Методична розробка уроку узагальнення та систематизації знань з теми “Дослідження функції за допомогою похідної”

КЗ “Маловисківський ліцей імені Юрія Кондратюка Маловисківської міської ради

Кіровоградської області”

 

 

 

Методична розробка 

Навчання теми “Похідна та її застосування”

 

 

 

                                                                                                        Розробив 

Вчитель математики,

                                                                                                        фізики та астрономії

                                                                                                                       Решетник В. С.

 

 

 

 

 

 

Мала Виска

2025

 

Методика вивчення застосувань похідної

Мета: ознайомити учнів з використанням поняття і властивостей похідної для розв’язування задач, зокрема визначення властивостей функції, доведення тотожностей, розв’язування рівнянь, нерівностей та їх систем.

Після вивчення даної теми учні повинні:

•      формулювати означення похідної та пояснювати її геометричний і фізичний зміст;

•      знаходити кутовий коефіцієнт дотичної до графіка функції; знаходити похідні функцій;

•      застосовувати похідну до знаходження проміжків монотонності та екстремумів функції;

•      знаходити найбільше і найменше значення функції на проміжку;

•      розв’язувати прикладні задачі на знаходження найбільших і найменших значень;

•      застосовувати результати дослідження функції за допомогою похідної до розв’язування рівнянь і нерівностей та доведення тотожностей і нерівностей;  описувати поняття опуклості функції та точок перегину;

•      застосовувати другу похідну до знаходження проміжків опуклості функції та точок її перегину;

•      досліджувати функції за допомогою першої та другої похідних і використовувати одержані результати для побудови графіків функцій.

 

Існує декілька методів введення поняття «похідна», наприклад, спочатку вводяться поняття приросту функції і приросту аргументу або вивчення похідної починається з введення границі послідовності і границі функції в точці, або підведення до визначення похідної починається з розгляду руху матеріальної точки і визначення її миттєвої швидкості.

Вводиться функція 𝑦 = 𝑓(𝑥) та довільна фіксована точка 𝑥₀, яка належить області визначення даної функції. Також зазначають, що 𝑥 – довільна точка, що лежить в деякому околі точки 𝑥₀, а різниця (𝑥 − 𝑥₀) називається приростом незалежної змінної (аргументу) в точці 𝑥₀, і позначається ∆𝑥, тобто:

∆𝑥 = 𝑥− 𝑥₀.

Звідки отримується рівність 𝑥 = ∆𝑥 + 𝑥₀. Кажуть також, що початкове значення аргументу 𝑥0 отримало приріст ∆𝑥. Внаслідок цього значення функції 𝑓 зміниться на величину 𝑓(𝑥) − 𝑓(𝑥₀) = 𝑓(𝑥₀+ ∆𝑥) − 𝑓(𝑥₀). Ця різниця називається приростом функції 𝑓 в точці 𝑥₀, і позначається ∆𝑓, отже маємо:

∆𝑓 = 𝑓(𝑥₀+ ∆𝑥) − 𝑓(𝑥₀),  ∆𝑓= 𝑓(𝑥) – 𝑓(𝑥₀).

Також зазначається, що для приросту функції 𝑦 = 𝑓(𝑥) прийняте позначення

∆𝑦, тобто ∆𝑦 = 𝑓(𝑥) − 𝑓(𝑥₀). Для більшої наочності учням пропонується рисунок 1.1.

Рис. 1.1. Приріст функції

Для закріплення та кращого розуміння матеріалу розглядаються задачі на знаходження приросту деякої елементарної функції із даним приростом аргументу і фіксованою точкою. Найчастіше для прикладу використовують функції 𝑓(𝑥) = 𝑥²,

 або функції виду 𝑓(𝑥) = 𝑘𝑥 + 𝑏.

Перед введенням поняття «похідна» розглядають задачі про миттєву швидкість нерівномірного прямолінійного руху матеріального об’єкта та про дотичну прямої до графіка функції в заданій точці. Дані задачі спрямовані на формування не тільки математичної компетентності, а й основних компетентностей у природничих науках і технологіях, оскільки оперують поняттями, що використовуються у фізиці.

Розглянемо задачу про миттєву швидкість діючи за алгоритмом. 

Умова задачі. Нехай автомобіль, рухається прямолінійною ділянкою дороги в одному напрямку зі змінною швидкістю, протягом часу 𝑡 (тобто на проміжку часу [0; t]) за законом 𝑠 = 𝑠(𝑡), який дозволяє визначити положення автомобіля в будьякий момент часу 𝑡₀. Потрібно визначити швидкість автомобіля в будь-який момент часу.

Розв’язання. 

1)   У заданий момент часу 𝑡₀ задають приріст часу ∆𝑡, тобто розглядають проміжок часу від 𝑡₀ до 𝑡₀ + ∆𝑡.

2)   Обчислюють приріст відстані ∆𝑠, яку проїде автомобіль за час ∆𝑡: ∆𝑠 = 𝑠(𝑡₀+

∆𝑡) – 𝑠(𝑡₀).

3)   Обчислюють середню швидкість 𝑣_с руху автомобіля протягом часу ∆𝑡:

.

4)   Обчислюють миттєву швидкість руху, яка відповідає часу 𝑡 = 𝑡₀:

.

За допомогою такого алгоритму учні вже зможуть приймати активну участь у розв’язанні задачі про дотичну прямої до графіка функції в заданій точці, оскільки матимуть майже готову схему пошуку кутового коефіцієнту дотичної.

Умова задачі. Розглянемо довільну неперервну функцію 𝑦 = 𝑓(𝑥), графіком якої є крива лінія (рисунок 1.1.). Нехай точки 𝑀₀ та 𝑀 належать цій функції, проведемо січну 𝑀𝑀₀ та зафіксуємо точку 𝑀₀, а точка 𝑀, рухаючись по кривій, наближається до точки 𝑀₀, при цьому в граничному положенні при наближенні точки 𝑀 до точки 𝑀₀ січна займе положення прямої 𝑀₀𝑇. Пряму 𝑀₀𝑇 називають дотичною до даної кривої в точці 𝑀₀. Потрібно знайти рівняння дотичної 𝑀₀𝑇.

 

 

Розв’язання.

Для початку вчитель малює графік довільної функції разом з січною та дотичною. Подібний графік міститься на рисунку 1.2.

Рис. 1.2. Дотична до графіка функції

Далі пояснюється, що дотична 𝑀₀𝑇 – це пряма, а положення прямої 𝑦 = 𝑘𝑥 +

𝑏, яка проходить через точку 𝑀₀(𝑥₀; 𝑦₀) визначається кутовим коефіцієнтом прямої  𝑘 = 𝑡𝑔𝛽, де 𝛽 – кут між прямою і додатнім напрямом осі 𝑂x. Отже, провести дотичну до графіка означає знайти число 𝑘, а для цього використовують розглянутий вище алгоритмом.

1)  Надають аргументу 𝑥₀ приросту ∆𝑥 та одержують нове значення аргументу

𝑥₀ + ∆𝑥.

2)  Відносно приросту аргументу знаходять відповідний приріст самої функції: 

∆𝑦 = 𝑓(𝑥₀ + ∆𝑥) − 𝑓(𝑥₀).

3)  Знаходять кутовий коефіцієнт січної 𝑀𝑀₀, який дорівнює tg α:

.

4)  Обчислюють кутовий коефіцієнт дотичної 𝑀₀𝑇, який дорівнює tg β:

.

Записують рівняння дотичної 𝑀₀𝑇 у вигляді 𝑦 = 𝑓(𝑥₀) + 𝑘 (𝑥 − 𝑥₀), де 𝑘 = tg β і тим самим знаходять розв’язок задачі.

Після розгляду даних задач, що є різними за змістом та призначенням задачі, робиться висновок про те, що отримані відповіді до них свідчать про те, що з математичної точки зору вони ідентичні, тобто базуються на певному загальному понятті, цим поняттям є поняття похідної функції.

Далі вчитель вводить означення похідної, розкриває фізичний та геометричний зміст похідної.

Означення. Похідною функції 𝑓 в заданій точці 𝑥₀ називають число, яке дорівнює границі відношення приросту функції 𝑓 в точці 𝑥₀ до відповідного приросту аргумента, за умови, що приріст аргумента прямує до нуля. Похідну функції 𝑓 в заданій точці 𝑥₀ позначають за допомогою штриха 𝑓′(𝑥₀), знаючи це учні можуть записати подане означення символічною мовою:

.

Отже, коли означення було введене, за його допомогою та використовуючи кроки 1) – 4) тренуються знаходити похідні найпростіших функцій в точці, при чому зазначають, якщо функція 𝑓 має похідну в точці 𝑥₀, то цю функцію називають диференційованою в цій точці, а з диференційованості слідує неперервність.

З метою формування предметної математичної компетентності, для глибшого усвідомлення означення похідної разом з учнями роблять висновок про геометричний та фізичний зміст похідної.

Після того, як був розглянутий спосіб знаходження похідної за допомогою означення, починають вивчати таблицю похідних. З метою формування дослідницької компетентності перед учнями ставлять задачу – вивести похідні зазначених функцій.

В доцільності використання таблиці похідних учні переконаються на практиці, але перед цим їм доведеться ознайомитись з загальними методами знаходження похідних різних видів функцій.

Правила, за якими прийнято обчислювати похідні суми (різниці), добутку або частки функцій у шкільному підручнику сформульовані у наступних теоремах.

Теорема 1 [про похідну суми (різниці) функцій]. 

У тих точках, у яких є диференційованими функції 𝑦 = 𝑓(𝑥) і 𝑦 = 𝑔(𝑥) також є диференційованою функція 𝑦 = 𝑓(𝑥) ± 𝑔(𝑥), причому для всіх таких точок виконується рівність (𝑓(𝑥) ± 𝑔(𝑥))′ = 𝑓′(𝑥) ± 𝑔′(𝑥). Тобто, можна сказати, що похідна суми дорівнює сумі похідних.

Теорема 2 [про похідну добутку функцій]. 

У тих точках, де є диференційованими функції 𝑦 = 𝑓(𝑥) і 𝑦 = 𝑔(𝑥), також є диференційованою функція 𝑦 = 𝑓(𝑥) ∙ 𝑔(𝑥), причому для всіх таких точок виконується рівність (𝑓(𝑥) ∙ 𝑔(𝑥))′ = 𝑓′(𝑥)𝑔(𝑥) + 𝑔′(𝑥)𝑓(𝑥). 

Наслідок з теореми про похідну добутку функцій. 

У тих точках, де є диференційованою функція 𝑦 = 𝑓(𝑥), також є диференційованою функція 𝑦 = 𝑘𝑓(𝑥), де 𝑘 – деяке число, причому для всіх таких точок виконується рівність (𝑘𝑓(𝑥))′ = 𝑘𝑓′(𝑥).

Для учнів буде простішим таке формулювання даного наслідку, як:

постійний множник можна виносити за знак похідної. 

Теорема 3 [про похідну частки функцій].

У тих точках, у яких функції 𝑦 = 𝑓(𝑥) і 𝑦 = 𝑔(𝑥) є диференційованими і значення функції 𝑦 = 𝑔(𝑥) не дорівнює нулю, функція 𝑦 = 𝑓(𝑥) 𝑔(𝑥) також є диференційованою, причому для всіх таких точок виконується рівність: 

.

Диференціюючи функції, учні обов’язково зіткнуться зі складеними функціями виду ℎ(𝑥) = 𝑓(𝑔(𝑥)), для таких випадків існує наступна теорема. 

Теорема 4 [про похідну складеної функції].

Якщо функція 𝑡 = 𝑔(𝑥) диференційована в точці 𝑥₀, а функція 𝑦 = 𝑓(𝑥) диференційована в точці 𝑡₀, де 𝑡₀ = 𝑔(𝑥₀), то складена функція ℎ(𝑥) = = 𝑓(𝑔(𝑥)) є диференційованою в точці 𝑥₀, причому ℎ′(𝑥₀) = 𝑓′(𝑡₀) ∙ 𝑔′(𝑥₀).

Після теореми 4, з метою формування дослідницької компетентності засобами розвитку дедуктивного методу, перед учнями ставлять питання про зв’язок між похідними взаємно обернених функцій та встановлюють його за допомогою наступної теореми.

Теорема 5 [про похідну оберненої функції].

Нехай оборотна функція 𝑦 = 𝑓(𝑥) має в точці 𝑥₀ похідну, відмінну від нуля, а обернена до неї функція 𝑥 = 𝑔(𝑦) є неперервною в точці 𝑦₀, де 𝑦₀ = (𝑥₀). Тоді

функція 𝑔 диференційована в точці .

Вчителі намагаються приділяти достатню кількість часу правилам обчислення похідних і, відповідно, застосуванню даних правил на практиці, тому що під час виконання учнями практичних вправ працюють синтез та аналіз, механізм узагальнення і трансформації, пошук, оскільки вимагається оцінка фактів, активно діє уява. Тобто, іншими словами, при виконанні практичних вправ формуються всі компоненти математичної компетентності, зокрема і дослідницька.

Застосування похідної до дослідження функції

У шкільному курсі алгебри та початків аналізу на поглибленому рівні за допомогою похідної, функції досліджують на:

1)  Монотонність (зростання і спадання);

2)  Точки екстремуму і екстремуми функції; 

3)  Досягнення найбільших і найменших значень на відрізку; 4) Опуклість.

Пояснення ознак зростання, спадання та сталості функцій розпочинають з ілюстрацій графіків відомих учням функцій, таких як парабола, гіпербола, пряма, паралельна осі 𝑂𝑥. Властивості монотонності цих функцій вже були доведені раніше, тому їх тільки пов’язують з використанням похідної.

Якщо розглядають графік функції 𝑦 = 𝑥², то показують, що на проміжку  𝑥 ∈ (0; + ∞), де, як відомо, функція зростає, дотична до графіка в будь якій точці утворює гострий кут з додатнім напрямом осі 𝑂𝑥, тобто похідна у цих точках додатна, аналогічно показують, що на проміжку 𝑥 ∈ (−∞; 0) похідна від’ємна. У випадку розгляду прямої, паралельної осі 𝑂𝑥, яка задається функцією виду 𝑦 = 𝑏, отримують, що похідна в будь-якій точці буде дорівнювати нулю. Дані спостереження підтверджують наступними теоремами.

Теорема 6 [ознака зростання функції].

Якщо для всіх 𝑥 з проміжку 𝐼 виконується нерівність 𝑓′(𝑥) > 0, то функція 𝑓 зростає на цьому проміжку.

Теорема 7 [ознака спадання функції].

Якщо для всіх 𝑥 з проміжку 𝐼 виконується нерівність 𝑓′(𝑥) < 0, то функція 𝑓 спадає на цьому проміжку.

Теорема 8 [ознака сталості функції].

Якщо для всіх 𝑥 з проміжку 𝐼 виконується нерівність 𝑓′(𝑥) = 0, то функція 𝑓 константна на цьому проміжку.

Існують інші методичні підходи введення достатніх умов монотонності функцій. Наприклад, в одному підручнику учнів підштовхують до теорем 6-8 за допомогою механічного змісту похідної. Даний метод використовується і в інших підручниках, але тільки для виведення ознаки сталості функції.

Теорема 9 [властивість зростаючої (спадної) функції].

Якщо диференційована на проміжку 𝐼 функція 𝑓 є зростаючою (спадною), то для всіх 𝑥 ∈ 𝐼 виконується нерівність 𝑓′(𝑥) >0 (𝑓′(𝑥) < 0).

Дослідження функцій на монотонність є алгоритмічною вправою, тому зазвичай виокремлюють кроки дослідження на прикладі декількох функцій.

Для того щоб знайти проміжки зростання (спадання) функції, потрібно:

1)  Знайти область визначення функції та точки розриву. 

2)  Знайти похідну. 

3)  Записати і розв’язати нерівність 𝑓′(𝑥) > 0 і вибрати із множин її розв’язків проміжки, на яких функція визначена. Знайдені проміжки є проміжками зростання функції. 

4)  Записати і розв’язати нерівність 𝑓′(𝑥) < 0 і вибрати із множин її розв’язків проміжки, на яких функція визначена. Знайдені проміжки є проміжками спадання функції. 

Зауважимо, що коли функція неперервна в будь-якому з кінців проміжку зростання (спадання) функції, то такий кінець можна приєднати до цього проміжку.

Також показують учням, що теорему про ознаку сталості функції можна використовувати і для доведення тотожностей. Так, якщо вдалося встановити, що похідна функції 𝑓 на проміжку 𝐼 дорівнює нулю і для деякого 𝑥₀∈ 𝐼 виконується рівність 𝑓(𝑥₀) = 𝐴, то тим самим установлено, що 𝑓(𝑥) = 𝐴 для всіх 𝑥 ∈ 𝐼.

При роботі з точками екстремуму і екстремумами функції учням наголошують, що точки максимуму і мінімуму – це точки екстремуму, а значення функції в цих точках максимуму і мінімуму – це екстремум функції. Учні часто плутають ці поняття та допускають помилки.

Перед введенням означення точок максимуму і мінімуму, говорять про окіл точки.

Означення. Інтервал (𝑎; 𝑏), який містить точку 𝑥₀, називають околом точки 𝑥₀. Далі вводять означення точок максимуму і мінімуму та демонструють їх на графіках. Похідну і точки екстремуму поєднує наступна теорема.

Теорема 10 [про точки екстремуму].

Якщо 𝑥₀ є точкою екстремуму функції 𝑓, то або 𝑓′(𝑥₀) = 0, або функція 𝑓 не є диференційованою в точці 𝑥₀.

Виникає природне запитання: чи обов’язково є точкою екстремуму внутрішня точка області визначення функції, у якій похідна дорівнює нулю або не існує? Відповідь на це запитання заперечна. За допомогою прикладів показують, що рівність нулю похідної в точці 𝑥₀ або недиференційованість функції в цій точці є необхідною, але не достатньою умовою існування екстремуму в точці 𝑥₀.

Означення. Внутрішні точки області визначення функції, у яких похідна дорівнює нулю або не існує, називають критичними точками функції.

Беручи до уваги дане означення роблять висновок, що точки екстремуму слід шукати серед критичних точок. 

Далі розглядають теореми, які є достатніми умовами, що показують, як за допомогою похідної можна знаходити точки екстремуму функції.

Теорема 11 [ознака точки максимуму функції].

Нехай функція 𝑓 є диференційованою на кожному з проміжків (𝑎; 𝑥₀) і (𝑥₀; 𝑏) і неперервною в точці 𝑥₀. Якщо для всіх 𝑥 ∈ (𝑎; 𝑥₀) виконується нерівність 𝑓′(𝑥) > 0, а для всіх 𝑥 ∈ (𝑥₀; 𝑏) виконується нерівність 𝑓 ′(𝑥) < 0, то точка 𝑥₀ є точкою максимуму функції 𝑓.

Теорема 12 [ознака точки мінімуму функції].

Нехай функція 𝑓 є диференційованою на кожному з проміжків (𝑎; 𝑥₀) і (𝑥₀; 𝑏) і неперервною в точці 𝑥₀. Якщо для всіх 𝑥 ∈ (𝑎; 𝑥₀) виконується нерівність 𝑓′(𝑥) < 0, а для всіх 𝑥 ∈ (𝑥₀; 𝑏) виконується нерівність 𝑓′(𝑥) > 0, то точка 𝑥0 є точкою

мінімуму функції 𝑓. При переході до знаходження максимуму і мінімуму функції звертають увагу на те, що екстремуми характеризують поведінку функції в деякому околі точки 𝑥0, а не на всій області визначення чи на її частині.

На цьому етапі, після вивчення необхідних і достатніх умов існування точок екстремуму, вводять алгоритм дослідження функцій на екстремум.

1)  Знайти область визначення функції 𝑓(𝑥). 

2)  Знайти похідну даної функції 𝑓′(𝑥) та визначити критичні точки. 

3)  Розмістити критичні точки на координатній прямій в порядку їх зростання та дослідити знак похідної в околах цих точок, зробити висновки щодо точок максимуму і мінімуму. 

4)  Обчислити максимуми та мінімуму функції, підставивши у формулу 𝑦 = 𝑓(𝑥) значення точок максимуму і мінімуму. 

Для функції 𝑓 неперервної на відрізку [𝑎; 𝑏] пошук найбільшого і найменшого значень на цьому відрізку проводять, користуючись такою схемою.

1)                        Знайти похідну функції 𝑓(𝑥). 

2)                        Знайти критичні точки функції 𝑓(𝑥), які належать відрізку [𝑎; 𝑏]. 

3)                        Обчислити значення функції в знайдених критичних точках і на кінцях розглядуваного відрізка. 

4)                        З усіх знайдених значень обрати найбільше і найменше.

Неперервна функція обов’язково набуває найбільшого і найменшого значень і вони можуть досягатись лише у стаціонарних точках і на кінцях відрізка тому не перевіряють достатні умови існування екстремуму функції в стаціонарних точках.

Позначають екстремуми на відрізку наступним чином: .

Також учням зазначають, що за допомогою знань про екстремуми вони можуть розв’язувати задачі, пов’язані з життєвими ситуаціями. Наприклад: яку кількість продукції має випустити підприємство, щоб отримати найбільший прибуток. Як, маючи обмежені ресурси, виконати виробниче завдання в найкоротший час. Як організувати доставку товару по торговельних точках так, щоб витрати палива були найменшими. Запропоновані текстові задачі мотивують учнів до вивчення теми та узагальнять їх знання. Крім цього подібні задачі формують математичну компетентність та такі наскрізні лінії ключових компетентностей, як: «Екологічна безпека та сталий розвиток», «Підприємливість та фінансова грамотність».

Перед тим, як учні починають працювати з поняттям «опуклість функції», їх вчать визначати другу похідну. Для цього розглядають задачу про миттєву швидкість, яка застосовує фізичні поняття та формує не тільки математичну компетентність, а й основні компетентності у природничих науках.

Задача. Нехай матеріальна точка рухається за законом 𝑦 = 𝑠(𝑡) по координатній прямій. Учням вже відомо, що миттєва швидкість 𝑣(𝑡) у момент часу 𝑡 визначається за формулою 𝑠′(𝑡) = 𝑣(𝑡), тоді розглянемо функцію 𝑦 = 𝑣(𝑡), її похідну в момент часу 𝑡 називають прискоренням руху і позначають 𝑎(𝑡), тобто

𝑣′(𝑡) = 𝑎(𝑡).

Таким чином, функція прискорення руху – це похідна функції швидкість руху, яка у свою чергу є похідною функції закон руху, тобто: 𝑎(𝑡) = 𝑣′(𝑡) = (𝑠′(𝑡))′. У

таких випадках говорять, що функція прискорення руху є другою похідною функції 𝑦 = 𝑠(𝑡). Пишуть: 𝑎(𝑡) = 𝑠′′(𝑡).

Далі, зазвичай, наводять декілька графічних прикладі, на яких функції опуклі вгору та вниз на певних проміжках, щоб учні мали змогу розуміти про що йде мова. Показують, якщо графік функції на проміжку розміщений не вище будь-якої своєї дотичної, то функцію називають опуклою вгору на проміжку; якщо графік на проміжку розміщено не нижче від кожної своєї дотичної – опуклою вниз на проміжку. Також розглядають приклади графіків функцій на яких існує точка 𝑥₀, яка володіє властивістю, що при переході через неї крива функції переходить з однієї сторони дотичної на іншу, то таку точку називають точкою перегину.

Зв’язок між похідною та визначенням опуклості функції встановлюють наступні теореми.

Теорема 13 [ознака опуклості функції вниз].

Якщо для всіх 𝑥 з деякого проміжка функції 𝑓(𝑥) виконується нерівність  𝑓′′(𝑥) > 0, то функція 𝑓(𝑥) є опуклою вниз на даному проміжку.

Теорема 14 [ознака опуклості функції вгору].

Якщо для всіх 𝑥 з деякого проміжка функції 𝑓(𝑥) виконується нерівність  𝑓′′(𝑥) < 0, то функція 𝑓(𝑥) є опуклою вгору на даному проміжку.

Теорема 15 [про точку перегину].

Якщо 𝑥₀, є точкою перегину функції 𝑓(𝑥) і в цій точці функція двічі диференційована, то 𝑓′′(𝑥) = 0.

Теорема 15 є необхідною, але не достатньою умовою для існування точки перегину. Точка 𝑥₀ буде точкою перегину однозначно, якщо функція 𝑓(𝑥) при переході через цю точку змінює знак на протилежний.

Для учнів також вводять алгоритм знаходження точок перегину.

1)                        Знайти область визначення та інтервали на яких функція неперервна. 

2)                        Визначити другу похідну функції. 

3)                        Знайти внутрішні точки області визначення, в яких друга похідна дорівнює нулю. 

4)                        Нанести знайдені точки на координатну пряму і знайти знак другої похідної та характер поведінки функції на кожному інтервалі. 

5)                        Зробити висновки користуючись теоремами 13-15. 

Учням пояснюють, що існують функції, графіки яких є невідомими, але їх можна побудувати дослідивши ці функції. Дослідження функції за допомогою похідної виконують за алгоритмом:

1)  Знайти область визначення функції. 

2)  Дослідити функцію на парність, непарність, періодичність. 

3)  Знайти точки перетину з осями координат. 

4)  Знайти проміжки зростання і спадання. 

5)  Знайти точки екстремуму і значення функції в точках екстремуму. 

6)  Знайти проміжки опуклості функції і точки перегину. 

7)  Побудувати графік функції використовуючи результати досліджень.