Методична розробка для вчителів математики.    

      Задачі на відсотки.

 

 

 

               

 

 

 

 

                                           Автор методичної розробки:

                                           Світлана Олександрівна  Конькова

                                            вчитель   математики  Бросківського ЗЗСО   

                                            Саф’янівської сільської ради  Ізмаїльського

                                            району Одеської області

 

                                                                  Ізмаїл  2025     

 

Головна мета посібника- допомогти  вчителям, учням навчитися розв’язувати задачі на відсотки.

У посібнику подано алгоритми розв’язування типових  задач на відсотки.

Посібник призначений для вчителів та учнів , студентів фізико-математичного факультету.

 

 

 

 

           Автор методичної розробки: Світлана Олександрівна Конькова- вчитель математики Бросківського ЗЗСО Саф’янівської сільської ради Ізмаїльського району  Одеської  області

 

                                                        Зміст

1. Передмова.

2. Основні типи задач на відсотки.

2.1. Знаходження відсотків від числа.

2.2. Знаходження числа за його відсотками.

2.3. Відсоткове відношення двох чисел.

2.4. Зміна величин у відсотках.

2.5. Формула складних відсотків.

3. Висновки.

4. Список використаних джерел.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1.      Передмова.

Слово «відсоток» походить від латинського слова pro centum,що буквально означає «від сотні», або «від ста». Відсотками дуже зручно користуватися на практиці, оскільки вони виражають частини цілих чисел в одних і тих самих, сотих частинах. Це дає можливість спрощувати розрахунки і легко порівнювати частини між собою і з іншими цілими величинами.

      Ідея вираження частин цілого в одних і тих самих долях викликана через практичні міркування. У клинописних таблицях вавилонян містяться завдання на розрахунок відсотків. До сьогодні дійшли складені вавилонянами таблиці відсотків, які дозволяли швидко визначити суму відсоткових грошей.

      У середні віки в Європі через стрімкий розвиток торгівлі багато уваги приділяли вмінню обчислювати відсотки.

      Тривалий час під відсотками розуміли виключно прибуток і збиток на кожні 100 грошових одиниць, їх застосовували тільки в торгових і грошових угодах.  Згодом межа застосування відсотків розширилася, сьогодні їх використовують у господарських і фінансових розрахунках, статистиці, науці, техниці тощо.

2.      Основні типи задач на відсотки.
   1.           Знаходження відсотка від числа.

1 спосіб. Щоб знайти відсотки від  числа, можна записати відсотки у вигляді звичайного дробу, а потім користуючись означенням знаменника і чисельника дробу, знайти дріб від числа.

2 спосіб. Щоб знайти відсотки від числа, можна з’ясувати, яка величина припадає на 1%, а потім цю величину помножити на кількість відсотків.

3 спосіб. Щоб знайти відсотки від числа, можна відсотки записати у вигляді десяткового дробу, а потім подане число помножити на цей дріб.

Приклад. Знайти 20% від числа 150.

Розв’язання:    1) 20%=0,2;    150  • 0,2 =30;

                          2) Можна за допомогою  пропорції   

150   -    100%              150 : x =100 : 20;      x = 150  • 20 : 100= 30;

X      -      20%

                         3) 150: 100% =1,5  на  1 %.                 1,5  • 20% =30.

 

2.2. Знаходження числа за його відсотками

     Щоб знайти число за його відсотками, можна: дізнатися, яка частина шуканого числа становить 1% (поділити на кількість відсотків), а потім здобутий результат помножити на 100% або  виразити відсотки десятковим дробом і поділити подане число на цей дріб.

Приклад. Знайти число, 20% якого дорівнює 150.

1.     20%= 0,2;                 150 : 0,2=1500 : 2 = 750;
2.     Можна за допомогою пропорції      20%    -     150         x = 150 •100 : 20 =750;

                                                                       100% -      x       

Задача. За перший день туристи пройшли 25%  шляху, за другий день – 30% шляху. Залишилось пройти 54 км. Скільки км пройшли туристи за перший день?

Розв’язання.         100%  - весь шлях

                            1)100% -(25%+30%)= 45%   це 54 км

                            2) 45%=0,45;      54 : 0,45 = 120 км  весь шлях
                            3) За  перший день 25% від 120 км.

                             25%= 0,25;       120 • 0,25= 30 (км)     

     Відповідь: 30 км

Задача. Плюшевий ведмедик коштував 900 грн. Спочатку ціна на іграшку зросла на 5%, а пізніше на 10%. Скільки коштує плюшевий ведмедик?

Розв’язання.  1)100% +5%= 105% стала ціна від початкової

                       105%= 1,05;         900 •1,05=945 (грн );

2.       945 грн   -  100%

      х грн   -   100%+10%=110%       x=945:100% •110% =1039,5(грн)

Відповідь:  1039,5 грн

2.3. Відсоткове відношення двох чисел      

    Щоб знайти скільки відсотків одне число складає від  другого, достатньо перше число поділити на друге число і знайдену частку помножити на 100%.

Приклад.  Знайти скільки відсотків  число 12 складає від 30?

Розв’язання.    12:30 = 0,4 (частин);        0,4 • 100% =40%;

Відповідь: 40% це відсоткове відношення 12 від 30.

Відсоткове відношення двох чисел, їх відношення, виражено у відсотках. Воно показує скільки відсотків одне число складає від іншого.

Задача.   З 8 яблук 3 зелені, решта червоні. Скільки відсотків становлять

а) зелені від усіх яблук;

б) кількість зелених від красних.

Розв’язання.  а) 3:8 • 100% =37,5 %                 б) 3:5 • 100% =60%

     2.4. Зміна величин у відсотках.

Задача. Ціну на кросівки збільшили з 900грн до 972 грн. На скільки відсотків зросла ціна кросівок?

Розв’язання.    1) 972 -900 =72(грн) зросла ціна;

                    2)72 : 900 •100% =8%.

Щоб знайти на скільки відсотків збільшилась або зменшилась величина необхідно:

1) знайти на скільки одиниць збільшилась або зменшилась величина;

2) скільки відсотків становить знайдена різниця від початкового значення.

Задача. Знайти в відсотках зміну величини від 180 до 270.

Розв’язання.  (270 -180):180 • 100% =50%.

Задача. Було 200 г  5% розчину солі. Долили 50г води. Знайти відсотковий вміст солі у новому розчині.

Розв’язання.  1) 5%=0,05;        200 • 0,05 =10(г)солі

2) (200+50)г    -  100%

          10г          -x %                         x =10:250 • 100% =4 %.

Відповідь: 4%.

2.5. Формула складних відсотків.

 Особливо  часто доводиться розв’язувати задачі на відсотки бухгалтерам і працівникам банків. Розглянемо для прикладу задачі, пов’язані з нарахуванням відсоткових грошей. Припустимо, що вкладник дав під 9% річних 1000 грн. Це  - початковий капітал. Через рік банк нарахує вкладнику за це 90 грн відсоткових грошей (9% від 1000грн). Після цього на рахунку вкладника стане 1091грн, бо 1000 (1+0.09) =1090.  За другий рік відсоткових грошей йому нарахують уже 9% від 1090 грн;  нарощений капітал вкладника після двох років  дорівнюватиме 1000(1+0,09)² грн. Зрозуміло, що через n років нарощений капітал становитиме 1000(1+0,09)ⁿ грн.

Взагалі, вкладений в ощадбанк початковий капітал А₀ під р% річних через n років перетвориться в нарощений капітал.

                                 А_n  = А₀(1 + р/100) ⁿ .

Це формула складних відсотків.  

        Відсоткові гроші за неповний рік нараховують  пропорційно  до  числа днів. Наприклад, якщо 350 грн, віддані під 11% річних, були в банку 183 дні, тобто року, то за це вкладник одержить .Формула складних відсотків

350 • 0,11 (грн). Нарощений капітал вкладника дорівнюватиме  365,25 грн.

Розглянемо приклад задачі на складання рівняння, де  зустрічаються відсотки.

Задача. Житнє борошно дає 25% припічки. Скільки треба взяти борошна, щоб випекти 35 кг чорного хліба?

Розв’язання.    Припускаємо , щоб випекти 35 кг чорного хліба, необхідно взяти x  кг житнього борошна. Оскільки житнє борошно дає 25% припічки, то із x кг борошна будемо мати  x: 100• 25 =0,25x (кг) припічки, тоді маємо таке рівняння:

                                          х+ 0,25x =35;

                                          1,25 x  =35;

                                           х =35:1,25;

                                           х = 28.

Отже, щоб випекти 35 кг чорного хліба, необхідно взяти 28 кг житнього борошна.

Відповідь: 28 кг.

     

 

 

 

3.        Висновки.

Основні труднощі, які виникають в учнів під час  розв’язування  задач на відсотки, пов’язані з визначенням, до якого типу належить та чи інша задача, тобто який алгоритм потрібно застосовувати до її розв’язання.

      Вміння розв’язувати задачі на відсотки є дуже важливим у повсякденному житті сучасної людини. 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4. Список   використаних  джерел.

1.Навчальна програма для загальноосвітніх навчальних закладів.

2. Математика: підручник для 6 класу загальних закладів середньої освіти.  (У 2ч) О.Істер.-Київ: Генеза, 2023.

3.Математика: підручник для 6 класу загальноосвітніх навчальних закладів/А.Г.Мерзляк, В.Б. Полонський, М.С. Якір.-Х: Гімназія, 2014

4.Алгебра. Підручник для 9 класу загальноосвітніх навчальних закладів. -2-ге вид.-К: Освіта,2006.

5.Усі уроки математики. 5 клас, Бабенко С.П.,Маркова І.С. –Х: Вид.група «Основа»  2013.