсцис у 0,5 рази.

2) Не виконуючи побудови , знайти координати точок перетину графіків функцій а) у = 0,5 х² та у = х +4; б) у = 3 та у = х².

3) Письмово у зошитах учні виконують вправи:

І варіант № 290, 293(1)

ІІ варіант № 291, 293(2)

Взаємоперевірка отриманих результатів.

4. Застосування набутих знань і вмінь.

Колективне виконання вправи № 296:

Побудувати графік функції:

у =

Користуючись графіком, описати її властивості.

5. Підсумок уроку. Домашнє завдання.

п.9., №297. Побудувати в одній системі координат графіки функцій

1) у = ; у = -; у = 3; у = - 3;

2) у = ; у = - ; у = ; у = .

Урок 5

Тема. Найпростіші перетворення графіків функції. Побудова графіків функцій у = f(x) + b та y= f(x+a), якщо відомий графік функції y = f(x).

Мета. Навчити учнів виконувати паралельне перенесення графіків.

Обладнання, технічне забезпечення уроку. Шаблони параболи у кожного учня. Мультимедійний проектор.

Хід уроку.

1. Перевірка домашнього завдання. (Здійснюють учні – консультанти на перерві перед уроком і доповідають про результати перевірки)

2.Актуалізація опорних знань.

Прийом «Мікрофон»

1) На малюнках дано зображення графіків функцій y =k f(x). Визначити, чому дорівнює значення k.

2) Як потрібно перетворити графік функції y = , щоб отримати графік функції y = y = 2 y = - y = - ?

3) Який з графіків на малюнку відповідає функції a) y = - б) y = 3 в) y = -2г) y = .

4) Як побудувати графік функції y = 2(x +5)²-3?

Чи можна побудувати цей графік, використовуючи уже відомі нам перетворення? Сьогодні ми навчимось це робити.

3.Повідомлення теми, мети уроку.

4. Практична робота.

1) Робота в групах.

1 група заповнює таблицю значень для функції у = ,

2 група заповнює таблицю значень для функції у =

3 група заповнює таблицю значень для функції у = – 2,

4 група заповнює таблицю значень для функції у = .

Заповнивши таблицю, учні в одній системі координат будують графіки функції у = та функції, для якої вони складали таблицю значень.

2) Представники від кожної з груп роблять висновки про те, що графіком кожної з функцій є одна і та ж сама парабола, але зміщена на координатній площині вздовж осі Ох чи Оу. У цьому можна переконатись з допомогою шаблона параболи.

Важливо! Обидва розглянуті перетворення паралельним перенесенням графіка y = f(x) вздовж координатних осей .

3) Учням пропонується знайти у підручнику правило побудови функцій у = f(x) + b і y=f(x+a) і оформити його у вигляді алгоритмічної схеми.

Алгоритмічна схема побудови графіка функції

y = f(x) + b

y = f(x)

на b одиниць

b 0 b0

y = f(x) + b

Алгоритмічна схема побудови графіка функції

y = f(x + a)

y = f(x)

a 0 a 0

y = f(x + a)

Алгоритмічна схема побудови графіка функції

y = f(x + a) +b

5.Практичне застосування здобутих знань.

І.Усні вправи. Прийом «Мікрофон» - «нон – стоп»

1. Графік якої функції одержимо, якщо графік функції у = паралельно перенесемо :

1) вниз на 5 одиниць;

2) на 8 одиниць вліво;

3) на 2 одиниці вгору і на 7 одиниць вниз;

4) на 5 одиниць вправо і на 4 одиниці вгору;

5) на 4 одиниці вліво і на 5 одиниць вгору;

6) на 2 одиниці вправо і на 3 одиниці вниз?

2. У якій координатній чверті буде розміщений графік функції:

1) у = (х–1)²+ 4;

2) у = (х + 1)²– 4;

3) у = – + 9;

4) у = +3;

5) у = ;

6) у = – – 3?

ІІ. Колективна робота

За підручником:

1) Вправа №309 (рис. 51, б) – з коментуванням.

Яким буде графік, якщо ми виконаємо розтяг його від осі абсцис у 2 рази?

Накресліть цей графік.

ІІІ. Робота в групах.

1) Використовуючи алгоритмічні схеми, записати кроки побудови графіка функції і побудувати графік:

1 група у = +2

2 група у = – 3;

3 група у = +2;

4 група у = – 4.

Користуючись графіком, відповісти на запитання:

1) Чи має дана функція нулі?

2) Які проміжки зростання і спадання функції?

3) Яка область значень даної функції?

4) Зростаючою чи спадною є функція?

ІV. Творче завдання

Прийом «Мозковий штурм»

Побудувати графік функції g = y +2. якщо

у =

Учні висувають ідеї, щодо побудови графіка:

Графік функції. яку необхідно побудувати одержимо з допомогою паралельного перенесення графіка функції у =f(x) на 2 одиниці вгору. В свою чергу графік згаданої функції складатиметься з трьох частин, кожна з яких є графіком певної функції. заданої на своєму проміжку.

6.Підсумок уроку. Домашнє завдання.

П. 10. Вправи №№ 312, 314, 317.

Урок 6. Розв’язування вправ

Тема . Побудова графіка функції у = k F(x + a) + b

Урок-проект

Мета. Узагальнити вміння і навички побудови графіків функцій шляхом найпростіших перетворень. Розвивати мислення, уяву.

Хід уроку.

1. Повідомлення теми, мети уроку.

2. Мотивація.

Під час вивчення функцій у 10-11 класах нам доведеться будувати графіки досить складних на вигляд функцій, наприклад у = –2 чи у = –4 тощо. Насправді побудова графіків цих функцій не є складною, якщо ми знаємо, як виконувати найпростіші перетворення графіків елементарних відомих нам функцій. сааме на сьогоднішньому уроці ми навчимось це робити.